Modulo 4: Disegno e rappresentazione del territorio e del paesaggio. Elementi di Cartografia

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1 Politecnico di Milano Polo Regionale di Lecco Master in Analisi e gestione del patrimonio paesistico Modulo 4: Disegno e rappresentazione del territorio e del paesaggio Elementi di Cartografia Ing. Marco Scaioni Politecnico di Milano Polo Regionale di Lecco Lecco, 28 Gennaio 2004

2 Dalla realtà alla sua rappresentazione La cartografia si occupa della rappresentazione della realtà 3D in un piano cartografico (2D) Distinzione della planimetria dall altimetria: Diversi metodi di rilevamento e SdR Diverse tipologie di rappresentazione Planimetria: diretta Altimetria: elementi planimetrici (punti quotati, curve di livello) La leggibilità di una carta 2D è migliore di una carta 3D (oggi realizzabile per via informatica)

3 Rappresentazione della planimetria La superficie topografica viene riportata sull ellissoide L ellissoide viene trasformato sul piano Si introducono deformazioni Dal punto di vista operativo l ellissoide può essere approssimato con superfici più semplici

4 Rappresentazione dell altimetria L altimetria viene rappresentata in direzione ortogonale al piano della carta Le quote considerate sono quelle ortometriche rispetto alla superficie del geoide Non potendo rappresentare direttamente la 3 a dimensione, vengono utilizzati elementi planimetrici: Punti quotati Curve a quota costante (di livello o isoipse)

5 Dalla realtà alla superficie di riferimento Questa fase viene eseguita mediante le tecniche di rilevamento: Topografiche (a terra) Fotogrammetriche (rilievo mediante fotografie aeree) In entrambi i casi, le coordinate dei punti vengono opportunamente ridotte all ellissoide, sfruttando il fatto che localmente si opera: Nel campo topografico (piano locale) Nel campo geodetico (sfera locale) Inoltre l ondulazione del geoide localmente varia in modo regolare

6 L inquadramento geodetico I rilievi in ambito locale devono essere inquadrati nel sistema geodetico nazionale, in quanto devono essere riportati sull ellissoide Si utilizzano le reti geodetiche nazionali (trigonometrica e altimetrica), che materializzano sul territorio le superfici di riferimento A questo scopo occorre includere nel rilievo un numero sufficiente di vertici della rete geodetica rispetto alla quale ci si vuole inquadrare

7 Dall ellissoide al piano Il problema: rappresentare l ellissoide sul piano ad una opportuna scala Purtroppo l ellissoide non è applicabile sul piano, cioè non può essere sviluppato senza introdurre deformazioni: di lunghezza di area di tipo angolare La soluzione: una trasformazione geometrica o analitica che minimizzi le deformazioni

8 Moduli di deformazione Indicano quanto varia puntualmente una grandezza tra l ellissoide e la carta: Modulo di deformazione lineare: m = l ds ds c e Modulo di deformazione angolare: m = α c α α e ellissoide Modulo di deformazione areale: m = A da da c e carta

9 La scala media di una carta Nelle carte la realtà è rappresentata, ovviamente in scala ridotta Non altrettanto ovvio è il fatto che le deformazioni cartografiche non sono uniformi sull intero foglio della carta Scala media della carta: rapporto medio tra le lunghezze lineari sulla carta e quelle dei corrispondenti elementi nella realtà

10 L errore di graficismo Quali elementi devono essere rappresentati ad un certa scala Nelle carte tradizionali (cartacee) non è possibile rappresentare due linee distinte che siano più vicine sotto un certo limite per gli ovvi limiti della stampa grafica Tale limite è detto errore di graficismo ed è convenzionalmente fissato pari a 0.2 mm Per ogni scala deve essere rappresentato tutto quello che è maggiore dell errore di grafisismo Inoltre le deformazioni residue della carta devono essere inferiori rispetto all errore di graficismo

11 Classificazione in base alla scala Le carte si dicono a grande scala quando il denominatore è piccolo, a piccola scala quando il denominatore è grande In base alla scala una carta può essere classificata come segue: Grande scala: fino a 1:10000 Media scala: da 1:10000 sino a 1:25000 Piccola scala: oltre 1:25000 NB: i confini di questa classificazione variano lievemente secondo gli autori

