4. Reti correttrici e regolatori industriali. 4.1 Regolatori industriali Regolatore ad azione proporzionale P

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1 4. Reti correttrici e regolatori industriali Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare le secifiche assegnate nel dominio della frequenza e quelle assegnate nel dominio del temo. Queste ultime si suddividono in secifiche del comortamento a regime (errore a regime, sensibilità ai disturbi additivi e arametrici) e in secifiche del comortamento in regime transitorio (temo di salita, sovraelongazione, temo di assestamento, velocità della risosta). Le secifiche definite nel dominio della frequenza sono la banda assante, la stabilità, il margine dì fase e il margine di guadagno. In articolare se il sistema non è stabile o se il suo margine di fase e il suo margine di guadagno, non corrisondono a quelli richiesti, è necessario intervenire sul sistema e modificarlo in modo che risonda ai requisiti richiesti senza alterare, nei limiti del ossibile, le altre caratteristiche quali la velocità della risosta e la recisione. La stabilizzazione, ad esemio, - di un sistema instabile mediante la riduzione del guadagno di anello è consigliabile solo in casi articolarmente semlici erché tale tecnica rovoca l'aumento dell'errore a regime. Nei casi iù comlessi, quando il rogettista deve soddisfare le secifiche assegnate, è necessario modificare la configurazione del sistema introducendo, in unti oortuni della catena, reti elettriche di tio assivo o di tio attivo, dette reti di comensazione, intendendo con tale termine la ossibilità di modificare la funzione di trasferimento dovuta agli elementi fisici che costituiscono il sistema. In questa unità didattica sono esaminate le tecniche di comensazione realizzate utilizzando i regolatori industriali (P, PI, PD e PID) e le reti correttrici (anticiatrice, ritardatrice e.a sella). 4. Regolatori industriali 4.. Regolatore ad azione roorzionale P Nella sua forma iù semlice un regolatore comrende un generatore che fornisce il segnale di riferimento, il nodo sommatore, un amlificatore del segnale e una rete di comensazione. Tramite aosite manoole di regolazione tarate in fabbrica, l'oeratore addetto all'imianto uò variare i valori di alcuni arametri del regolatore, ad esemio quelli relativi all'amlificatore e alla rete di comensazione, in relazione alle secifiche statiche e dinamiche richieste. I regolatori industriali si differenziano in base alla relazione matematica che lega il segnale d'uscita della rete di comensazione a quello d'ingresso. In un regolatore ad azione roorzionale il legame tra il segnale resente alla sua uscita m( ed il segnale differenza e( alicato al suo ingresso è esresso da una relazione del tio: m( = K e ( figura ag. di

2 dove: R K = + R Si consideri il sistema del secondo ordine a retroazione unitaria raresentato in figura figura Se il sistema è sollecitato da un segnale a gradino avente la trasformata R(s)=R/s, l'errore a regime diminuisce all'aumentare del guadagno roorzionale K : R ε = + K Un regolatore ad azione roorzionale e in grado di diminuire l'errore a regime, ma non uò eliminarlo comletamente erché un amlificatore con un guadagno K elevato comorta la sua saturazione. Un aumento troo grande del guadagno K, necessario er avere un errore a regime di modesta entità, determina una diminuzione del fattore di smorzamento, un aumento della ulsazione naturale e eggiora il grado di stabilità del sistema, sono infatti valide le seguenti formule (ulsazione naturale del sistema): + K K ω n = τ τ e lo smorzamento la diminuzione dello smorzamento fa aumentare la sovraelongazione (overshoo. Le caratteristiche di un regolatore roorzionale sono: genera un errore a regime, detto errore residuo o di offset, che uò essere minimizzato assegnando a K valori elevati; aumenta la velocità della risosta del sistema (aumenta ω n ); diminuisce il margine di fase e, di conseguenza, il grado di stabilità quando K è elevato; aumenta l'amiezza delle oscillazioni della risosta quando K è elevato; uò essere utilizzato nei sistemi nei quali sono consentiti scostamenti tra il valore effettivo della grandezza controllata e quello desiderato (ad esemio negli imianti di riscaldamento degli edifici). 4.. Regolatore PI ζ = II regolatore ideale ad azione roorzionale ed integrale è costituito da un blocco roorzionale e da uno integrale connessi in arallelo (figura 3). Il segnale d'uscita m( del regolatore è: τ + τ τ τ K ω n ag. di

