Controlli Automatici. Trasformate L e Z e schemi a blocchi. Esercizi sulle trasformate L e Z

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1 Controlli Automtici Trsformte L e Z e schemi blocchi Esercizi sulle trsformte L e Z

2 Esercizi sulle trsformte L e Z Proposte di esercizi e soluzioni in tempo rele trsformt L di y(t) dt trsformt Z di y(i) dt ntitrsformte L -1 e Z -1 csi prticolri equzioni differenzili equzioni integro-differenzili funzione di trsferimento (fdt) soluzione del seguente problem (in t e in s): comndo u( ) fdt F(s) uscit y( ) 3/48 Schemi blocchi

3 Schemi blocchi Convenzioni generli ed elementi di bse Dll equzione ll rppresentzione grfic L lgebr dei blocchi Clcolo di funzioni di schemi interconnessi 5/48 Schemi blocchi

4 Convenzioni generli Gli schemi blocchi costituiscono un semplice ed efficce metodo di rppresentzione grfic del modello di un sistem dinmico Si costruiscono dlle equzioni del corrispondente modello mtemtico, formulto introducendo opportune vribili di ingresso, di uscit ed interne, ed espresso nel dominio del tempo oppure in quello dell vribile compless s I quttro elementi bse costitutivi degli schemi blocchi sono: i rmi, i blocchi, i punti di derivzione ed i sommtori 7/48 Elementi bse: rmi e blocchi Ai rmi, rppresentti d rchi orientti, sono ssocite le vribili di ingresso, di uscit ed interne y des (s) - 8/48

5 Elementi bse: rmi e blocchi Ai rmi, rppresentti d rchi orientti, sono ssocite le vribili di ingresso, di uscit ed interne y des (s) - A ciscun blocco è ssocit l funzione fr l vribile entrnte e quell uscente dl blocco stesso = 9/48 Elementi bse: punti di derivzione Un punto di derivzione permette di trsferire un medesim vribile su diversi rmi di uscit, senz pportre modifiche y des (s) - 10/48

6 Elementi bse: sommtori L vribile ssocit l rmo di uscit di un sommtore (o nodo di somm) èdt dll somm lgebric delle vribili ssocite i rmi entrnti y des (s) - = y des (s) 11/48 Estensione i sistemi MIMO Gli schemi blocchi possono essere utilizzti nche per rppresentre sistemi multivribili (MIMO) Nel cso di sistemi MIMO d ogni rmo è ssocit l corrispondente vribile vettorile e d ogni blocco l mtrice delle relzioni fr il vettore di ingresso e quello di uscit In quest trttzione si frà riferimento solo sistemi d un ingresso ed un uscit (SISO) 12/48

7 Schemi blocchi Dll equzione llo schem blocchi È possibile ssocire lle equzioni di un sistem il corrispondente schem blocchi, relizzndo le operzioni richieste per mezzo degli elementi bse introdotti e mntenendo inlterte le relzioni esistenti fr le vribili di ingresso, di uscit ed interne 14/48

8 Esempio: il motore in c.c. (1/3) Il modello dinmico di un motore in corrente continu comndto in tensione d rmtur può essere pprossimto nel dominio del tempo t dlle seguenti equzioni: V (t) Km(t) LI (t) R K I (t) J (t) (t) m V, I = tensione, corrente di rmtur K m = costnte del motore I (t) = velocità ngolre dell lbero motore J, = momento di inerzi e coefficiente di ttrito viscoso 15/48 Esempio: il motore in c.c. (2/3) Il modello dinmico di un motore in corrente continu comndto in tensione d rmtur può essere pprossimto nel dominio dell vribile compless s dlle seguenti equzioni: V (s) K K m I (s) m (s) (sl R (sj ) (s) V, I = tensione, corrente di rmtur K m = costnte del motore )I (s) = velocità ngolre dell lbero motore J, = momento di inerzi e coefficiente di ttrito viscoso 16/48

