Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

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1 Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1

2 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei solidi di rotzione e risolvere dei prolemi di fisic. Al termine dell lezione sri in grdo di pplicre le procedure di clcolo dell integrzione definit : clcolo delle ree clcolo dei volumi dei solidi di rotzione prolemi di fisic In quest lezione vedremo come utilizzre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree dei sottogrfici di lcune funzioni, i volumi di determinti solidi di rotzione e l soluzione di lcuni prolemi fisici. Al termine dell lezione sri in grdo di pplicre le procedure di clcolo dell'integrzione definit l clcolo delle ree, l clcolo dei volumi dei solidi di rotzione e prolemi di fisic. 2

3 Are delle figure pine f(x) positiv o null nell intervllo [,] f(x) negtiv nell intervllo [,] f x) ( è l re del trpezoide sottostnte l curv nell intervllo [,]. f x) ( è l re compres tr l curv e l sse delle x nell intervllo [,]. Per clcolre l re dell prte di pino compres tr il grfico di un funzione f e l sse x nel cso in cui ess si trovi in prte sopr e in prte sotto l sse x, isogn trovre gli intervlli in cui il segno di f è costnte, clcolre gli integrli definiti di f in tli intervlli e poi sommrli. y f + - c x A f ( x) = f ( x) c Inizimo dl clcolo delle ree. Si f(x) un funzione positiv o null in un intervllo [,]. Allor l integrle tr e dell funzione, come visto nelle lezioni precedenti, rppresent l re del trpezoide sottostnte l curv proprio nell intervllo [,]. Cos ccde se l funzione è negtiv? Il suo integrle è un vlore negtivo e quindi isogn cmirne il segno per ottenere il vlore dell re. In definitiv, per clcolre l re dell prte di pino compres tr un curv che rppresent un funzione f e l sse x, nel cso in cui ess si in prte sopr e in prte sotto l sse x, isogn innnzitutto trovre gli intervlli in cui il segno dell funzione è costnte. Poi si deve clcolre seprtmente il vlore degli integrli definiti di f in tli intervlli, ciscuno secondo il proprio segno, e infine sommre i vlori ottenuti. Nel grfico è riportt un funzione che si mntiene positiv nell intervllo ],[ e negtiv in ],c[. L re compres tr il grfico di f e l sse x è trtteggit in rosso per l prte positiv e in gillo per quell negtiv. Il suo vlore srà quindi dto dll integrle dell funzione clcolto tr e più l opposto dell integrle dell stess funzione clcolto tr e c. 3

4 Are delimitt d due funzioni f(x) e g(x) funzioni definite nell intervllo [,] f(x)>g(x) per ogni x in ],[ le funzioni rcchiudono un superficie A. [ f ( x g( x) ] A = ) y y f(x) f(x) A A g(x) g(x) x x Considerimo or due funzioni, f(x) e g(x) definite entrme nello stesso intervllo [,]. Supponimo che l prim funzione si mnteng sempre l di sopr dell second, risultndo mggiore di ess nell intervllo perto ],[ e l più ugule negli estremi. Le due funzioni quindi, con le eventuli rette x= e x=, rcchiudono un superficie A. L re di quest superficie, è fcilmente intuiile, è dt dll integrle tr e dell differenz tr le due funzioni. Inftti l integrle di f(x) dree tutt l superficie compres tr l funzione f(x) e l sse x, mentre l integrle di g(x) dree solo l prte di re l di sotto dell funzione g(x). L loro differenz, è proprio l superficie che cerchimo. Nelle due immgini sottostnti si possono individure due possiili situzioni: nell prim le due funzioni coincidono negli estremi, mentre nell second le funzioni rcchiudono l re con l usilio delle rette verticli x= e x=. In entrmi i csi, l formul per il clcolo dell re è quell indict in quest pgin. 4

5 Volume dei solidi di rotzione Volume di un solido di rotzione Si f(x) un funzione positiv o null definit su [,] e considerimo il trpezoide delimitto d f(x), l sse x e le rette x= e x=. Fcendo ruotre tle trpezoide di un giro completo ttorno ll sse x si ottiene un solido il cui volume è dto d: V = π f 2 ( x). y f(x) x Osservzione: L integrle è l somm di tutte le ree delle circonferenze di rggio f(x) comprese tr e. Spostimo l nostr ttenzione sul clcolo del volume dei solidi di rotzione. Si f(x) un funzione positiv o null definit su [,] e considerimo il trpezoide delimitto d f(x), l sse x e le rette x= e x=. Fcendo ruotre tle trpezoide di un giro completo ttorno ll sse x si ottiene un solido il cui volume è dto dll integrle tr e di f 2 (x) moltiplicto per π. Nell figur possimo vedere l rppresentzione dell costruzione di un solido di rotzione prtire d un funzione f(x). Osservimo che, in effetti, l formul presentt si s su un conseguenz del Principio di Cvlieri. Il volume, inftti, si ottiene dll somm continu di tutte le ree delle vrie circonferenze comprese tr e e di rggio f(x). 5

