Statistica 1 A.A. 2015/2016

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1 Corso di Laurea in Economia e Finanza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispondenti a 48 ore di lezione frontale e 24 ore di esercitazione) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 52

2 Adattamento di una distribuzione teorica ad una distribuzione empirica La valutazione della bontà di adattamento di una distribuzione teorica ad una distribuzione empirica avviene attraverso le seguenti fasi: i. in funzione della natura della variabile statistica in esame si sceglie il modello probabilistico più ideneo; ii. valutazione della bontà di adattamento mediante l indice X 2 = k (n i n i ) 2 i=1 ni a) stima dei parametri incogniti del modello probabilistico scelto; b) calcolo delle frequenze teoriche ni ; c) valutazione della bontà di adattamento mediante il confronto dell indice X 2 con il valore critico k 1, dove k è il numero di modalità/classi della distribuzione di frequenza in esame. 2 / 52

3 Momenti empirici I momenti empirici, i quali costituiscono la versione empirica dei momenti teorici, svolgono un ruolo centrale all interno del metodo dei momenti per la stima dei parametri di una funzione di distribuzione di probabilità o di una funzione di densità. I momenti empirici consentono inoltre di definire la versione empirica dell indice teorico di asimmetria β 1 e dell indice di curtosi β 2. 3 / 52

4 Sia (x 1, x 2,..., x n) un campione di numerosità n. Definiamo momento empirico di ordine r e origine m la quantità n i=1 ˆµ m,r = (x i m) r. n La precedente definizione mostra che il momento empirico di origine 0 e ordine 1 è la media artimetica n i=1 ˆµ 0,1 = x i = x n I momementi empirici di ordine r e origine la media aritmetica x vengono definiti momenti empirici centrati di ordine r, formalmente n i=1 ˆµ r = (x i x) r. n L espressione precedente mostra che il momento empirico centrato di ordine 2 è l indice varianza n i=1 ˆµ 2 = (x i x) 2. n 4 / 52

5 Quando si dispone di una distribuzione di frequenza, il momento empirico di ordine r e origine m viene definito nel seguente modo n i=1 ˆµ m,r = (x i m) r n i. n dove n i è la frequenza assoluta associata ad x i. Se si dispone di una distribuzione di frequenza in classi, la formula precedente si modifica utilizzando i valori centrale di ogni classe, ovvero n i=1 ˆµ m,r = (x i c m) r n i n 5 / 52

6 Il problema della bontà di adattamento: esempio 1 Un gruppo di 80 studenti è stato sottoposto ad un test attitudinale per l ammissione ad un corso di studi. Viene riportata la distribuzione di frequenze della variabile Numero di errori commessi: X n i Tot. 80 Individuare il modello teorico più opportuno da adattare alla distribuzione osservata e verificarne la bontà di adattamento. 6 / 52

7 La variabile statistica osservata numero di errori commessi è una variabile quantitativa discreta, quindi la nostra scelta si limita ai modelli studiati per le variabili aleatorie discrete, ovvero la variabile aleatoria binomiale e la variabile aleatoria di Poisson. Osservazioni: i. la variabile in esame può assumere solamente un numero finito di valori, ovvero il numero totale n di domande riportate nel questionario. Notiamo che n non è noto; ii. la distribuzione di frequenza sembra mostrare che la variabile considerata non descrive un evento raro. Sulla base delle osservazioni precedenti si deduce che il modello probabilistico più idoneo è il modello binomiale. 7 / 52

8 Come visto in precedenza, la funzione di distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria binomiale ( ) n p(x) = π x (1 π) n x x è indicizzata da due parametri: n = numero di prove; π = probabilità dell evento successo. Poiché n e π non sono noti è necessario utilizzare un metodo opportuno per la stima dei due parametri. Il metodo che utilizzeremo prende il nome di metodo dei momenti. 8 / 52

