Lezione n. 2 di Controlli Automatici A prof. Aurelio Piazzi Modellistica ed equazioni differenziali lineari

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1 Cors d Laurea n Ingegnera Eleronca, Informaca e delle Telecomuncazon Lezone n. 2 d Conroll Auomac A prof. Aurelo Pazz dfferenzal lnear Unversà degl Sud d Parma a.a

2 Cenn d modellsca (crcu elerc e ssem meccanc) L equazone dfferenzale lneare a coeffcen cosan quale modello d un ssema dnamco scalare 2

3 Cenn d Modellsca Modellsca = cosruzone de modell maemac de ssem Modellsca: 1. a parre da legg fondamenal 2. a parre da da spermenal (denfcazone) Sceglendo l prmo approcco rporamo qualche cenno su crcu elerc e ssem meccanc. 3

4 Crcu elerc Ressenza: v R = R d Induanza: v L = L = LD d D operaore dervaa Capacà: v C = Q C = 1 C (τ ) dτ Dv C = C 4

5 Esempo: crcuo RLC v = v L + v R + v C v ( ) = LD( ) + R( ) + 1 C (τ ) dτ Cosruzone del m.m. del crcuo RLC orenao da v (ngresso) ad (usca): 5

6 Eq. dfferenzale lneare a coeffcen cosan: Rappresenable anche come: 2 1 LD + RD + = C Dv 2 1 LD + RD + = C Dv Cosruzone del m.m. del crcuo RLC orenao da v (ngresso) ad v u (usca): v u Dvu = = CDvu C v = LD( CDv ) + R( CDv u u u u ) + v 2 LCD v + RCDv + v = ( 2 LCD + RCD + 1) v u = v u u v 6

7 Ssem meccanc legg del moo undmensonale per componen meccanc 2 Massa: MD x ) = f ( ) f ( ) ( 1 2 Molla: f ( ) = K( x1 ( ) x2( ) ) Relazone valda nell poes che la dsanza fra le orgn degl ass x 1 e x 2 sa par alla lunghezza della molla non carcaa. 7

8 Ammorzzaore: f ( ) = B f ( ) = BD ( v1( ) v2( ) ) ( x ( ) x ( ) ) 1 2 Legge che descrve un fenomeno d aro vscoso: forza proporzonale alla velocà relava 8

9 Esempo: ssema meccanco vbrane (quando l ssema è a rposo abbamo x = 0 ) f b m 0 x md 2 x() = x() bdx() + f () f Σ x equazone del ssema orenaao da f ad x: 2 md x + bdx + x = f () () () () 9

10 Equazone dff. del ssema orenao da f (forza applcaa) a Dx (velocà della massa): 3 2 md x + bd x + Dx = Df y: = Dx 2 md y + bdy + y = Df f Σ Dx 10

11 Crcu elerc con amplfcaor operazonal Esempo: u R1 C R2 C y u y Σ u y è la ensone n ngresso (varable manpolable o ndpendene) è la ensone n usca (varable dpendene) S può dedurre R1CDy + y = R2CDu u 11

12 Equazon Ssem scalar rappresena da eq. a coeffcen cosan a D y + a n 1 m 1 D y + + a1dy + a0 y = bmd u + b1 Du + b n n n 0 n m ad y = = 0 = 0 b D È un modello maemaco formale del ssema dnamco (orenao) Σ, y = varable d usca, u = varable d ngresso; a n 0, b m 0. n = ordne dell eq. dff., per esensone ordne d Σ, n m; ρ := n m ordne relavo o grado relavo d Σ. u u 12

13 Inseme de behavours B d Σ: {( u y) B : = ( ), ( ) : la coppa de segnal causa-effeo "soddsfa" Se u ( ) e y ( ) sono dervabl ane vole quano necessaro ( m n u() C e y() C ) "soddsfa" sgnfca: n m = 0 = 0 l'equazone dfferenzale ady() = bdu () n m ady = bdu = 0 = 0 13

14 Propreà: Il ssema Σ è lneare. Dm. ( u y ) B ( α u ( ) α u ( ), α y ( ) α y ( ) ) Sano ( ), ( ), = 1,2. Allora α, α segue: Infa (per semplcà n = 1, m = 0): ady 1 1() + a0y1() = bu 0 1() ady 1 2() + a0y2() = bu 0 2() α1, α2 : [ α ()] + [ α ()] = [ α ()] [ α ()] + [ α ()] = [ α ()] ad 1 2y2 a0 2y2 b0 2u2 sommando le equazon: [ α () + α ()] + [ α1y1() + α2y2() ] = b0[ α1u1() + α2u2() ] ( α u ( ) α u ( ), α y ( ) α y ( ) ) B ad y y a ad y a y b u B 14

15 Propreà: Il ssema Σ è sazonaro. Dm. ( (), ()) B ( u ( T), y ( T )) u y B T Infa (ancora per semplcà n= 1, m= 0): ady () + a y () = bu () T : a Dy( T) + a y( T) = b u( T) y ( T) = y( τ ) τ = T d dy dτ y ( T) = = Dy( T) d dτ d τ = T d a1 y( T) + a0y( T) = b0u( T) d 15

