Moto di rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso : asse di rotazione

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1 Moto di otaione di un copo igido intono ad un asse fisso : asse di otaione x ϑ(t) ϕ d m v y dϑ ds dϑ Vettoe velocità angolae : vettoe tale che pe un qualsiasi punto P del copo individuato dal vettoe posiione ispetto a un polo sull asse di otaione, la velocità di P è data da: v v d s d ϑ s i n ϕ d t d t - ϑ d ( t ) d t - è dietto lungo l asse di otaione - il veso di è dato dalla egola della mano desta U.aspaini, Fisica

2 Dato un polo sull asse di otaione, la componente di L lungo l asse : è data da: Momento angolae pe un moto di otaione intono ad un asse : L momento di ineia del copo ispetto π/ ϕ dl Contibuto (infinitesimo) di dm al momento angolae totale L ϕ all asse : dl d m v L d m Copo C o p o v dm distana dall asse dell elemento dm v d L v d m U.aspaini, Fisica d L v d m π dl cos( ϕ ) ntegando su tutto il copo: L dl dm dm sin s i n ϕ ϕ dl dm dm d m sin ϕ

3 Momento di ineia [ ] K g m Dimensioni del momento d ineia: l momento d ineia dipende dalla foma geometica del copo, dalla sua distibuione di massa (densità) e dall asse consideato; non è una popietà intinseca del copo Esempio: momento d ineia di un asta omogenea di lunghea e massa M: l i) ispetto ad un asse pependicolae passante pe un suo estemo : l 3 dm λ l d m x λ d x 3 C o p o 0 densità lineae ii) ispetto ad un asse pependicolae passante pe il suo cento di massa : l / dm l x λ M / l x x λ d x 0 M l 3 l / 3 M l λ l 4

4 Esempi di calcolo di momenti di ineia i) Momento d ineia di un anello omogeneo di spessoe tascuabile, aggio e massa M ispetto all asse pependicolae al piano dell anello passante pe il suo cento di massa : dm dm dm anello anello M ii) Momento d ineia di un disco omogeneo di aggio e massa M ispetto all asse pependicolae al disco passante pe il suo cento di massa : d d m σ d S σ π d densità supeficiale: σ πσ d 0 Copo πσ 4 3 dm 4 M / π 0 σ π d M

5 Esempi di calcolo di momenti di ineia () iii) Momento d ineia di una sfea omogenea di aggio e massa M : d ( ) disco di massa dm(), momento d ineia d() d d M ( ) ρ d V ρ π ( ) d ( ) ( ) d M ( ) ρ 4 M / π ρ π ( ) 4 d ρ π ( ) d d ( ) ρ π ( ) d s f e a ρ π ρ π 5 5 M U.aspaini, Fisica 5

6 Momenti di ineia (3) anello di aggio m m disco di aggio m m guscio cilindico sottile di aggio n geneale mλ dove λ è detto aggio otatoe cilindo pieno di aggio U.aspaini, Fisica 6

7 guscio sfeico sottile di aggio m 3 Momenti di ineia (4) sfea piena di aggio m 5 l asta sottile di lunghea d ml ( m a + b ) mλ U.aspaini, Fisica 7 lasta a b

8 Teoema di Huygens-Steine (o degli assi paalleli ) : ' + M d momento d ineia ispetto all asse // e passante pe il CM x Teoema di Huygens-Steine x d C M massa totale del copo dm d m ( x + y ) d m C o p o C o p o P (x,y,,) (x,y, ) distana ta e y, y [ x ' + ( y ' + d ) ] d m [ x ' + y ' + y ' d + d ] d m C o p o C o p o ' d m + d y ' d m + d d m ' + M d C o p o C o p o C o p o x C M x y y ' + d ' U.aspaini, Fisica ' 8 C M ' 0 M y C M

9 i ) ii) d l / Esempi di applicaione del teoema di Steine : dm + M d ' C M M l l M l + M 3 Momento d ineia di un disco omogeneo di massa M e aggio ispetto ad un asse ad esso pependicolae passante pe un punto P sul suo bodo : (cf. slide n.3) M d P ' + C M M M 3 P d + M M P 3 Si noti che: un disco che uoti sena stisciae ( puo otolamento ) compie una otaione intono all asse istantaneo passante pe il punto di contatto col piano di appoggio U.aspaini, Fisica 9 P v