9 Il metodo dei momenti è uno dei più vecchi metodi di stima puntuale proposti in letteratura e venne introdotto da Karl Pearson alla fine del Il metodo consiste nell uguagliare i momenti teorici con i momenti empirici. risoluzione del sistema così ottenuto fornisce le stime dei parametri incogniti. La Consideriamo quindi il sistema { ˆnˆπ = x ˆnˆπ(1 ˆπ) = σ 2 dove x e σ 2 sono rispettivamente la media aritmetica e la varianza calcolata sui dati. 9 / 52

10 Sostituendo nella seconda equazione ˆnˆπ con x si ricava x(1 ˆπ) = σ 2 quindi 1 ˆπ = σ2 x Noto ˆπ, sostituendo nella prima equazione si ricava quindi ˆπ = 1 σ2 x. ˆn = xˆπ. Poiché ˆn non è un numero intero si utilizza come stima del parametro n sempre l intero successivo. 10 / 52

11 L esempio 1 che segue consente di chiarire perché ˆn deve sempre essere arrotondato all intero successivo. Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n e π. Dalla tabella X n i x i n i xi 2 xi 2 n i Tot si ricava che x = = 1.85 σ2 = = Applicando le formule precedenti si ricava ˆπ = 1 σ2 x = 0.82 ˆn = xˆπ = 2.26 Poiché la variabile X assume massimo valore 3, si deduce che ˆn non può essere arrotondato al valore 2 dato che ˆn è una stima del numero totale di prove compiute. 1 l autore è in debito con il Prof. Mineo e il Prof. Chiodi per l esempio suggerito. 11 / 52

12 Con riferimento alla variabile numero di errori commessi, dalla seguente tabella x i n i x i n i xi 2 xi 2 n i Tot si ricava che x = 4.84 e σ 2 = Utilizzando le formule precedenti si ricava ˆπ = 1 σ2 x Utilizzando l intero successivo si ricava che ˆn = 19. = 0.26 ˆn = xˆπ = / 52

13 Sulla base dei precedenti risultati, le probabilità teoriche sono fornite dalla seguente funzione di distribuzione di probabilità ( 19 ) ˆp(x i ) = 0.26 x i (1 0.26) (19 x i ) x i Le frequenze teoriche, denotate con ni, sono ottenute moltiplicando le probabilità teoriche, ˆp(x i ), per il totale delle osservazioni, ovvero 80. x n i ˆp(x i ) ni (n i ni ) (n i ni )2 (n i ni )2 /ni Tot, Poiché X 2 = è inferiore a k 1 = 11 1 = 10 si deduce che il modello binomiale descrive bene i dati a nostra disposizione. 13 / 52

14 Il problema della bontà di adattamento: esempio 2 Un gruppo di 76 studenti è stato sottoposto ad un test attitudinale per l ammissione ad un corso di studi. Viene riportata la distribuzione di frequenze della variabile Numero di errori commessi su un totale di 10 domande: x n Tot. 76 Individuare il modello teorico più opportuno da adattare alla distribuzione osservata e verificarne l adattamento. 14 / 52

15 La variabile statistica osservata numero di errori commessi su un totale di 10 domande è una variabile quantitativa discreta, quindi la nostra scelta si limita ai modelli studiati per le variabili aleatorie discrete, ovvero la variabile aleatoria binomiale e la variabile aleatoria di Poisson. Osservazioni: i. la variabile in esame può assumere solamente un numero finito di valori. Notiamo che n è noto; ii. la distribuzione di frequenza mostra che la variabile considerata non sembra descrivere un evento raro. Sulla base delle osservazioni precedenti si deduce che il modello probabilistico più idoneo è il modello binomiale. 15 / 52

16 Come visto in precedenza, la funzione di distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria binomiale ( ) n p(x) = π x (1 π) n x x è indicizzata da due parametri: n = numero di prove; π = probabilità dell evento successo. Dalla descrizione dell esperimento si deduce che il parametro n è noto ed uguale a 10. Il parametro π è incognito e verrà stimato con il metodo dei momenti. Uguagliando il valore atteso della variabile aleatoria binomiale alla media aritmetica si ricava che ˆπ = x n. E(X ) = n ˆπ = x 16 / 52