9 Coppi motrice V (s) K K m I Esempio: il motore in c.c. (2/3) Il modello dinmico di un motore in corrente continu comndto in tensione d rmtur può essere pprossimto nel dominio dell vribile compless s dlle seguenti equzioni: (s) m (s) (sl R (sj ) (s) V, I = tensione, corrente di rmtur K m = costnte del motore )I (s) = velocità ngolre dell lbero motore Tensione f.c.e.m. J, = momento di inerzi e coefficiente di ttrito viscoso 17/48 Esempio: il motore in c.c. (3/3) Dlle equzioni è possibile ricvre lo schem blocchi equivlente: V (s) K K m I (s) m (s) (sl R (sj ) (s) )I (s) V (s) K m (s) - 1 (sl R ) I (s) 18/48

10 V (s) K K m I Esempio: il motore in c.c. (3/3) Dlle equzioni è possibile ricvre lo schem blocchi equivlente: (s) m (s) (sl R (sj ) (s) )I (s) V (s) K m (s) - 1 (sl R ) I (s) K m 1 (sj ) (s) 19/48 V (s) K K m I Esempio: il motore in c.c. (3/3) Dlle equzioni è possibile ricvre lo schem blocchi equivlente: (s) m (s) (sl R (sj ) (s) )I (s) V (s) K m (s) - 1 (sl R ) I (s) K m K m 1 (sj ) (s) 20/48

11 Schemi blocchi Elborzione di schemi interconnessi Esistono regole di lgebr dei blocchi che permettono di ridurre schemi complessi strutture più semplici Le regole, trsformzioni ed equivlenze dell lgebr dei blocchi di seguito illustrte possono essere pplicte singolrmente o combinte fr loro 22/48

12 Csct di blocchi L funzione complessiv di due (o più) blocchi in csct è dt dl prodotto delle funzioni dei singoli blocchi G 1 (s) v(s) G 2 (s) G 2 (s) G 1 (s) 23/48 Csct di blocchi L funzione complessiv di due (o più) blocchi in csct è dt dl prodotto delle funzioni dei singoli blocchi G 1 (s) v(s) G 2 (s) G 2 (s) G 1 (s) = G 2 (s) v(s) 24/48

13 Csct di blocchi L funzione complessiv di due (o più) blocchi in csct è dt dl prodotto delle funzioni dei singoli blocchi G 1 (s) v(s) G 2 (s) G 2 (s) G 1 (s) = G 2 (s) v(s) = G 2 (s) G 1 (s) 25/48 Prllelo di blocchi L funzione complessiv di due (o più) blocchi in prllelo è dt dll somm delle funzioni dei singoli blocchi G 1 (s) G 2 (s) y 1 (s) ± ± y 2 (s) ±G 1 (s) ± G 2 (s) 26/48

14 Prllelo di blocchi L funzione complessiv di due (o più) blocchi in prllelo è dt dll somm delle funzioni dei singoli blocchi G 1 (s) G 2 (s) y 1 (s) ± ± y 2 (s) ±G 1 (s) ± G 2 (s) y 1(s) y 2(s) 27/48 Prllelo di blocchi L funzione complessiv di due (o più) blocchi in prllelo è dt dll somm delle funzioni dei singoli blocchi G 1 (s) G 2 (s) y 1 (s) ± ± y 2 (s) ±G 1 (s) ± G 2 (s) y 1(s) y 2(s) G (s) G (s) /48

15 Prllelo di blocchi L funzione complessiv di due (o più) blocchi in prllelo è dt dll somm delle funzioni dei singoli blocchi G 1 (s) G 2 (s) y 1 (s) ± ± y 2 (s) ±G 1 (s) ± G 2 (s) y 1(s) y 2(s) [ G 1(s) G 2(s)] G (s) G (s) /48 Spostmento rispetto d un sommtore Èpossibilespostre un blocco rispetto d un nodo di somm D monte vlle Si dividono tutti i rmi entrnti nel sommtore per l funz. del blocco d spostre u 1 (s) u 2 (s) G 1 (s) G 2 (s) u 1 (s) u 2 (s) G2 (s)/g 1 (s) G 1 (s) G1(s) u1(s) G2(s) u2(s) 30/48