10 Teoema del momento angolae pe un copo igido l teoema del momento angolae ( a equaione cadinale della dinamica): U.aspaini, Fisica d L d t massa totale del sistema ( ) M v M v momento totale delle foe estene ispetto al polo E pe un copo igido in otaione intono ad un asse fisso ( v 0) : ) M E velocità del polo nel sistema di ifeimento ineiale nel quale i Punti mateiale hanno le velocità v che entano nella definiione di L : L v d m d L d t M ( E ) C o p o può essee ifomulato utiliando il concetto di momento d ineia. Poiettando tale equaione lungo l asse di otaione: dl dt α dt ( ( in fomale analogia con la legge di Newton: F m a ) d d dt ( ) ( E M acceleaione angolae : d ( t ) α ( t ) d t )

11 Equaione fondamentale della dinamica delle otaioni: L equaione fondamentale della dinamica delle otaioni: M ( E ) α è fomalmente analoga alla a legge della dinamica pe un punto mateiale, con le sostituini: foa isultante F momento delle foe estene M acceleaione a acceleaione angolae α Esempio : pota in otaione intono ai suoi cadini M P F foa agente sulla maniglia F P massa m momento d ineia ispetto all asse P M α (t) (t+dt) P F di otaione d ( t ) α ( t ) M / dt U.aspaini, Fisica stessa foa M F P P α baccio minoe minoe acceleaione angolae

12 h Φ y eaione vincolae (non ha momento ispetto ad ) ϑ mg x M m g Pendolo composto ggetto vincolato ad oscillae in un piano veticale intono ad un asse passante pe un punto di sospensione non coincidente con il suo cento di massa y d ϑ ( t ) d t M ( E ) M α Pe piccole oscillaioni (sin ϑ ϑ ) : m g h + ϑ ( t ) hmg Poieione della a eq.cadinale lungo l asse : d ϑ ( t ) d t g + ϑ ( t ) l 0 piano di oscillaione (x,y) M sin ϑ ( t ) m g h s i n ϑ ( t ) 0 U.aspaini, Fisica ntoducendo la lunghea idotta del pendolo composto: d mg ϑ ( t ) d t Soluione : moto amonico l x m h ϑ ( t ) ϑ s i n ( t + ϕ ) 0

13 l U.aspaini, Fisica piano di oscillaione (x,y) h Assi ecipoci di un pendolo composto: y h mg asse di otaione assi ecipoci asse di oscillaione : asse paallelo all asse di otaione, passante pe il punto a distana l ( lunghea idotta ) dal punto di sospensione lungo la etta peiodi di oscillaione intono agli assi e ( assi ecipoci ) sono uguali. nfatti: + m h l + h m h l m h m h m h m h h + h ' La lunghea idotta pe le oscillaioni intono ad è: h + h h ' h + h ' h ' l ' m h ' ' + m h ' m h l m h + m h ' h ' ( h + h ' ) h ' m h ' h + h m h ' l ' l g l ' ' g l '

14 Pendolo evesibile (o pendolo di Kate ) : Masse mobili m punti di sospensione (fissi) m m l m π T g l g 6 U.aspaini, Fisica 0 4 g π ' T ' le masse m ed m vengono spostate finchè i peiodi di oscillaione intono ad e sono gli stessi; in tale situaione la distana, deteminabile con elevata pecisione ( l/l 0-3 ) è la lunghea idotta del pendolo composto si ottengono misue di g l di analoga pecisione : l g '

15 Enegia cinetica di un copo igido in otaione Pe un copo igido in otaione con velocità angolae intono ad un asse : ϑ(t) asse di otaione d m v dϑ dsdϑ v d s d ϑ d t d t E k v d m ( ) d m d m c o p o c o p o c o p o Ek v dm copo Analogia fomale con l espessione dell enegia cinetica di un punto mateiale: U.aspaini, Fisica E k m v m v E k

16 Teoema di Koenig pe l enegia cinetica di un copo igido l moto geneico di un copo igido è, in un dato istante, iconducibile ad un moto oto-taslatoio, sovapposiione di un moto di taslaione del cento di massa con velocità v e di un moto di otaione con velocità angolae intono ad un asse istantaneo di otaione passante pe il cento di massa: v n geneale, sia il modulo che la dieione di vaiano istante pe istante. Teoema di Koenig pe l enegia cinetica di un copo igido: E M v + k E k M v + v ' d m c o p o U.aspaini, Fisica momento d ineia ispetto all asse istantaneo di otaione passante pe 6

17 Enegia cinetica di un copo igido l teoema di Koenig pe un copo igido puo essee icavato dal teoema di Huygens-Steine : d v v d copo in otaione intono all asse fisso E k ( ' + M d ) ' + M ( d ) t. di Huygens-Steine v E k ' + Mv E k ' + Mv U.aspaini, Fisica 7