17 La seguente tabella mostra che x = x n x n Tot = 4.89 da cui si ricava che ˆπ = = / 52

18 Sulla base dei precedenti risultati, le probabilità teoriche sono fornite dalla seguente funzione di distribuzione di probabilità ( 10 ) ˆp(x i ) = x i ( ) (10 x i ) x i Le frequenze teoriche, denotate con ni, sono ottenute moltiplicando le probabilità teoriche, ˆp(x i ), per il totale delle osservazioni, ovvero 76. x n i ˆp(x i ) ni (n i ni ) (n i ni )2 (n i ni )2 /ni Tot / 52

19 Sulla base dei risultati precedenti si ricava che X 2 = Poiché X 2 è più grande di k 1 = 11 1 = 10, i risultati sembrano suggerire che non vi sia un buon adattamento. L analisi della tabella utilizzata per il calcolo dell indice X 2 x n i ˆp i ni (n i ni ) (n i ni )2 (n i ni )2 /ni mostra che il cattivo adattamento è dovuto solamente ai valori (n i ni )2 /ni delle prime due righe e delle ultime due righe. 19 / 52

20 Il problema della bontà di adattamento: esempio 3 Negli ultimi anni si è assistito ad un evoluzione delle modalità di accesso wireless ad Internet sia in termini di affidabilità che di prestazioni. All interno di questo nuovo settore tecnologico le femtocelle, piccole stazioni radio domestiche in grado di coprire un ufficio o un appartamento e gestite in remoto dagli operatori di telefonia mobile, consentono di eliminare i problemi di trasmissione che si verificano all interno di luoghi di ridotte dimensioni. Per valutare le prestazioni di una nuova femtocella, un gruppo di ingegneri ha rilevato per 100 giorni il numero di interferenze giornaliere, denotato con X, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza X n i Sulla base della descrizione del fenomeno oggetto di studio, il candidato scelga il più adeguato modello probabilistico e ne valuti l adattamento mediante l indice più adeguato. 20 / 52

21 La variabile statistica osservata numero di interferenze giornaliere è una variabile quantitativa discreta, quindi la nostra scelta si limita ai modelli studiati per le variabili aleatorie discrete, ovvero la variabile aleatoria binomiale e la variabile aleatoria di Poisson. Osservazioni: i. la variabile in esame può assumere, almeno da un punto di vista teorico, un numero infinito di valori. ii. la variabile in esame sembra descrivere un evento raro. Sulla base delle osservazioni precedenti si deduce che il modello probabilistico più idoneo è il modello di Poisson. 21 / 52

22 La funzione di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria di Poisson dipende da un solo parametro incognito p(x) = λx e λ x! λ = valore atteso della variabile aleatoria X. L applicazione del metodo dei momenti mostra che il parametro λ può essere stimato tramite la media aritmetica, ovvero ˆλ = x = k i=1 x i n i n 22 / 52

23 La tabella mostra che ˆλ = x i n i x i n i Tot k i=1 x i n i n = = / 52

24 Sulla base della stima del parametro λ, le probabilità teoriche sono fornite dalla seguente funzione p(x i ) = 3.06x i e 3.06 x i! Le frequenze teoriche, denotate con n i, sono ottenute moltiplicando le probabilità teoriche, p(x i ), per il totale delle osservazioni, ovvero 100. x i n i p(x i ) ni n i ni (n i ni )2 (n i ni )2 /ni Tot Poiché l indice X 2 è inferiore a k 1 = 9 1 = 8 si può ritenere che il modello teorico di Poisson descrive bene i dati a nostra disposizione. 24 / 52

