Verifiche di deformabilità e di stabilità degli elementi inflessi

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1 modulo D L acciaio Unità Il metodo alle tensioni ammissibili 1 Verifiche di deformabilità e di stabilità degli elementi inflessi Verifica nei confronti dello svergolamento (instabilità laterale) Esaminiamo una trave inflessa, realizzata con un profilato, rigidamente vincolata a una estremità, nel caso di trave a mensola, oppure a entrambe in modo tale da impedire rotazioni intorno al suo asse longitudinale z. Quando il rapporto fra i due raggi principali d inerzia della sezione risulta elevato, oppure per particolari tipi di carichi, il profilato può inflettersi lateralmente, per cui uno dei suoi piani di simmetria, inizialmen- i y te coincidente con il piano di sollecitazione, fuoriesce da quest ultimo per un tratto di trave [figg. 1a e b] causando così uno sbandamento laterale della trave: questo fenomeno di instabilità dell ala compressa, dovuta al momento flettente, prende il nome di svergolamento ed è analogo a quanto può avvenire nelle aste compresse caricate di punta. i x a) b) fig.1 Ci limitiamo al caso, peraltro comune, di travi a doppio, laminate o composte saldate, con sezione simmetrica o dissimmetrica e con piano di sollecitazione coincidente con il piano dell anima; per tali sezioni la verifica allo svergolamento, con un procedimento sufficientemente approssimato, può essere condotta trascurando il ridotto contributo di resistenza a flessione dell anima, e immaginando che il momento flettente M eq, detto momento equivalente, calcolato come verrà più oltre indicato, sia dovuto a una coppia di forze, una di compressione C eq e l altra di trazione T eq, applicate alle ali nei due centri di pressione D e D, posti a una distanza h 0, che rappresentano i centri relativi dell asse neutro della sezione pensata come costituita dalle sole due ali [fig. ]. La verifica di stabilità allo svergolamento consiste quindi nel controllare la stabilità per carico di punta della sola ala compressa dalla forza C eq. Ricordando la relazione generale del momento d inerzia: I A y G y X S y X si ha per ogni ala [fig. ]: I n S n h 0 fig. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

2 modulo D L acciaio Unità Il metodo alle tensioni ammissibili e per entrambe le ali: I n S n h 0 S n h 0 da cui h 0 I n S n dove: S n b t f h t f momento statico dell ala compressa rispetto all asse neutro n; I n per una maggiore approssimazione, rappresenta il momento d inerzia di tutta la sezione a doppio rispetto all asse neutro. Il momento equivalente della coppia è dato da: da cui: M eq C eq h 0 T eq h 0 C eq M eq h 0 Il momento equivalente M eq viene così determinato: travi semplicemente appoggiate o continue: M eq 1,30 M m con la limitazione 0,75 M max M eq M max ; mensole o travi con sbalzi: M eq M m con la limitazione 0,50 M max M eq M max ; essendo M m il momento medio, ossia la media dei valori del momento flettente che si hanno nel tratto considerato, e M max il momento flettente massimo. Affinché la trave sia verificata allo svergolamento è necessario che risulti: σ ω C eq A f σ adm dove: A f area della sezione dell ala compressa; ω coefficiente che viene ricavato dalle tabelle del carico di punta relative al gruppo c se t a 40 mm, e al gruppo d se t a > 40 mm in funzione del rapporto di snellezza λ l 0 b 1 dove: l 0 distanza fra due ritegni torsionali successivi, cioè fra i due vincoli successivi che impediscono la rotazione delle due sezioni estreme del tratto considerato, oppure luce della mensola [fig. 3]; b larghezza dell ala. fig.3 U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

3 modulo D L acciaio Unità Il metodo alle tensioni ammissibili 3 1 ESERCIZI SVOLTI Progettare e verificare allo svergolamento la trave principale in acciaio S75 appartenente a un solaio, la cui pianta è riportata in figura a, che presenta una luce di 10,00 m ed è gravata di un carico q 48 kn/m. a La trave si può considerare semplicemente appoggiata alle estremità per cui il momento massimo vale: M max 1 8 q l ,00 00,00 kn m W M max σ adm , mm U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