3 figura 3 m(=m (+m ( m( = K I e( dt + t 0 K e( dove K è il guadagno roorzionale e K I il coefficiente dell'azione integrale misurato in [s - ]. Dalla trasformata di Lalace di ambo i membri si ricava la funzione di trasferimento del regolatore: M ( s) K K s + K I I GPI ( s) = = K + = E( s) s s la quale resenta un olo nell'origine ( = 0) e uno zero (che deve avere un valore iccolo). Nei sistemi di tio 0, la resenza del olo nullo, fa si che l'errore a regime er sollecitazioni a gradino sia nulla, tuttavia l'azione di K tende a eggiorare, come detto in recedenza, la stabilità del sistema se le costanti K e K I non sono scelte in modo oortuno. Il regolatore PI è utile sorattutto nei sistemi in cui le variazioni del carico avvengano lentamente. Le caratteristiche del regolatore ad azione PI sono: comensa l'azione destabilizzante del olo nullo con lo zero; determina un incremento unitario del tio e dell'ordine del sistema a causa del olo nullo che, quindi, agisce sull'entità dell'errore a regime; aumenta la recisione a regime senza eggiorare il grado di stabilità del sistema se le costanti sono scelte in modo oortuno; valori bassi di K e K I generano una risosta caratterizzata da una amiezza della sovraelongazione molto limitata e, al limite, anche una risosta aeriodica; aumenta la velocità di risosta (larghezza di banda iù amia); è utilizzato quando è richiesto un errore a regime di modesta entità e una buona velocità di risosta alle variazioni della sollecitazione; è inserito soratutto nei sistemi in cui le variazioni del carico avvengono lentamente. Infatti cambiamenti imrovvisi di carico ossono ortare il sistema verso l'instabilità quando il coefficiente K I. dell'azione integrale non è scelto in modo oortuno. La struttura di un regolatore PI è mostrata in figura 4. ag. 3 di

4 figura 4 Per rogettare un regolatore PI (ossia stabilire i valori di K e di K I ) si rocede nella seguente maniera:. Lo zero del regolatore deve coincidere con il rimo olo della funzione G(s)H(s);. il margine di fase deve essere almeno di Regolatore PD Un semlice regolatore ad azione roorzionale e derivativa è costituito da un derivatore limitato e da un amlificatore connessi in arallelo (figura 5). figura 5 Il segnale d'uscita del regolatore PD è uguale a: m(=m (+m ( de( m( = K D + K e( dt dove K è il coefficiente dell'azione roorzionale e K D è il coefficiente dell'azione derivativa e si misura in secondi [s]. si ricava: M ( s) GPD( s) = = K + K D s E( s) Le caratteristiche del regolatore ad azione PD sono: non annulla l'errore a regime nei sistemi sollecitati da un determinato segnale. Come esemio si ortano i sistemi di tio 0 sollecitati da un segnale a gradino e quelli di tio sollecitati da un segnale a rama; i valori ottimali di K e di K D che non regiudicano le caratteristiche della risosta ag. 4 di

5 devono essere tali da avere un coefficiente di smorzamento comreso tra 0,4 < ξ < 0,8 ; è utilizzato nei sistemi in cui si hanno imrovvise variazioni del carico (ad esemio in alcuni sistemi di controllo er servomotori nei quali si hanno iccole ma imrovvise variazioni di velocità) e nei sistemi che non resentano roblemi di stabilità e di restazioni statiche ma che, invece, richiedono una buona velocità di risosta (larghezza di banda amia). Per rogettare un regolatore PD (ossia stabilire i valori di K e di K D ) si rocede nella seguente maniera:. si fa coincidere lo zero del regolatore (K D /K ) con il secondo olo della funzione G(s)H(s);. si fissa un margine di fase di almeno 45. Il regolatore PD ideale esalta i segnali di rumore a frequenza elevata sovraosti al segnale differenza ed inoltre è un sistema imrorio erché è G PD (jω) quando la ulsazione tende all'infinito. Nella ratica si usa un regolatore PD reale raresentato nella figura 6. figura Regolatore PID Il regolatore PID, costituito dai blocchi roorzionale, integrale e derivativo connessi in arallelo, uò essere utilizzato in tutte le alicazioni erché riunisce le caratteristiche dei singoli regolatori studiati recedentemente. figura 7 Il segnale d'uscita m ( e la funzione di trasferimento G PID (s) del regolatore, sono risettivamente uguali a: ag. 5 di