25 Di seguito è riportata la distribuzione di frequenza del numero di prodotti realizzati giornalmente da una data azienda e definiti difettosi. x n Sulla base della descrizione del fenomeno oggetto di studio, il candidato scelga il più adeguato modello probabilistico e ne valuti l adattamento mediante l indice più adeguato. 25 / 52

26 La variabile statistica osservata numero di prodotti difettosi è una variabile quantitativa discreta, quindi la nostra scelta si limita ai modelli studiati per le variabili aleatorie discrete, ovvero la variabile aleatoria binomiale e la variabile aleatoria di Poisson. Osservazioni: i. la variabile in esame può assumere, almeno da un punto di vista teorico, un numero infinito di valori. ii. la variabile in esame sembra descrivere un evento raro. Sulla base delle osservazioni precedenti si deduce che il modello probabilistico più idoneo è il modello di Poisson. 26 / 52

27 La funzione di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria di Poisson dipende da un solo parametro incognito p(x) = λx e λ x! λ = valore atteso della variabile aleatoria X. L applicazione del metodo dei momenti mostra che il parametro λ può essere stimato tramite la media aritmetica, ovvero ˆλ = x = k i=1 x i n i n 27 / 52

28 La tabella mostra che ˆλ = x i n i x i n i Tot k i=1 x i n i n = = / 52

29 Sulla base della stima del parametro λ, le probabilità teoriche sono fornite dalla seguente funzione p(x i ) = 2.96x i e 2.96 x i! Le frequenze teoriche, denotate con n i, sono ottenute moltiplicando le probabilità teoriche, p(x i ), per il totale delle osservazioni, ovvero 100. x i n i p(x i ) ni n i ni (n i ni )2 (n i ni )2 /ni Tot Poiché l indice X 2 è inferiore a k 1 = 9 1 = 8 si può ritenere che il modello teorico di Poisson non descrive bene i dati a nostra disposizione. 29 / 52

30 Il problema della bontà di adattamento: esempio 4 Di seguito è riportata la distribuzione di frequenza in classi ottenuta mediante un campione 100 misure sperimentali rilevate in un punto di un circuito elettrico tramite voltmetro digitale. classi n i Individuare il modello teorico più opportuno da adattare alla distribuzione osservata e verificarne l adattamento. 30 / 52

31 Poiché la variabile statistica osservata è una variabile quantitativa continua, l unico modello teorico di cui possiamo valutare la bontà di adattamento è il modello di Gauss. La funzione di densità dipende dai due parametri incogniti f X (x; µ, σ) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, µ = valore atteso della variabile aleatoria X σ = deviazione standard della variabile aleatoria X. I parametri µ e σ possono essere stimati attraverso la media aritmetica e la deviazione standard campionaria. 31 / 52

32 Dalla tabella classi n i x c i x c i n i (x c i )2 (x c i )2 n i Tot si ricava k i=1 ˆµ = x = x i cn i = n k i=1 ˆσ = (x i c)2 n i x n 2 = / 52

33 Il calcolo dell indice X 2 = k (n i n i ) 2 i=1 n si fonda sull utilizzo delle frequenze teoriche i ni definite come ni = n P(x i < X < x i+1 ) Utilizzando la relazione P(x i < X < x i+1 ) = P(z i < Z < z i+1 ) = P(Z < z i+1 ) P(Z < z i ) = F (z i+1 ) F (z i ) si ricava che per il calcolo delle frequenze teoriche è necessario calcolare i valori standardizzati z i = x i ˆµ = x i ˆσ ed utilizzare il prontuario delle probabilità integrali della distribuzione normale standardizzata. 33 / 52

34 Dallo studio della seguente tabella si ricava che x i+1 z i+1 F i+1 0 F i+1 F i n i n i (n i n i ) (n i n i ) 2 (n i n i ) 2 /n i Tot X 2 = Poiché l indice X 2 è inferiore al valore k 1 = 6 1 = 5, si deduce che la distribuzione di Gauss descrive bene la distribuzione osservata. 34 / 52

