Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva

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Silvano Paolini
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1 Fondamenti di Informatica Ester Zumpano Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva Lezione 5 Statistica descrittiva La statistica descrittiva mette a disposizione il calcolo di indicatori sintetici che individuano, con un singolo valore, proprieta` statistiche di un campione/popolazione rispetto ad una sua variabile/attributo. In particolare: indicatori di centralita`: media aritmetica, moda, mediana; per individuare il valore intorno al quale i dati sono raggruppati offrono una lettura rapida delle caratteristiche più importanti dei di dati indicatori di variabilita`: varianza, deviazione standard; per definire la forma più o meno raccolta della distribuzione misure di raggruppamento: quartili, percentili.

2 Indici di Dispersione Chiariscono se una distribuzione è molto dispersa o, al contrario, concentrata intorno alla posizione centrale Insieme all indice di tendenza riassumono bene l'insieme della distribuzione se tale distribuzione ha una forma a campana se invece, la distribuzione è molto differente la sintesi della distribuzione nei due indici è poco riuscita La variabilità La media non basta a dare un immagine della distribuzione di un carattere ( e come fotografare una persona da metri di distanza) Sono necessarie misure di DISPERSIONE che rappresentano la diversità delle unità osservate cioè la loro ETEROGENEITA

3 La variabilità La VARIABILITA di una dispersione esprime la tendenza delle unità ad assumere diverse modalità del carattere Un INDICE di VARIABILITA deve assumere il suo valore minimo se e solo se tutte le unità della distribuzione presentano uguale modalità del carattere. L indice deve aumentare all aumentare delle diversità tra le modalità assunte dalle varie unità Notare che queste definizioni valgono sia per i caratteri qualitativi che quantitativi Campo di Variabilità o Variazione o Range Dato un insieme di n valori X1,..Xn che supponiamo ordinato in senso crescente (X1 è il valore più grande ed xn è il valore più piccolo) indichiamo con R il campo di variabilità che si ottiene dalla differenza fra il più grande ed il più piccolo dei valori R=x1-xn Proprietà del campo di variabilità: Il valore minimo che può assumere è 0 Il valore massimo dipende dal carattere Si adatta a carattere qualitativi È semplice da calcolare È molto sensibile ai valori estremi(poco affidabile)

4 Indici basati sullo SCOSTAMENTO DALLA MEDIA Il campo di variabilità si basa su valori minimi e massimi Per caratteri quantitativi però gli indici più utilizzati si basano: sugli SCARTI DALLA MEDIA ARITMETICA Ma Tali indici ci danno un idea molto significativa di quanto sono lontani I dati osservati dalla loro media DEVIANZA La distanza tra il generico valore del campione x(i) e la media dell insieme delle unità si ottine attraverso la differenza (x i Ma) = ( x i x) La DEVIANZA è la sintesi di tutti questi scostamenti: dev = ( x i x) i= 1 Si eleva al quadrato per rendere positivi gli scarti negativi e per enfatizzare gli scarti migliori. n

5 VARIANZA La VARIANZA è l indice più noto. La DEVIANZA dipende dal numero di unità osservate (n), mentre la VARIANZA risulta essere indipendente da n n 1 VAR = s = n ( x i x) i= 1 Proprietà della VARIANZA: Il valore minimo che può assumere è 0 Il valore massimo dipende dal carattere La VARIANZA è una DEVIANZA media Essa risponde alla domanda: In media quanto sono lontani/devianti i singoli valori x(i) dalla loro media aritmetica? Proprietà della VARIANZA La formula della VARIANZA può essere scritta come: VAR = s = 1 n n i= 1 x i x la media dei quadrati meno il quadrato della media Consente calcoli più rapidi ed agevoli

6 La DEVIAZIONE STANDARD L unità di misura della VARIANZA è il quadrato dell unità di misura dei dati originali Esempio: Se i dati originali riportano minuti, la varianza è espressa in minuti al quadrato. Cosa SONO? Per avere una misura di variabilità più comprensibile è opportuno che questa abbia la stessa unità di misura dei dati.. pertanto s = s Proprietà della DEVIAZIONE STANDARD: Il valore minimo che può assumere è 0 Il valore massimo dipende dal carattere Esempio Peso medio degli studenti 78 kg. Variabilità: deviazione standard=3 Kg In media ciascuno studente pesa 3 kg in più o inmeno rispetto alla media del gruppo.

7 Difetti della DEVIAZIONE STANDARD Risente dell unità di misura dei dati Non consente confronti fra fenomeni misurati con scale diverse Es. cm e grammi Risente dell ordine di grandezza dei dati Non consente confronti fra caratteri con la stessa unità di misura, ma valori medi molto diversi. Es. peso degli adulti e peso dei bambini COEFFICIENTE di VARIAZIONE Il coefficiente di variazione si calcola come: s V = x Esprime la percentuale della variabilità per ogni unità di valore medio. La divisione per la media ha l effetto di neutralizzare la scala di misura. Il COEFFICIENTE DI VARIAZIONE, spesso indicato con CV è un numero puro, adimensionale Naturalemente X essere diverso da 0

8 Esercizio Con riferimento ai dati relativi ai pazienti, calcolare Devianza, Varianza e Deviazione standard Relativamente ai seguenti dati Età Na K Le FREQUENZE ASSOLUTE Partendo dalle distribuzioni unitarie calcoliamo le FREQUENZE ASSOLUTE della modalità del carattere cioè il numero di volte che ciascuna modalità viene osservata Per calcolare le frequenze serve una distribuzione unitaria del carattere ossia l elencazione delle modalità osservate unità per unità, nella popolazione di interesse.

9 Le FREQUENZE ASSOLUTE Esempio: Distribuzione degli studenti per tipo di maturità conseguita. Supponiamo di avere un campione di 61 studenti, un possibile risultao potrebbe essere: Freq Assoluta Classica 17 Tecnica 15 Scientifica 18 Altro 11 Totale 61 Ossia su 61 studenti 17 hanno conseguito la maturità classica, 15 la maturità tecnica etc Le FREQUENZE RELATIVE Partendo dalle frequenze assuolute calcoliamo le FREQUENZE RELATIVE ossie il rapporto tra la frequenza j-esima e il totale delle unità Esempio: Distribuzione degli studenti per tipo di maturità conseguita. Supponiamo di avere un campione di 61 studenti, un possibile risultao potrebbe essere: Freq Assoluta Freq. Relativa Classica 17 =17/61 Tecnica 15 =15/61 Scientifica 18 =18/61 Altro 11 =11/61 Totale 61

10 Distribuzioni di frequenza La rappresentazione con istogramma delle frequenze dei valori di una variabile numerica su un intervallo partizionato in categorie continue e` la rappresentazione di una distribuzione di frequenza puo` essere interpretata come una approssimazione del grafico di una funzione che descrive come varia la frequenza di un valore rispetto al crescere (decrescere) del valore stesso Le distribuzioni di frequenza osservate spesso sono cosi` regolari da poter essere viste come casi particolari di distribuzioni di frequenze teoriche, descritte da ben precise funzioni matematiche Distribuzioni di frequenza teoriche Distribuzione uniforme: ogni evento (categoria) ha la stessa frequenza Distribuzione normale (o Gaussiana, o a campana) 1 ( y µ ) ( ) σ f y = e σ π µ = media σ = deviazione standard

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