16 Spostmento rispetto d un sommtore Èpossibilespostre un blocco rispetto d un nodo di somm D vlle monte Si moltiplicno tutti i rmi entrnti nel sommtore per l funz. del blocco d spostre u 1 (s) u 2 (s) G b (s) G (s) u 1 (s) G (s) u 2 (s) G (s) G b (s) u1(s) Gb(s) u2(s) 31/48 Spostmento rispetto d un punto Èpossibilespostre un blocco rispetto d un punto di derivzione D monte vlle Si moltiplicno tutti i rmi uscenti dl punto di derivzione per l funz. del blocco d spostre = G (s) su entrmbi i rmi 32/48

17 Spostmento rispetto d un punto Èpossibilespostre un blocco rispetto d un punto di derivzione D vlle monte Si dividono tutti i rmi uscenti dl punto di derivzione per l funz. del blocco d spostre G 1 (s) G 2 (s) y 1 (s) y 2 (s) G 1 (s) G 2 (s)/g 1 (s) y 1 (s) y 2 (s) y 1 (s) = G 1 (s) ; y 2 (s) = G 2 (s) 33/48 Schemi blocchi Clcolo di funzioni di sistemi interconnessi

18 Clcolo dell funzione d nello chiuso L funzione di nello chiuso W y (s) di un sistem in retrozione è dt d: y des (s) W (s) y y (s) des 35/48 Clcolo dell funzione d nello chiuso L funzione di nello chiuso W y (s) di un sistem in retrozione è dt d: y des (s) W (s) y y (s) des Tle funzione può essere clcolt prtire dll espressione di ricvbile dllo schem blocchi 36/48

19 Clcolo dell funzione d nello chiuso L funzione di nello chiuso W y (s) di un sistem in retrozione è dt d: y des (s) W (s) y y (s) des Tle funzione può essere clcolt prtire dll espressione di ricvbile dllo schem blocchi [y (s) y (s)] des h 37/48 Clcolo dell funzione d nello chiuso L funzione di nello chiuso W y (s) di un sistem in retrozione è dt d: y des (s) W y (s) y des(s) [y des(s) ] Tle funzione può des essere clcolt prtire dll espressione di ricvbile dllo schem blocchi [y (s) ] 38/48

20 Clcolo dell funzione d nello chiuso L funzione di nello chiuso W y (s) di un sistem in retrozione è dt d: y des (s) W (s) y y (s) des Si ottiene così: [y (s) y (s)] des [y (s) ] des h W(s) y 1 39/48 Espressione dell funzione d nello chiuso (s) W y 1 y des (s) è l funzione del rmo diretto 40/48

21 Espressione dell funzione d nello chiuso (s) W y 1 y des (s) è l funzione del rmo diretto è l funzione del rmo in retrozione 41/48 Espressione dell funzione d nello chiuso (s) W y 1 y des (s) è l funzione del rmo diretto è l funzione del rmo in retrozione := G (s) è l funzione di nello (perto) dt dl prodotto delle funzioni di tutti i blocchi presenti sull nello 42/48

22 Espressione dell funzione d nello chiuso (s) W y 1 Segno opposto quello dell retrozione y des (s) è l funzione del rmo diretto è l funzione del rmo in retrozione := G (s) è l funzione di nello (perto) dt dl prodotto delle funzioni di tutti i blocchi presenti sull nello 43/48 Clcolo di ltre funzioni: disturbo-uscit Il risultto ottenuto può essere utilizzto per clcolre velocemente le funzioni fr ltre vribili ritenute di interesse, come d esempio fr il disturbo d(s) e l uscit, per y des = 0 (s) W d d(s) y des (s)=0 - d(s) 44/48

23 Clcolo di ltre funzioni: disturbo-uscit (s) W d 1 1 Funz. del rmo diretto fr d(s) e y des (s)=0 - d(s) 45/48 Clcolo di ltre funzioni: disturbo-uscit (s) W d 1 1 Il segno risultnte dell retrozione è negtivo y des (s)=0 - d(s) 46/48

24 Clcolo di ltre funzioni: disturbo-uscit (s) W d Il segno risultnte dell retrozione è negtivo 1 1 y des (s)=0 - Segno opposto quello dell retrozione d(s) 47/48 Clcolo di ltre funzioni: disturbo-uscit (s) W d 1 1 Funzione di nello y des (s)=0 - d(s) 48/48