35 I risultati ottenuti in precedenza trovano conferma nella seguente rappresentazione grafica f i Volt 35 / 52

36 Il problema della bontà di adattamento: esempio 5 Per valutare il livello di inquinamento di un dato fiume del territorio italiano, un gruppo di studiosi ha misurato il livello di nitrogeno presente in un punto fissato del fiume. Di seguito viene riportata la distribuzione di frequenza in classi ottenuta attraverso un campione di 112 rilevazioni sperimentali. Classi n i Tot. 112 Individuare il modello teorico più opportuno da adattare alla distribuzione osservata e verificarne l adattamento. 36 / 52

37 Poiché la variabile statistica osservata è una variabile quantitativa continua, l unico modello teorico di cui possiamo valutare la bontà di adattamento è il modello di Gauss f i N 2O Il grafico sembra suggerire che il modello di Gauss non descrive bene i dati a nostra disposizione. Una conferma a tale ipotesi è ottenuta mediante l indice X / 52

38 La funzione di densità dipende dai due parametri incogniti f X (x; µ, σ) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, µ = valore atteso della variabile aleatoria X σ = deviazione standard della variabile aleatoria X. I parametri µ e σ possono essere stimati attraverso la media aritmetica e la deviazione standard. 38 / 52

39 Dalla tabella si ricava classi n i x c i x c i n i (x c i )2 (x c i )2 n i Tot k i=1 ˆµ = x = x i cn i = n k i=1 ˆσ = (x i c)2 n i x n 2 = / 52

40 Il calcolo dell indice X 2 = k (n i n i ) 2 i=1 n si fonda sull utilizzo delle frequenze teoriche i ni definite come ni = n P(x i < X < x i+1 ) Utilizzando la relazione P(x i < X < x i+1 ) = P(z i < Z < z i+1 ) = P(Z < z i+1 ) P(Z < z i ) = F (z i+1 ) F (z i ) si ricava che per il calcolo delle frequenze teoriche è necessario calcolare i valori standardizzati z i = x i ˆµ = x i ˆσ ed utilizzare il prontuario delle probabilità integrali della distribuzione normale standardizzata. 40 / 52

41 Poiché ni = n[f (z i+1 ) F (z i )], si ricava che il calcolo dell indice X 2 si basa sulla seguente tabella x i+1 z i+1 F i+1 F i+1 F i n i n i (n i n i ) (n i n i )2 (n i n i ) Tot da cui si ricava che X 2 = Poiché l indice X 2 è superiore a k 1 = 8 1 = 7 si deduce che la distribuzione di Gauss non descrive bene la distribuzione osservata. n i 41 / 52

42 I risultati ottenuti in precedenza trovano conferma nella seguente rappresentazione grafica f i N 2O dalla quale si evence che il modello di Gauss non descrive bene i dati a nostra disposizione. 42 / 52

43 Esercizi I test ADAC sono tra le più affidabili e attendibili prove sugli pneumatici. L ultimo test condotto ha avuto come obiettivo il confronto di 3 differenti prodotti, indicati con P 1, P 2 e P 3, con un prodotto di riferimento, indicato con P 0. Il test è stato ripetuto 100 volte per ogni prodotto e nella seguente tabella sono riportati i risultati ottenuti. Il test fornisce un valore reale compreso tra 0 e 100 e i valori crescenti indicano un miglioramento nella performance dei pneumatici. Tabella: Risultati del test ADAC Test Tot. P P P P Sulla base della descrizione del fenomeno in esame scegliere il più opportuno modello probabilistico e verificarne l adattamento alle distribuzioni dei prodotti P 0, P 1, P 2 e P / 52

44 Un azienda di credito ha ripartito un campione di 140 dei propri clienti in due categorie definite solvente e insolvente. La tabella seguente riporta la distribuzione dei finanziamenti concessi dall azienda di credito in funzione delle due categorie considerate Finanziamenti concessi (dati per migliaia di euro) Cliente solvente insolvente Sulla base dei dati riportati in tabella, si scelga il modello probabilistico più adeguato per descrivere la distribuzione di frequenze dei clienti di tipo solvente e se ne valuti la bontà di adattamento mendiante adeguato indice statistico. 44 / 52