12 Classi di trasformazioni cartografiche Trasformazione dall ellissoide al piano cartografico Trasformazioni di tipo geometrico: Per proiezione Per sviluppo Trasformazioni di tipo analitico Equazioni della carta: Legano le coordinate ellissoidiche (ϕ,λ) alle coordinate cartografiche (cartesiane piane y-x o E-N)

13 Trasformazioni geometriche: proiezioni Proiezioni prospettiche di una porzione dell ellissoide da un punto (centro) su un piano Proiezione stereografica (nell esempio la stereografica polare, utilizzata per le cartografie dei poli Nord e Sud oltre 80 di latitudine) Proiezione gnomonica

14 Trasformazioni geometriche: sviluppi Si considera una superficie tangente l ellissoide (cilindro o cono) e la sviluppa sul piano cartografico La superficie può anche essere secante Anche delle proiezioni geometriche devono essere poi formulate le equazioni della carta necessarie per i calcoli

15 Principali carte di tipo tecnico Si chiamano carte tecniche tutte le carte impiegate per l amministrazione, la progettazione e la pianificazione in ambito territoriale Impiegano le grandi e le medie scale (1:500-1:25000) Proiezioni utilizzate: Carta di Gauss Gauss Boaga (cartografia ufficiale Italiana) UTM/ED50 (cartografia internazionale) UTM/WGS84 (cartografia per rilievi GPS) Carta di Cassini-Soldner (cartografia più utilizzata per le mappe del Catasto Terreni)

16 Definizione di sistema cartografico E definito dai 4 elementi seguenti: 1. Proiezione cartografica adottata 2. Sistema di coordinate cartografiche 3. Ellissoide di riferimento 4. Suddivisione dei fusi e nomenclatura delle mappe

17 La proiezione di Gauss Rappresentazione conforme (conserva gli angoli) Proiezione della sfera su un cilindro tangente lungo il meridiano equidistante lungo il meridiano Per mantenere limitate le deformazioni lineari si utilizza una rappresentazione per fusi Permette di eseguire sul piano cartografico in modo semplice i calcoli relativi alla superficie dell ellissoide

18 Il sistema cartografico Gauss-Boaga (1) Basato sulla proiezione di Gauss, con parametri adattati alla realtà italiana Si utilizzano 2 fusi di proiezione, che coprono l intero territorio della penisola Fuso Ovest (I) Fuso Est (II)

19 Il sistema cartografico Gauss-Boaga (2) Ellissoide di riferimento: Int. di Hayford orientato localmente a Roma Monte Mario (Datum Roma40) La materializzazione dell ellissoide è data dalla rete trigonometrica I.G.M. False origini Est dei fusi: Evitano coordinate cartografiche negative Permettono di distinguere il fuso di appartenenza Falsa origine fuso Ovest: 1500 km Falsa origine fuso Est: 2520 km

20 Il sistema cartografico Gauss-Boaga (3) La coordinata Nord è misurata a partire dall Equatore All intera carta viene applicato un fattore di contrazione pari allo 0,04% (m=0.9996) Nell ambito delle tavolette alla scala 1:25000 dell I.G.M., elemento fondamentale della cartografia nazionale, la carta di Gauss-Boaga è anche equivalente ed equidistante

21 Il sistema UTM (1) Il sistema UTM (Universal Transvers Mercator) è stato pensato per definire un contesto cartografico unitario per l intera superficie della Terra (insieme alle proiezioni stereografiche polari per la rappresentazione dei poli E basato sulla proiezione di Gauss Esistono realizzazioni basate su diversi ellissoidi: UTM/ED50 (sistema europeo stabilito nel dopoguerra) UTM/WGS84 (sistema universale legato al sistema GPS)

22 Il sistema UTM (2) L ellissoide viene diviso in fusi (verticali) di ampiezza 6 e in fasce (orizzontali) di altezza 8 nella fascia ± 80 a cavallo dell Equatore

23 Il sistema UTM (3) Reticolo cartografico (E,N) indipendente per ogni fuso Falsa origine E al centro del fuso di 500 km (per evitare coordinate <0, dato che all equatore il fuso è largo ~700 km) Coordinata Nord a partire dall equatore Tra i fusi adiacenti viene mantenuta una zona di sovrapposizione Viene utilizzato anche in questo caso un fattore di contrazione pari a 0,04%

