Argomento 9 Integrali definiti

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1 Argometo 9 Itegrli defiiti Premess. Si f u fuzioe cotiu ell itervllo [, b]. L regioe di pio compres tr l sse x, le due rette verticli di equzioe x = e x = b, ed il grfico di f è dett trpezoide reltivo d f e d [, b], ed è deott co il simbolo T (f, [, b]). b T (f, [, b]) Nel semplice cso i cui f (x) = C ( 0) il trpezoide è il rettgolo di vertici (, 0), (b, 0), (b, C), (, C), e l su re vle C (b ). Per u geeric fuzioe f cotiu i [, b] voglimo costruire u procedur che ci permett di defiire l re del trpezoide T (f, [, b]) e che, el cso f si costte, forisc lo stesso risultto. Dovremo fre u po di ttezioe l liguggio. L medesim procedur ci permetterà di defiire, per il trpezoide T (f, [, b]) : i) u ozioe di misur co sego, legt si ll estesioe del trpezoide che ll su posizioe el pio; ii) u ozioe di re, legt uicmete ll su estesioe, e svicolt dll su posizioe el pio. Il umero che verrà idicto co il simbolo f (x) dx - l itegrle defiito di f i [, b] - esprimerà l misur co sego del trpezoide; tuttvi, il procedimeto per il suo clcolo srà logo quello che ci permetterà che di defiire l re del trpezoide. Questi due cocetti verro coicidere, qudo l fuzioe ssumerà solo vlori Defiizioe di itegrle defiito Per l fuzioe f (x) = c, costte i [, b], co c umero rele qulsisi, il trpezoide T (f, [, b]) è u rettgolo, co due vertici sull sse x, coteuto el semipio superiore o iferiore secod che c si positivo o egtivo; l su misur co sego è defiit dl umero c (b ), metre l su re dl umero c (b ). Così, i due umeri coicidoo se c 0, metre soo opposti el cso c < 0. L misur co sego risete del ftto che il rettgolo si poss trovre el semipio iferiore, metre l re dà peso ll effettiv estesioe dell regioe. Il simbolo di itegrle qui utilizzto o h, per or, legmi co il simbolo utilizzto ell Arg. 8. Nel Corollrio 9.6 si chirirà perchè si utilizz lo stesso simbolo.

2 Voglimo utilizzre questo esempio per defiire l ozioe di misur co sego (e di re) che per il trpezoide di u geeric fuzioe f cotiu i u itervllo [, b]. Grzie l teorem di Weierstrss (vd. Arg. 5) l fuzioe f ssume mssimo ssoluto M e miimo ssoluto m i [, b]. I Fig. è rppresetto il cso i cui 0 m f (x) M, ed è immedito osservre che il trpezoide T (f, [, b]) è coteuto i u rettgolo l cui misur co sego vle M (b ), e cotiee u rettgolo vete misur co sego m (b ). I Fig. ivece bbimo il cso m f (x) M 0, ed il trpezoide è compreso tr due rettgoli veti misur co sego m (b ) e M (b ). b M M m Fig. b m Fig. Comuque, l relzioe m (b ) M (b ) è sempre ver, ed ituitivmete voglimo otteere per l misur co sego di T (f, [, b]) u vlore compreso tr questi. Somme superiori ed iferiori Per N,, suddividimo l itervllo [, b] i sottoitervlli uguli, tutti di mpiezz b, utilizzdo i puti = x 0 < x < x <... < x = b. Se M i ed m i idico il mssimo ed il miimo di f ell itervllo [x i, x i ] (questi vlori esistoo, cor grzie l teorem di Weierstrss), le qutità M i (x i x i ) = M i (b ) e m i (x i x i ) = m i (b ) rppreseto le misure co sego di due rettgoli che, rispettivmete, cotegoo e soo coteuti i T (f, [x i, x i ]), cioè quell porzioe di trpezoide T (f, [, b]) reltiv ll itervllo [x i, x i ] (lmeo per f di sego costte i [x i, x i ] questo è evidete dll Fig. 3). M i m i x i x i Fig. 3 Fig. 4