45 Per valutare le prestazioni di un nuovo processore per personal computer, il direttore del reparto ricerca e sviluppo ha ripetuto, sullo stesso processore, cento volte lo stesso benchmark prestazionale. Il benchmark utilizzato fornisce un valore continuo e di seguito è riportata la distribuzione di frequenze in classi dei risultati ottenuti. Tabella: Distribuzione di frequenze in classi dei risultati del benchmark considerato Benchmark n i Tot. 100 Il candidato valuti la bontà di adattamento al modello probabilistico ritenuto più adeguato per i dati riportati in tabella. Commentare adeguatamente i risultati ottenuti. 45 / 52

46 Di seguito è riportata la distribuzione di frequenze in classi delle sovvenzioni cambiarie concesse da una data banca ai propri clienti. Tabella: Distribuzione di frequenze in classi delle sovvenzioni cambiarie (dati in migliaia di euro) Sovvenzioni n i < Tot. 76 Il candidato valuti la bontà di adattamento al modello probabilistico ritenuto più adeguato per i dati riportati in tabella. 46 / 52

47 Per valutare la qualità del proprio processo produttivo, l addetto al controllo della qualità di un azienda produttrice di lampadine estrae con reimmisione, dal totale della produzione mensile, trenta campioni di numerosità dieci. Su ogni campione viene rilevato il numero di lampadine difettose. La tabella riporta i dati rilevati. Tabella: Numero di lampadine difettose rilevato su trenta campioni i. Il candidato costruisca e rappresenti graficamente la distribuzione di frequenze della variabile numero di lampadine difettose. ii. Il candidato adatti alla variabile numero di lampadine difettose il modello teorico che ritiene più opportuno e ne valuti l adattamento attraverso un adeguato indice. 47 / 52

48 Si sono rilevati i guasti meccanici riportati da 40 autovetture FIAT e da 60 autovetture OPEL, possedute da un azienda di spedizioni, nei primi km di percorrenza. I dati sono sintetizzati nella seguente tabella che riporta le frequenze assolute: N. Guasti Fiat Opel Si adatti alla variabile osservata, distintamente per i due tipi di autovettura, la variabile casuale che si ritiene più opportuna, e si calcoli, su ciascuna delle due distribuzioni, un indice di bontà di adattamento. Su quale delle due distribuzioni l adattamento si può ritenere migliore? 48 / 52

49 In un impresa di soccorso stradale sono state registrate le richieste giornaliere di intervento, su un arco di 100 giorni, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: interventi n Il candidato adatti alla variabile numero di interventi giornalieri il modello teorico che ritiene più opportuno e ne valuti l adattamento attraverso un adeguato indice. 49 / 52

50 In un campione casuale di 130 circuiti elettronici è stato osservato il numero dei difetti presenti. La distribuzione di frequenza del numero dei difetti è riportata nella seguente tabella: n. di difetti frequenza osservata Il candidato adatti alla variabile numero di difetti il modello teorico che ritiene più opportuno e ne valuti l adattamento attraverso un adeguato indice. 50 / 52

51 La seguente distribuzione descrive il numero di particelle rilasciate durante il decadimento radioattivo del Polonio, in intervalli di 72 secondi: x n Il candidato adatti alla variabile considerata il modello teorico che ritiene più opportuno e ne valuti l adattamento attraverso un adeguato indice. 51 / 52

52 La seguente tabella mostra la distribuzione di frequenze del numero dei parti, rilevato in una clinica, nell arco di un periodo di 100 giorni: n. parti frequenze Il candidato adatti alla variabile considerata il modello teorico che ritiene più opportuno e ne valuti l adattamento attraverso un adeguato indice. 52 / 52