6 de M( t( ) s) mg( = ( Ks ) = D + = KK e + ( K+ dt E( s) t PID DK s + I 0 K I e( dt s La resenza del olo nell'origine aumenta la recisione a regime del sistema, ma eggiora il suo grado di stabilità anche se è comensato dalla resenza dei due zeri. Il regolatore PID ideale è un sistema "imrorio" erché G PID (jω) quando la ulsazione tende all'infinito e quando è uguale a 0. Per limitare il guadagno, in alta e in bassa frequenza, si utilizza il regolatore PID reale raresentato in figura 8. Le caratteristiche rinciali sono: buona stabilità; velocità nella risosta; recisione. figura Progetto dei regolatori PID Molto sesso il rogettista di un sistema di controllo deve eseguire rietutamente calcoli iù o meno comlessi er determinare i valori dei coefficienti K P, K I e K D che soddisfino le secifiche della risosta in frequenza (margine di fase e di guadagno, banda assante, ecc.) e quelle della risosta temorale (errore a regime, temo di assestamento, temo di ritardo, ecc.). Un metodo di rogettazione dei regolatori industriali abbastanza diffuso è quello di Ziegler-Nichols. Tale metodo consente di ricavare i valori ottimali dei arametri K P, K I e K D agendo su aosite manoole del regolatore tarate in fabbrica. Le fasi della regolazione ottimale sono: si one K P, K I e K D = 0 e si chiude l'anello di regolazione; si esclude l'azione derivativa e quella integrale, e si aumenta gradualmente il valore del arametro K P fino a ortare il sistema al limite della stabilità; si misura il valore di K P in corrisondenza del quale la risosta del sistema al gradino unitario è un'oscillazione di amiezza costante (K P = K PMAX ) si misurano i valori della ulsazione e del eriodo dell'oscillazione ersistente; si regolano, doo aver comiuto le oerazioni sora descritte, le altre manoole in modo che i arametri K P, K I e K D assumano i valori riortati nella tabella ag. 6 di

7 Tabella Per determinare K PMAX e T c si ricorre ai diagrammi di Bode del modulo e della fase. sul grafico della fase si trova, in corrisondenza del valore di -80, il margine di guadagno (m g in db) e la ulsazione critica (ω c in rad/s). A questo unto, saendo che: e che m g = 0log( K MAX ) ω = π / c T c si ossono ricavare, utilizzando le formule inverse, i valori di K PMAX e T c necessari er la tabella. La condizione necessaria er l'utilizzo del metodo di Ziegler-Nichols è che il sistema ad anello aerto sia stabile. Il metodo è alicabile solo er i sistemi con margine di guadagno finito: ci sono infatti sistemi che non generano oscillazioni, anche con guadagni roorzionali elevati. Altre volte uò essere ericoloso, o comunque sconsigliabile, ortare il sistema al limite di stabilità. Un regolatore PID rogettato secondo questo metodo fornisce, in anello chiuso, un margine di fase inferiore a 40. ag. 7 di

8 4. Reti correttrici Per rendere stabili i sistemi instabili o aumentare i margini di amiezza e di fase di quelli stabili o er migliorare la loro stabilità si inseriscono delle reti di comensazione o correttrici. Figura 9 Le reti correttrici sono costituite essenzialmente da filtri, aventi funzioni di trasferimento tali da migliorare comlessivamente la risosta dinamica del sistema. Le reti sono generalmente collocate doo il nodo sommatore e sono collegate in serie con gli altri blocchi del ramo diretto. La scelta della rete che meglio risonde alle secifiche di rogetto va fatta solo doo aver eseguito l'analisi della risosta in frequenza della funzione di trasferimento ad anello aerto del sistema. Di seguito sono resi in esame solo gli asetti essenziali delle reti correttrici assive. Le reti correttrici ossono essere:. attenuatrice;. a olo dominante; 3. ritardatrici; 4. anticiatrici; 5. a sella; 4.. Rete attenuatrice Il iù semlice degli interventi er modificare la risosta in frequenza di un sistema consiste nell'introdurre una rete attenuatrice (con K RC <), la cui finzione è quella di sostare verso il basso il diagramma di Bode della G(s)H(s). Il circuito non interviene in alcun modo sulla fase. La stabilità viene aumentata ma a scaito di una ulsazione di taglio inferiore che determina una maggiore velocità di risosta. Inoltre, l'introduzione di un K RC <, modifica il guadagno statico del sistema e quindi un maggiore errore a regime. La semlicità della rete diventa solo un minimo vantaggio risetto al eggioramento del sistema in generale rete attenuatrice Fisicamente la rete attenuatrice si resenta come un artitore di tensione che avrà quindi una funzione di trasferimento costante ari a: R GRC ( jω ) = K RC = R + R ag. 8 di