3 Defiizioe 9. L somm delle misure co sego del primo gruppo di rettgoli S = i= M i (x i x i ) = b i= M i è dett somm superiore sim di f reltiv d [, b]. Similmete, l s = m i (x i x i ) = b è dett somm iferiore sim. i= Ovvimete s S per ogi, e le due somme foriscoo pprossimzioi (rispettivmete per eccesso e per difetto) dell misur co sego di T (f, [, b]), che è l qutità che voglimo defiire (vd. Fig. 4). Itegrle defiito Al crescere di cresce il umero di itervlli e e decresce l mpiezz; o solo, m ccde che le sequeze umeriche {S } ed {s } soddisfio i= m i m (b ) = s s S S = M (b ). Così, esistoo si l estremo iferiore dell isieme {S } che l estremo superiore dell isieme {s }. Ioltre, è possibile dimostrre che l estremo superiore delle somme iferiori coicide co l estremo iferiore delle somme superiori, cioè if S = sup s. Defiizioe 9. Questo umero viee detto itegrle defiito di f i [, b], o che misur co sego di T (f, [, b]) e viee idicto co il simbolo f (x) dx ( = if S = sup s ). L fuzioe f è dett fuzioe itegrd, metre [, b] è l itervllo di itegrzioe. Not: Per defiire l itegrle, o è obbligtorio ricorrere lle somme superiori o quelle iferiori. U ltro metodo, ch esso equivlete questi due, è presetto fie cpitolo. Are Dopo ver costruito l itegrle defiito di u fuzioe cotiu, utilizzimo questo cocetto per l seguete Defiizioe 9.3 L re del trpezoide T (f, [, b]) è defiit come l itegrle defiito dell fuzioe f (che è cor u fuzioe cotiu) cioè re (T (f, [, b])) = Ovvimete, questo umero o è mi egtivo. f (x) dx. 3

4 U riepilogo Fi qui o bbimo itrodotto restrizioi sul sego di f, m è iteresste lizzre come l itegrle defiito può essere iterpretto, secod delle iformzioi che si ho sui segi dell fuzioe itegrd. Se f è u fuzioe cotiu e mi egtiv (f 0) i [, b] (vd. Fig. ) il trpezoide T (f, [, b]) è coteuto el semipio superiore, e l itegrle defiito f (x) dx forisce si il vlore dell su misur co sego, si quello dell su re, che coicidoo. Se ivece f 0 i [, b] (vd. Fig. ) il trpezoide T (f, [, b]) è coteuto el semipio iferiore, e tutti gli ddedi preseti elle somme superiori ed iferiori soo 0; perciò f (x) dx 0. Questo umero rppreset l misur co sego del trpezoide T (f, [, b]), ed è ugule ll opposto del vlore dell re. Se c è u puto itero ll itervllo [, b], e se l fuzioe f, cotiu i [, b], ssume vlori 0 i [, c] e vlori 0 i [c, b] (vd. Fig. 5) l itegrle di f i [, b] coicide co l somm f (x) dx = c f (x) dx + c f (x) dx. ( ) Qui, il I ddedo del termie di destr è il cotributo ( 0) reltivo ll itervllo [, c] (i cui f (x) 0); il II ddedo è ivece il cotributo ( 0) reltivo ll itervllo [c, b]. L itegrle rppreset l misur co sego dell regioe compres l sse x ed il grfico di f; quest si ottiee sommdo i cotributi, di sego opposto, reltivi gli itervlli i cui h sego diverso. Equivletemete, f (x) dx si ottiee come differez tr l re del trpezoide T (f, [, c]) e l re del trpezoide T (f, [c, b]). I prtic, l itegrle di f è u bilcio tr i cotributi di opposto sego dell fuzioe. Questo umero può perciò vere sego positivo, egtivo, o che ullo (i cso di bilcio i preggio ); si ottiee sommdo le ree delle regioi che si trovo el semipio superiore, e sottredo le ree delle regioi che si trovo el semipio iferiore I modo del tutto logo l formul ( ) permette di iterpretre f (x) dx qudo f i [, b] è cotiu e cmbi di sego u umero fiito di volte (vd. Fig. 6). c b Fig. 5 Fig. 6 L re del trpezoide T (f, [, b]) si ottiee sommdo tutte le ree coivolte; queste ho tutte vlore 0, idipedemete dll loro posizioe rispetto ll sse x (vd. Fig. 7). Questo si rissume 4