24 Il sistema UTM (4) Al fine di localizzare in modo univoco ogni mappa della superficie terrestre nel sistema UTM, ogni zona (interserzione tra un fuso e una fascia) è identificata da una coppia numero-lettera Inoltre, ciascuna zona è sottodivisa in un reticolato composto da quadrati di lato 100x100 km, identificati mediante apposita codifica

25 Il sistema UTM: i fusi Italiani L Italia ricade nei fusi 32, 33 e per poco anche nel 34 Le fasce italiane sono la T e la S

26 UTM/ED50 e UTM/WGS84 Sono i due sistemi cartografici di tipo UTM maggiormente impiegate in Europa UTM/ED50: basato su un ellissoide orientato a Postdam (Germania), materializzato da una rete trigonometrica europea comprendente parti delle reti nazionali UTM/WGS84: basato sull ellissoide geocentrico WGS84 impiegato come riferimento per il sistema di posizionamento satellitare GPS (sarà utilizzato per le nuove cartografie numeriche)

27 Calcoli sul piano di Gauss (1) Operando sul piano di Gauss è possibile eseguire in modo semplice i calcoli relativi alle grandezze misurate sull ellissoide La proiezione di Gauss è conforme, quindi è particolarmente vantaggiosa per eseguire i calcoli di tipo trigonometrico (basati sugli angoli) tipici della topografia classica Oggi con l impiego del GPS per le operazioni di tipo geodetico l impiego del piano di Gauss è più limitato

28 Calcoli sul piano di Gauss (2) Trasformazione delle coordinate dei punti: (ϕ,λ) ellissoide <-> (E,N) piano di Gauss si utilizzano le equazioni della carta di Gauss Convergenza del meridiano: N P ELLISSOIDE a Q g P a Q PIANO RAPPRESENTAZIONE g = l senj [1+1/3 l 2 cos 2 j (1+3h 2 )] h 2 = (N-r)/ r

29 Calcoli sul piano di Gauss (3) A Correzioni alla corda a B ELLISSOIDE C N A a B C E N A a e PIANO RAPPRESENTAZIONE e a B C E

30 Calcoli sul piano di Gauss (4) Correzioni alle distanze B N A B A ELLISSOIDE PIANO RAPPRESENTAZIONE E La trasformata di AB può essere confusa con la corda A B per distanze fino a 100 km

31 Calcoli sul piano di Gauss (5) Correzioni alle distanze B N A B A ELLISSOIDE PIANO RAPPRESENTAZIONE Per passare da s e a s c devo applicare il modulo di deformazione per archi finiti: E 2 B +E A E B + E2 A s c = m A B s e dove: m A B = 6 ρ m N m E

32 La proiezione di Cassini-Soldner E utilizzata per le grande maggioranza delle carte catastali italiane, anche se la proiezione ufficiale del Catasto Italiano è la Gauss-Boaga sin dal dopoguerra E basata sulle coordinate geodetiche rettangolari Equazioni della carta: x = Y O y = X O Le coordinate dipendono dal punto di emanazione O considerato

33 Principali centri di emanazione Proiezione afillattica, ma utilizzando fogli di dimensioni limitate (max 70 km E e 100 N) le deformazioni areali sono < 0.04% Proiezione policentrica (ogni foglio ha la sua origine) Per le mappe catastali sono state istituite oltre 800 zone! (alcune in altre proiezioni)

34 Inquadramento cartografico dei rilievi Quando si vuole inquadrare in un dato sistema cartografico un rilievo di tipo locale occorre includere nel rilievo alcuni punti di una rete geodetica che materializza il dato sistema L inquadramento ha lo scopo di inserire un rilievo in un dato sistema cartografico, compatibilmente con le tolleranze previste per la scala di rappresentazione La geometria del rilievo locale non deve essere modificata I diversi metodi hanno tutti lo scopo di minimizzare gli scarti sui punti comuni, senza deformare la rete locale

35 Inquadramento cartografico dei rilievi Esistono molteplici metodi che dipendono: Estensione del rilievo (superficie di riferimento) Metodologia del rilievo (classica o GPS) Rilievo con fini planimetrici, altimetrici, planoaltimetrici Due metodi principali Inquadramento cartografico classico Planimetria Altimetria Inquadramento dei rilievi GPS