18 Teoema dell enegia cinetica pe un copo igido: f k i ( E ) i f E k E k E W Pe un copo igido,il lavoo infinitesimo dw () delle foe intene è nullo: lavoo delle sole foe estene dm k j k dm j ( ) ( ) d W F j d j F d j j k j j k j F d + F 3 d +... F d F ( d d ) + F 3 ( d d 3 ) F d ( ) + F d ( ) F d 3 3 j j k j k 0 k j poichè in un copo igido le distane elative 0 jk imangono invaiate U.aspaini, Fisica 8

19 Copo soggetto alla foa peso: moto del cento di massa e consevaione del momento angolae mg ma E m a a g M E 0 L d L dt costante velocita angolae piccola L velocita angolae gande U.aspaini, Fisica 9

20 Esempi di consevaione del momento angolae velocita angolae piccola velocita angolae gande i f U.aspaini, Fisica 0

21 Consevaione del momento angolae () U.aspaini, Fisica

22 Equaioni della statica e condiioni di equilibio Le condiioni di equilibio di un copo igido (o di un sistema di copi) sono : M E E (si noti che essendo E 0 non dipende dal polo consideato ) 0 0 il momento isultante E n queste condiioni un copo pesevea nel suo stato di quiete o di moto, sia pe quel che iguada le taslaioni (moto del suo CM: acm 0) sia pe le otaioni (Lcostante, acceleaione angolae α 0 ). Se il copo e iniialmente in quiete, si pala di equilibio statico. Altimenti di equilibio dinamico (ad esempio: una uota che otola con velocita angolae costante su un piano oiontale pivo di attito e in una condiione di equilibio dinamico). U.aspaini, Fisica M

23 Equilibio statico stabile Una posiione di equilibio statico si dice stabile se pe un minimo spostamento del copo si sviluppano foe estene e /o momenti non equilibati che tendono a ipotae il sistema nella posiione di equilibio. Esempi: Fel Punto di sospensione di un pendolo composto mg mg dieione veticale posiione di iposo della molla Quando le foe che si sviluppano sono consevative, il punto di equilibio stabile e il punto nel quale il sistema assume il minimo valoe possibile della sua enegia poteniale. U.aspaini, Fisica 3

24 Equilibio statico instabile e indiffeente Una posiione di equilibio statico si dice instabile se pe un minimo spostamento del copo si sviluppano foe estene e /o momenti non equilibati che tendono ad allontanae ulteiomente il sistema dalla posiione di equilibio. mg l punto di equilibio instabile coisponde ad un massimo dell enegia poteniale del sistema Punto di sospensione di un pendolo posto al di sotto del CM mg dieione veticale Una posiione di equilibio statico si dice indiffeente se pe un minimo spostamento del copo non si sviluppano foe estene e /o momenti, non equilibati, e quindi la nuova posiione aggiunta e ancoa di equilibio Esempio: oggetto su un piano inclinato scabo, con coeff.di attito statico µs > tanθ U.aspaini, Fisica 4 θ

25 Equaioni della statica Nei poblemi di statica, la soluione delle equaioni di equilibio detemina le eaioni vincolai, in geneale incognite, che si sviluppano sul sistema e che contibuiscono, con le alte foe e momenti noti agenti sul sistema (ad esempio: foe peso), all equilibio del sistema stesso. Applicate a pati del sistema, le equaioni della statica danno infomaioni anche sulle foe che vengono a sviluppasi intenamente alla stuttua (ad esempio: le foe ta le acate di un ponte). Esempio: eaioni vincolai del pavimento sulla base di una scala; foa di taione T ( intena ) che si sviluppa sulla tavesina CD della scala stessa FA C T D FB A U.aspaini, Fisica 5 B

26 Esempio di applicaione delle equaioni della statica M u y y M 0 u 0 T mg Mg F 0 d T D mg L Mg 0 sistema di equaioni con incognite: F e T T g( D m + L M ) / d 648N F T mg Mg 560N U.aspaini, Fisica 6

27 Esempio di applicaione delle eq. della statica () θ xux + yu y M M u 0 0 sistema di 3 equaioni con 3 incognite: N,Fw,f Una scala da pompiei, lunga Lm e con massa m45 kg, è appoggiata ad una paete veticale. l punto di appoggio è ad un altea h 9.3 m dal suolo. l CM si tova ad un teo della lunghea. Un uomo, di massa M7 kg si aampica sulla scala fino a che il suo cento di massa si tova a metà della scala. La paete è liscia e il teeno scabo. Quale foe esecitano sulla scala la paete e il teeno? θ accos( h / L) M x y F f w eaioni vincolai U.aspaini, Fisica 7 0 N Mg mg 0 mg( L / 3 )sin θ + Mg( L / )sin θ F h 0 F W mg sinθ ( L / h)[ m / 3 + M / ] mg tanθ[ m / 3+ M / ] 40N f N ( M + m) g 47N w attito