6 Rotzione ttorno ll sse y Se l rotzione vviene ttorno ll sse y: invertimo l funzione scrivendol come x=f -1 (y) sommimo le ree dei cerchi di rggio f -1 (y) Il volume è dto d: V = π 1 2 [ f ( y) ] dy. Concettulmente non ci llontnimo d qunto detto nell pgin precedente se considerimo l rotzione ttorno ll sse y. In questo cso, però, doimo fre un pssggio intermedio, cioè doimo esprimere l funzione come dipendente d y e quindi doimo ricvre lgericmente l invers. L somm delle ree, stvolt, srà effettut su cerchi di rggio f -1 (y). Il volume, quindi, srà dto dll stess formul dell pgin precedente, dove l posto di f(x) doimo considerre f -1 (y) e l integrzione, ovvimente, dovrà vvenire rispetto ll vriile y, cioè in dy. 6

7 Appliczioni ll fisic: spzio, velocità e ccelerzione Gli integrli trovno molte ppliczioni nell fisic. Appliczione l moto rettilineo: s(t) spzio percorso l tempo t v(t) velocità l tempo t (t) ccelerzione l tempo t v(t)=s (t) (t)=v (t)=s (t) s(t) è un primitiv dell velocità v(t) è un primitiv dell ccelerzione s ( t) v( x) + s( t ) v t = t0 t ( t) ( x) + v( t ) = t0 0 0 L ultim prte dell nostr lezione verterà sulle ppliczioni del clcolo integrle ll fisic. Inizimo con l cinemtic, cioè le relzioni tr spzio, velocità e ccelerzione. Sino rispettivmente s(t), v(t) e (t) spzio percorso, velocità e ccelerzione in un moto rettilineo l tempo t. Dllo studio delle derivte e delle loro ppliczioni dovresti ricordre che l velocità è l derivt dello spzio e che l ccelerzione, in qunto derivt dell velocità, è l derivt second dello spzio. Ne consegue che lo spzio è un primitiv dell velocità, e che quest ultim è un primitiv dell ccelerzione. Pertnto lo spzio percorso l tempo t è dto dllo spzio percorso l tempo t 0 sommto ll integrle tr t e t 0 dell funzione velocità. Anlogmente, l velocità è dt dll velocità inizile sommt ll integrle tr t e t 0 dell funzione ccelerzione. 7

8 Appliczioni ll fisic: il lvoro e l quntità di cric Appliczione l lvoro di un forz: F(x) forz che produce uno spostmento rettilineo d un punto un punto di un rett orientt L lvoro dell forz L = F ( x) Appliczione ll quntità di cric: i(t) intensità di corrente l tempo t q(t) quntità di cric l tempo t i(t)=q (t) Quntità di cric che ttrvers l sezione di conduttore nell intervllo di tempo [t 0,t 1 ]: t1 Q = i t0 ( t) dt Infine, due ltre ppliczioni del clcolo integrle ll fisic sono costituite dl lvoro di un forz e dll quntità di cric. Si F(x) l forz che produce uno spostmento rettilineo d un punto d un punto di un rett orientt e L il lvoro compiuto d tle forz. Poiché il lvoro è dto dl prodotto tr forz e spostmento, dividendo il percorso tr e in tnti spostmenti infinitesimli di mpiezz sui quli l forz si può considerre costnte, si possono sommre tutti i prodotti F(x) tr e fcendo proprio l integrle. Questo ci permette di clcolre il lvoro complessivo L. Pssndo ll quntità di cric, indichimo con i(t) l intensità di corrente l tempo t e con q(t) l quntità di cric sempre l tempo t. Sppimo che l intensità di corrente è dt dll derivt rispetto l tempo dell quntità di cric. Questo ci permette di individure l quntità di cric che ttrvers l sezione di un conduttore in un intervllo di tempo, proprio integrndo sullo stesso intervllo di tempo l funzione intensità di corrente. 8

9 Conclusione Appliczioni del Clcolo Integrle Aree Volume dei solidi di rotzione Fisic Un funzione Più funzioni Cinemtic Lvoro Quntità di cric Ricpitolimo qunto visto in quest lezione sulle ppliczioni del clcolo integrle. Innnzitutto imo visto come l integrle ci permett di clcolre ree delimitte si d un sol funzione e l sse x che d più funzioni. Aimo poi studito le formule che ci permettono di clcolre il volume dei solidi di rotzione, si per rotzioni ttorno ll sse x che per rotzioni ttorno ll sse y. Infine, imo visto come utilizzre gli integrli in ppliczioni fisiche, quli l cinemtic, per trovre spzio percorso e velocità prtire rispettivmente d velocità e ccelerzione, il clcolo del lvoro di un forz e il clcolo dell quntità di cric prtire dll intensità di corrente. 9