4 modulo D L acciaio Unità Il metodo alle tensioni ammissibili 4 per cui viene impiegata una trave saldata ISE 50/15 con W x 335 cm 3 e I x cm 4 [fig. b]. La tensione massima in corrispondenza delle ali risulta: σ M max ,45 N/mm 3 Wx La trave è impedita a ruotare intorno al proprio asse in corrispondenza delle sezioni dove è vincolata alle travi secondarie del solaio che su di essa gravano (punti A, B, C, D, E, F), e che la dividono in cinque tratti con lunghezza di,00 m, di cui il più soggetto a svergolamento è quello centrale C-D e che viene verificato. Si deve quindi calcolare il momento medio M m che si ha nel l tratto C-D [fig. a] con lunghezza, dato dalla media dei valori del momento flettente che si verificano nel tratto considera- 5 to; le ordinate che rappresentano graficamente questi valori individuano l area RSTUV compresa nel diagramma dei momenti flettenti, che può essere ottenuta come somma delle aree del rettangolo RSTV e del segmento parabolico TUV. L ordinata del momento flettente nelle sezioni C e D vale: M C M D q l 5 l q 5 l 1 5 l 3 q l 5 Si ha quindi: per il rettangolo RSTV: A 1 RV VT 3 5 q l 1 5 l 3 q l3 15 b per il segmento parabolico TUV: A 3 VT UZ l (M max M C ) l q l 8 3 q l 5 q l Pertanto l area RSTUV corrispondente alla somma dei momenti nel tratto CD risulta: 3 q l3 Σ M A 1 + A 15 + q l3 37 q l3 0,047 q l Il momento medio M m vale: 37 M m Σ M q l ,133 q l l l 5 5 Trattandosi di trave semplicemente appoggiata, il momento equivalente è: M eq 1,3 M m 1,3 0,133 q l 0,103 q l ma dovendo essere: 0,75 M max M eq M max 0, q l M eq 1 q l 8 si assume: M eq 0,15 q l M max U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

5 modulo D L acciaio Unità Il metodo alle tensioni ammissibili 5 che vale in tutti i casi in cui la trave è suddivisa in un numero di tratti maggiore di 3. Si ha quindi M eq 00 kn m per cui: C eq M eq S n (5 19) 50 4 I n l λ 30,79 0 b Essendo t f 19 mm < 40 mm, dalla tabella relativa al gruppo c si ricava ω 1,08 per λ 30 e quindi si ha: σ ω C eq A f 1, , e pertanto la verifica è soddisfatta. 189,0 N/mm < σ adm ,10 N Per la realizzazione di un balcone con luce l 1,50 m in un edificio in muratura, viene previsto l uso di profilati in acciaio S35 sui quali grava un carico q 18 kn/m. Si richiedono il progetto delle travi a mensola e la verifica allo svergolamento [fig. a]. a U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

6 modulo D L acciaio Unità Il metodo alle tensioni ammissibili In questo caso l unico ritegno torsionale è rappresentato dall incastro nella muratura, per cui l 0 1,50 m. Il momento massimo vale: M max q l 18 1,50 0,5 kn m 5 0,5 10 W M max 1,5 cm 3 σ adm per cui occorre un profilato IPE 180 con W x 14 cm 3 e I x 1317 cm 4 ; la tensione ai bordi estremi risulta: σ M max 0, ,70 N/mm 3 Wx Il momento medio M m si ottiene dividendo l area del diagramma dei momenti ΣM per l, ossia: M m Σ M l dove Σ M si ottiene come differenza fra le aree del rettangolo ABCD e della semi-parabola BCD; si ha quindi: Σ M (AB BC) AB BC 3 q l l 3 q l M m Σ M l Trattandosi di trave a mensola deve essere: M eq M m 0,17 q l con la limitazione: 0,50 M max M eq M max q l3 1 0,17 q l l 0,50 q l M eq q l che non risulta verificata per cui si assume: l q l3 0,5 q l M eq 0,50 q l M eq 0,50 M max 0,50 q l 0,5 18 1,50 10,15 kn m Si ha quindi: 10,15 10 C eq M eq S n (91 8) ,57 N 4 I n l λ 57,10 0 b Dalle tabelle per il gruppo c si ricava ω 1,9 per λ 57 e quindi: σ ω C eq 1,9 4813,57 85,9 N/mm < σ adm A f 91 8 e perciò la trave non è soggetta a svergolamento. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010