5 ell formul re T (f, [, b]) = f (x) dx ( ) che mostr, tr l ltro, che l re e l misur co sego coicidoo se e solo se f 0. (N.B.: l re h vlore ullo solo qudo f (x) = 0 per ogi x [, b]). f f Fig. 7 Fig. 8 L formul ( ) ci permette di defiire l itegrle f (x) dx che se l fuzioe f h el puto c (, b) u discotiuità di prim specie (vd. Fig. 8). Il discorso si può estedere fcilmete che fuzioi che preseto u umero fiito di queste discotiuità. Così, le fuzioi f : [, b] R di cui è possibile clcolre l itegrle o devoo ecessrimete essere cotiue. Co l formul ( ) possimo che clcolre l re di u regioe di pio delimitt dlle rette verticli x =, x = b, e di grfici di due fuzioi cotiue f, g : [, b] R. Se sppimo che i [, b] vle sempre f (x) g (x) (vd. Fig. 9) l re dell regioe che h il grfico di f come tetto e quello di g come pvimeto si ottiee clcoldo [f (x) g (x)] dx. Tuttvi, o è relmete importte spere qule delle due fuzioi ssume il vlore più grde, zi i due grfici possoo persio icrocirsi (vd. Fig. 0). Per il clcolo dell re di quest regioe è sufficiete clcolre f (x) g (x) dx. L cooscez di qule fuzioe h il grfico che serve d tetto è semmi di utilità per il clcolo esplicito dell re, come vedremo ell Esempio 9.. L isieme delle fuzioi per cui il simbolo f (x) dx h sigificto è molto mpio; u su descrizioe complet esul dgli scopi di queste ote. Seglimo comuque che tutte le fuzioi cotiue i [, b] mmettoo itegrle defiito, che se cmbio ifiite volte di sego. 5

6 f g Fig. 9 Fig Proprietà dell itegrle defiito Dl sigificto di misur co sego dell itegrle defiito è chiro il comportmeto che questo h rispetto d evetuli cmbimeti che si possoo operre sull itervllo di itegrzioe. Se < c < b, h seso prlre dell itegrle di f i [, c] e i [c, b] se e solo se h seso prlre dell itegrle di f i [, b], e i tre itegrli soo legti dll ( ), che richimimo: f (x) dx = c f (x) dx + c f (x) dx. Questo comportmeto viee descritto dicedo che l itegrle è dditivo rispetto gli itervlli. Qudo l itervllo di itegrzioe h l form [ b, b], evetuli simmetrie di f possoo fcilitre il clcolo di f (x) dx. Iftti, se f è pri (vd. Arg. ) i cotributi degli itervlli [ b, 0] e [0, b] b soo uguli, per cui f (x) dx = b 0 f (x) dx ; se ivece f è dispri, i due itervlli [ b, 0] e [0, b] cotribuiscoo i modo opposto, e quidi b f (x) dx = 0. Esempio 9.4 L fuzioe f (x) = si x è dispri, per cui il suo itegrle su ogi itervllo del tipo [ b, b] vle 0. Per umetre, i fii del clcolo, l flessibilità dell ozioe di itegrle è che utile dottre le segueti covezioi: f(x) dx = 0 ; per < b : f(x) dx = b f(x) dx U ltr proprietà utile per il clcolo: l itegrle è liere rispetto ll fuzioe itegrd, cioè: 6

7 αf (x) dx = α f (x) dx α R [f (x) + g (x)] dx = f (x) dx + g (x) dx U ultim seglzioe: il ome dell vribile x el simbolo f (x) dx è purmete coveziole; lo stesso umero è rppresetto dlle scritture viee rissuto dicedo che l vribile di itegrzioe è mut. f (t) dt, 9.3 Il teorem fodmetle del clcolo itegrle f (y) dy,... Questo ftto Ricordimo che, dt u fuzioe f, il suo itegrle idefiito è u isieme di fuzioi, metre il suo itegrle defiito è u umero rele. Voglimo or mostrre che tr questi due cocetti esiste u legme. Se f è u fuzioe cotiu i [, b], per ogi x [, b] possimo clcolre l itegrle defiito x f (t) dt; quest è u qutità che dipede d x [, b]. Abbimo perciò costruito u fuzioe F : [, b] R, dett fuzioe itegrle di f, defiit come: F (x) = x f(t) dt. Il seguete teorem dà il legme tr u fuzioe cotiu f e l su fuzioe itegrle F. Teorem 9.5 (teorem fodmetle del clcolo itegrle) Si f cotiu i [, b] e si F (x) = x f(t) dt l fuzioe itegrle di f. Allor: ) F è derivbile i (, b) ed è cotiu i [, b] ; ) F (x) = f(x) per ogi x (, b). Quest teorem complet, e precis, quto detto i Arg. 8 (vedi Propos. 8.3) reltivmete ll esistez di u primitiv per ogi fuzioe cotiu. Iftti, il risultto precedete può essere che riformulto el seguete modo: Si f cotiu i [, b] e si F l su fuzioe itegrle. Allor F è u primitiv di f. I prticolre, osservimo che l fuzioe itegrle F è l primitiv di f che vle 0 i (perchè bbimo coveuto di porre f(x) dx = 0). Il seguete corollrio del Teorem fodmetle del clcolo itegrle forisce u metodo per il clcolo esplicito degli itegrli defiiti (e u legme tr itegrli idefiiti e itegrli defiiti, come preucito ell Not iizile). 7