16 Un problema fondamenale nell anals d un ssema Σ: Noo l segnale d ngresso u ( ) [ 0, + ) y Dy D y n 1 e le condzon nzal (0), (0),, (0) deermnare l segnale d usca y ( ). [ 0, + ) 16

17 Esemp: Σ defno da Dy( ) y( ) = u( ) 1) u ( ) = 0, 0 e y(0) = 1 (eq. omogenea) y ( ) = ce, c (nseme d ue le soluzon) y(0) = 1 c= 1 Soluzone: y ( ) = e, 0. 2) u ( ) = 5, 0 e y(0) = 1 (eq. non omogenea) Indvduaa una soluzone parcolare y ( ) y ( ) = ce+ y ( ), c è l'nseme d ue le soluzon. y () p? p p 17

18 v Suggermeno: yp ( ) = e 5dv 0 0 v v 0 ( ) yp () = 5e e dv= 5e e = 5e e + 1 = 5+ 5e verfca: ( ) Dy () y () = 5e 5+ 5e = 5 o! p p ( ) ( 0 ) y () = ce+ y (), y(0) = 1 c+ 5+ 5e = 1 c= 1 p Soluzone: y ( ) = e e = e, 0 18

19 Esempo: Σ + + = 2 defno da D y ( ) 3 Dy ( ) 2 y ( ) u ( ) Noo u ( ), 0 e le condzon nzal y(0) = 1 e Dy(0) = 1 rovare y ( ), 0? 19

20 Emerge la necessà d: 1) dsporre d un meodo generale per deermnare l segnale d usca noo l segnale d ngresso e le condzon nzal; 2) raare anche l caso d segnal d ngresso e usca connu e dervabl a ra. 20

21 Esemp d segnal u() per l conrollo avo: 21

22 La classe de segnal con cu lavoreremo è PC ( pecewse C - funcons or pecewse smooh funcons) Defnzone: ( { 1 2 }) { } PC è l'nseme d ue le funzon f :,,,, al che Inseme delle funzon a ra ndefnvamene dervabl 1. f C,,,, lm (fn) lm Df ( ) e lm Df ( ), = 0,1, { } L'nseme,,,, può avere cardnalà fna, nfna od essere ( ) l'nseme vuoo. Ques'ulmo caso sgnfca che C PC. Negl san d dsconnuà la funzone f o una sua dervaa può essere o non essere defna. Df 22

23 D f f () I sono san d possble dsconnuà per f( ) PC e le sue dervae. Se f ( ) f( + ) la fun. è dsconnua n ed ha qu l "salo" f( + ) f( ) Se f( ) = f( + ) s può defnre f( ) : = f( ) e la fun. è connua n. () () () Se f ( ) f ( + ) con 1 la fun. dervaa f ( ) è dsconnua n () () ed ha qu l "salo" f ( + ) f ( ) () () Se f ( ) = f ( + ) con 1 può accader () () () - esse la dervaa d ordne -esmo n e ( ) ( ) ( ) - non esse la dervaa d ordne -esmo n Esempo: cos < 0 f() = 1 + cos 0 e: f = f = f + (0 ) = (0 + ), = 1,2, ma ( ) non è dervable n = 0. () () f f f 23

24 Propreà d PC C C ( ) Se f ( ) PC Df( ) PC ed anche a, f( v) dv PC C C C C C e C PC ma n generale, C PC a Esempo: 1 per < 0 () = 1 1 ( 1) per [0,1] ; 0 per > f f C f PC f () Consdereremo la classe { : ( ) è dervable con dervaa connua fno all'ordne } C PC = f PC f,, 1, 1, 0, C = C PC C C C C C PC : 24

25 Grado d connuà d una funzone o segnale defnzon, Se f C, è l grado d connuà d f. { } C : = f : : f C f C,, + 1,, Se f C allora è l grado massmo d connuà d f. Esempo: 0 < 0 f ( ) =, f C, C, C, C 3 0 0, 1, 2, 2, 25

26 Il meodo generale proposo per negrare l equazone dfferenzale d Σ s basa sulla rasformaa d Laplace. La comprensone del meodo della rasformaa d Laplace rchede l nroduzone d cenn d eora delle funzon complesse d varable complessa (anals maemaca complessa) 26

27 Equazone dfferenzale Trasformaa d Laplace Equazone algebrca Soluzone dell equazone dfferenzale Anrasformaa d Laplace Soluzone dell equazone algebrca 27

28 I conce nrodo dalla lezone: Le legg elemenar per la modellsca elerca e de componen meccanc. L equazone dfferenzale lneare quale modello maemaco d un ssema dnamco orenao. L nseme de behavours. Il problema della deermnazone dell usca d Σ noo l ngresso e le condzon nzal. La classe delle funzon a ra ndefnvamene dervabl. Grado d connuà d un segnale. 28