36 Inquadramento classico Segue la distinzione della geodesia classica tra il rilievo planimetrico e altimetrico Questo metodo è oggi impiegato in questi due casi: Rilievi di reti topografiche di piccole dimensioni (per produzione/aggiornamento di cartografia, catasto, catasto strade, ) Rilievi altimetrici mediante livellazione geometrica

37 Inquadramento planimetrico (1) Si consideri i 2 sistemi di coordinate piane: (x,y) è il sistema in cui è calcolata la rete locale (E,N) è il sistema cartografico Si considera la seguente trasformazione (rototraslazione 2D con variazione di scala): E N = E N 0 0 cosθ + λ sinθ sinθ cosθ x y E 0,N 0 : traslazioni tra i 2 sistemi θ: rotazione (in senso orario) λ: scala N θ E 0,N 0 y θ E x

38 Inquadramento planimetrico (2) Devo disporre di almeno 2 punti doppi, noti in entrambi i sistemi, per calcolare i 4 parametri della trasformazione Calcolo dei parametri: Noti i 2 punti doppi: x 1,y 1 E 1,N 1 e x 2,y 2 E 2,N 2 Si considera nella rototraslazione il seguente cambio di variabili che la rende lineare: a = λ sinθ b = λ cosθ E N = E N b a a x b y

39 Inquadramento planimetrico (3) Si ottiene quindi il sistema seguente: E N E N = = = = E N E N bx ax + bx ax ay + by + ay + by Il sistema è lineare ed è composto da 4 equazioni in 4 incognite (se ho più di 2 punti doppi risolvo il sistema a minimi quadrati) Lo risolvo e calcolo: E 0,N 0,a,b Ricavo poi: λ = 2 2 a + b a ϑ = arcsin λ

40 Infine utilizzando i parametri calcolati nella: Trasformo nel sistema cartografico anche tutti gli altri punti + = y x cos sin sin cos N E N E 0 0 θ θ θ θ λ Inquadramento planimetrico (4)

41 Inquadramento altimetrico (1) La sua realizzazione è molto semplice se dispongo già delle quote ortometriche Rilievi mediante livellazione geometrica Rilievi mediante livellazione trigonometrica/celerimetrica (quote ellissoidiche) su distanze di poche centinaia di metri, ambito nel quale posso supporre che il geoide varia regolarmente al pari della sfera locale (NB: devo sempre correggere l effetto della curvatura terrestre!)

42 Inquadramento altimetrico (2) L inquadramento viene eseguito includendo nella rete almeno 1 punto di quota ortometrica nota Si calcola l ondulazione sul punto doppio e la si applica a tutti i rimanenti Se ho più di un punto doppio si possono calcolare più valori di ondulazione e derivare le ondulazioni per correggere gli altri punti per interpolazione

43 Inquadramento altimetrico (3) Esempio di livellazione geometrica (Lecco) inserita nella rete altimetrica I.G.M. Inizio livellazione ponte A. Visconti Fine livellazione ,

44 Inquadramento dei rilievi GPS (1) I punti misurati mediante GPS sono riferiti in coordinate assolute all ellissoide WGS84 I rilievi topografici GPS si basano su misure relative (baselines), che vengono elaborate permettendo di determinare le coordinate rispetto ad un SdR locale avente gli assi paralleli a quelli del sistema WGS84 e origine locale. Includendo nella rete GPS un punto noto in WGS84, si possono derivare le quote di tutti gli altri punti nello stesso sistema

45 Inquadramento dei rilievi GPS (2) I punti provenienti dal rilievo con GPS sono quindi noti rispetto all ellissoide geocentrico WGS84 (materializzato tramite la rete IGM95) La cartografia italiana (G.B.) è basata sull ellissoide di Hayford orientato a Roma Monte Mario (datum Roma40) E quindi necessario trasformare le coordinate dei punti da WGS84 a Roma40 Purtroppo non esiste una trasformazione matematica unica, in quanto si tratta di 2 datum legati a 2 reti geodetiche completamente diverse