9 4.. Rete a olo dominante La rete comrende un solo olo a frequenza molto iù bassa, risetto a quella dei oli resenti nella G (S) H (s). La sua f.d.t. uò essere scritta: G RC ( jω ) = j ω + La scelta del olo deve essere effettuata in modo che l'attraversamento dell'asse delle ascisse del diagramma di Bode del modulo di G RC (S) G (S) H (S) avvenga er la ulsazione corrisondente al rimo olo della G (s) H (S); in questo modo la endenza è sicuramente di 0 db/dec e dunque il sistema è stabile. La scelta del valore del olo deve essere inferiore a tutti i oli del sistema. La rete è sostanzialmente un filtro assa-basso RC e la diminuzione della frequenza di taglio comorta l'aumento della velocità di risosta. Questo svantaggio è sesso "voluto" in articolare nei sistemi che resentano velocità di risosta molto basse come, ad esemio, i sistemi di riscaldamento. In questi casi l'utilizzo del filtro assa basso è una soluzione efficace Rete ritardatrice Questa rete resenta un olo e uno zero z con <z: G RC ( jω ) = + + jω z j ω Il diagramma di Bode del modulo è riortato in figura 0 figura 0 La scelta dei valori del olo e dello zero deve essere effettuata secondo il criterio di seguito illustrato (metodo della cancellazione olo-zero): Lo zero z della G RC (S) deve essere ari, al massimo, al valore del rimo olo della G(s)H(s) mentre il olo deve avere un valore tale che G(s)G(s)H(s)=0 db alla ulsazione del secondo olo di G(s)H(s). Sarà sufficiente che il olo sia uguale ad almeno 0, z. La rete non introduce attenuazione quando ω< (basse frequenze), mentre introduce una ag. 9 di

10 attenuazione ar ω>z (alte frequenze) di: R R + R Riassumendo si uò affermare che una rete ritardatrice: migliora le caratteristiche a bassa frequenza senza cambiare il guadagno statico; migliora il grado di stabilità; aumenta il temo di risosta del sistema comensato erché rovoca la diminuzione della ulsazione di taglio; riduce la banda assante Rete anticiatrice Questa rete resenta semre un olo e uno zero z ma con > z: jω + G z RC ( jω ) = j ω + Il diagramma di Bode del modulo è riortato in figura figura Per la determinazione di e z si rocede nel seguente modo: lo zero z della G RC (s) è ari al secondo olo di G(s)H(s) e er il olo deve essere G RC (s)g(s)h(s) =0 db. In questo modo l'intersezione della curva con l'asse orizzontale avviene con endenza ari a 0 db/dec e quindi il sistema è stabile. Risetto alla rete ritardatrice er ω<z (basse frequenze), introduce una attenuazione di: R R + R La rete: migliora le caratteristiche del sistema in alta frequenza; aumenta la raidità di risosta erché rovoca l'aumento della frequenza di taglio; migliora il margine di stabilità (il diagramma della fase della rete è ositivo, anche se non sueriore a 90 ); introduce un'attenuazione; riduce il guadagno statico (si uò comromettere l'errore a regime); 4..4 Rete a sella La rete a sella somma gli effetti della rete ritardatrice e della rete anticiatrice. Il suo schema elettrico è quello indicato in figura. ag. 0 di

11 La funzione di trasferimento della rete è la seguente: + jω τ + G RC ( jω ) = + jω T + ( )( jω τ ) ( )( jω T ) dove: τ = RC τ = RC T = aτ τ T = a a è una costante a scelta maggiore di (generalmente intorno a 0). Per dimensionare la rete correttrice si scelgono τ e τ uguali ai oli iù iccoli della funzione G(jω)H(jω). Con questo sistema i oli vengono "cancellati" dagli zeri della rete correttrice e sostituiti con altri oli T e T. La rete correttrice resenta il vantaggio di migliorare il margine di fase ed il margine di guadagno senza variare il guadagno statico (e quindi l'errore a regime), tuttavia, la velocità di risosta del sistema aumenta er la resenza del olo T. 4.3 Sintesi dei sistemi di controllo Nel dimensionamento di un sistema di controllo (servosistema) le secifiche di rogetto sono generalmente l'errore a regime massimo, le condizioni relative alla stabilità (margine di fase) e il valore della velocità di risosta. Meno frequentemente, ma non meno imortanti sono le seguenti secifiche: l'overshoot; temi di ritardo, di assestamento e di salita; larghezza di banda tutte già trattate nelle recedenti unità. Per la determinazione dei arametri si agisce nel modo seguente:. si definisce la funzione di trasferimento di ciascuno dei blocchi resenti nel sistema;. si determina il valore del guadagno statico che consente di realizzare l'errore a regime desiderato; 3. dall'analisi della f.d.t. G(jω)H(jω) si determina il valore del margine di fase, di guadagno e la ulsazione critica ω c ; 4. in genere questi valori non sono tali da soddisfare le condizioni di secifica di ag. di

12 rogetto e occorre quindi intervenire aggiungendo una rete correttrice che modifichi la osizione dei oli della G(jω)H(jω). ag. di