8 Corollrio 9.6 (formul fodmetle del clcolo itegrle) Si f cotiu i [, b] e si G u quluque primitiv di f. Allor: f (x) dx = G (b) G (). (Per comodità, l qutità G (b) G () viee solitmete idict co l scrittur [G (x)] b ). Così, l operzioe di clcolo dell itegrle defiito f(x) dx comport i segueti due pssi: { i) si determi u primitiv G dell fuzioe f (vd. Arg.8); ii) si clcol il umero G (b) G (), che coicide co l itegrle cercto. Coviee osservre che il umero f (x) dx o dipede dll primitiv di f che bbimo scelto. Iftti, tutte le primitive di f differiscoo per costti dditive, e queste costti vegoo elimite qudo si clcol l differez tr i vlori ssuti dll primitiv scelt ei puti x = e x = b. Esempi π 9.7 Clcolimo si x dx. 0 si x dx = cos x + c quidi π 0 si x dx = [ cos x] π 0 = cos π ( cos 0) =. Poichè si x 0 per 0 x π (vd. Fig. ), l itegrle trovto rppreset l re dell regioe di pio compres tr l sse x, il grfico dell fuzioe, e le rette x = 0 e x = π. Utilizzdo questo risultto e quto visto ell Esempio 9.4, possimo che dedurre che il trpezoide T (si x, [ π, π]) h misur co sego ull (perchè si x è dispri) ed re 4 (perchè si x è pri). e 9.8 Clcolimo dx (vd. Fig. ). x dx = log x + c x quidi e x dx = [log x ]e = log e log =. π π e Fig. Fig. 8

9 9.9 Clcolre l re dell regioe pi A compres tr le rette verticli di equzioi x = /, x = 3/, l sse x ed il grfico dell fuzioe{ f (x) = 3x x +. L regioe può essere descritt come A = (x, y) R : x 3 }, 0 y 3x x +. L fuzioe f (x) = 3x x + o ssume mi vlori egtivi (vd. Fig. 3), per cui l re di A si ottiee come 3/ / ( 3x x + ) dx = [ x 3 x + x ] ( 3/ 7 = / ) ( 8 4 ) = 7. 3 { x 9.0 Clcolre f (x) dx, dove f (x) = + x se x. 6 x se < x 3 L fuzioe è cotiu i [, ) (, 3], e i x = h u discotiuità di I specie (vd. Fig. 4). Perciò 3 ( f (x) dx = x + x ) 3 dx + (6 x) dx [ ] x 3 ] 3 = 3 + x + [6x x [( ) = 3 + ( 3 )] + + [( 8 9 ) ( 6 )] = Fig. 3 3 Fig Clcolre l re dell regioe C rcchius dlle curve y = x 3, y = e y = 5 x. Le tre curve si iterseco, due due, ei puti (, ), (6, ) e (4, ) (vd. Fig. 5). L regioe C, di cui voglimo clcolre l re, si ottiee come uioe delle regioi A = { x 4, y x 3} e B = {4 x 6, y 5 x}. Così, per l regioe A il tetto è rppresetto dl grfico di f (x) = x 3, metre per B questo ruolo è ricoperto dl grfico di h (x) = 5 x. I etrmbi i csi il grfico di g (x) = è il pvimeto. Quidi re (A) = = 4 [( ) ] 4 x 3 ( ) dx = ( x ) dx [ 3 x3/ x ] 4 = 0 3. Per l regioe B possimo cor impostre il clcolo dell itegrle re (B) = 6 4 [(5 x) ( )] dx, 9

10 Per l regioe B possimo cor impostre il clcolo dell itegrle re (B) = Z 6 4 [(5 x) ( )] dx, m è forse più semplice osservre che si trtt di u trigolo rettgolo i cui cteti ho etrmbi lughezz, per cui l re di B vle. I totle, re (C) =re (A)+re (B) = 0 3 += Clcolre l re dell regioe C rcchius dlle due rette verticli x =, x = 3, e dlle due curve y = x,y=6 x. L formul re (C) = Z 3 f (x) g (x) dx èdifficilmete utilizzbile per il clcolo dell itegrle; coviee cpire dove i grfici delle due curve si iterseco. Ciò vviee el puto (, 4), ed osservdo l Fig.6 bbimo Z re (C) = µ6 Z 3 x x dx + x µ6 x dx Z Z 3 µ = µ6 3x 3x dx + dx = 6x x3 + x3 6x 3 6 = =6. Fig. 5 Fig. 6. 0