46 Inquadramento dei rilievi GPS (3) Il problema è risolvibile calcolando una rototraslazione 3D (7 parametri) tra le coordinate dei punti nei due sistemi: 3 traslazioni 3 rotazioni che compongono la matrice di rotazione R 1 fattore di scala µ XWGS ZWGS XR40 [ ] RX X X0 X Y = Y + µ R Y 0 Z Z Z C ZR40 ROMA40 0 WGS 84 RZ P RY YR40 YWGS WGS84 Hayford 1 RZ R R= RZ 1 RX RY RX 1 Y

47 Inquadramento dei rilievi GPS (4) Il problema può essere affrontato in due modi: Nel caso di rilievi su una porzione estesa di territorio (con distanze > km) è opportuno includere nella rete GPS almeno 3 punti noti in Roma40 e stimare i parametri della roto-traslazione 3D per poi applicarli agli altri punti Nel caso di rilievi su porzioni di territorio più limitate o finalizzati ad ottenere precisioni dell ordine di alcuni metri, è possibile utilizzare zona per zona i parametri proposti dall IGM per ciascun punto della rete IGM95 (oppure impiegare il nuovo programma VERTO distribuito dall IGM)

48 Inquadramento dei rilievi GPS (5) Note le coordinate del rilievo in Roma40, è possibile applicare la trasformazione cartografica che permette di ottenere le coordinate cartografiche Gauss Boaga nel fuso appropriato a partire dalle coordinate geografiche (ricavate a loro volta dalle cartesiane ellissocentriche) Esistono diverse soluzioni matematiche del problema, che forniscono accuratezze dell ordine del cm: Monti-Sansò Ballarin

49 Inquadramento dei rilievi GPS (6) Lo stesso metodo è impiegabile nel caso si debba risolvere il problema dell inquadramento nel sistema UTM/WGS84: : in questo caso si può applicare la trasformazione tra coord. cartesiane ellissocentriche WGS84 a coord. cartografiche UTM (uguale a quelle viste per le G.B. a patto di cambiare alcuni parametri) Per l inquadramento in UTM/ED50 si procede in altro modo, a causa del fatto che non sono facilemente reperibili punti noti in ED50: si trasformano i punti in G.B. Si applica uno dei metodi approssimati che permettono il passaggio da G.B. UTM/ED50, compatibilmente alle precisioni richieste

50 La rete IGM95 (1) L utilizzo della modalità relativa non consente di determinare la posizione assoluta di punti rispetto all ellissoide WGS84 Per questo motivo è stata realizzata una rete di punti fissi misurati e stazionabili con GPS In questo modo, includendo uno o più di questi punti nel rilievo GPS, si può inserire quest ultimo in WGS84 La rete facilita anche l inserimento dei punti nella cartografia nazionale

51 La rete IGM95 (2) 1236 punti a una distanza media di km Circa 400 punti di cui è nota anche la quota ortometrica Quasi tutti i punti sono noti anche nel sistema Roma40 (coord. Cartografiche Guass-Boaga) Le informazioni sui punti sono riportate in apposite monografie

52 Inquadramento altimetrico dei rilievi GPS Il rilievo GPS fornisce le altezze ellissoidiche In cartografia vengono usate le quote ortometriche Per il passaggio dalle prime alle seconde è necessario conoscere il valore dell ondulazione del geoide Modello nazionale del geoide (ITALGEO99) Calcolo dell ondulazione in punti di cui si conosce sia la quota ortometrica che quella ellissoidica, quindi interpolazione dell ondulazione per i punti restanti

53 Problemi di trasformazione di coordinate Vengono utilizzati molteplici sistemi di riferimento e di coordinate, per cui spesso è necessario operare trasformazioni tra questi Si tengano sempre presente le due seguenti regole generali: Quando si tratta di trasformare punti tra datum diversi non esistono trasformazioni matematiche che vanno bene sempre, ma occorre stimare zona per zona i parametri di una trasformazione opportuna Quando si tratta di trasformazioni di coordinate all interno di uno stesso datum (ad esempio da cartesiane a geografiche o da geografiche a cartografiche) è possibile applicare formule matematiche universali, che tuttavia possono anche essere molto complesse (metodi iterativi, approssimati, )

54 Il software CartLab Si tratta di un SW didattico che permette di eseguire le più comuni trasformazioni di datum e di coordinate

55 CartLab: geografiche-cartografiche

56 CartLab: geografiche-cartesiane

57 CartLab: Gauss Boaga - UTM

58 CartLab: Gauss Boaga Cassini Soldner