1. RELAZIONI TENSIONE-CORRENTE NEL DOMINIO DEL TEMPO. i(t) = v(t) / R = V M / R sen ωt i(t) = I M sen ωt I(t) = I M e jωt

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1 1. RELAZIONI TENSIONE-CORRENTE NEL DOMINIO DEL TEMPO i(t) Tensione applicata : v(t) v(t) = V M sen ωt V(t) = V M e jωt : vettore ruotante che genera la sinusoide RESISTORE i(t) = v(t) / R = V M / R sen ωt i(t) = I M sen ωt I(t) = I M e jωt fase uguale a quella della tensione ampiezza indipendente dalla frequenza : I M = V M / R CONDENSATORE i(t) = C dv(t) / dt = ωcv M cos ωt i(t) = I M sen (ωt + π/) I(t) = I M e jπ/ e jωt fase : in anticipo di π/ radianti ampiezza proporzionale alla frequenza : I M = ωcv M INDUTTORE i(t) = 1/L v(t) dt = - V M /ωl cos ωt i(t) = I M sen (ωt - π/) I(t) = I M e -jπ/ e jωt fase : in ritardo di π/ radianti ampiezza inversamente proporzionale alla frequenza : I M = V M / ωl ESERCIZIO Disegnare nei tre casi : le correnti i(t), correlate con v(t) i vettori ruotanti associati a v(t) e i(t) nell istante t = 0

2 In tutti i casi la corrente ha la stessa pulsazione (e quindi la stessa frequenza) della tensione. Di conesuenza : In regime sinusoidale, in una qualsiasi rete elettrica di tipi R-C-L, tutte le correnti e le tensioni presenti nel sistema sono sinusoidali e hanno la stessa pulsazione. Tutti i vettori ruotanti associati alle grandezze sinusoidali presenti nel circuito hanno la stessa velocità angolare e perciò mantengono tra loro la stessa distanza angolare presente nell istante iniziale (t = 0). Per questi motivi l analisi dei circuiti in regime sinusoidale si può effettuare col metodo vettoriale, considerando vettori fissi, anziché vettori ruotanti.. RELAZIONI VETTORIALI TENSIONE-CORRENTE Resistore I = V / R V = R I Condensatore I = j ωcv V = I / j ωc = - j 1/ωC I V = - j X C I Induttore I = V / j ωl V = j ωl I V = j X L I Come si può notare le tre relazioni sono analoghe e sono riconducibili all espressione dove Z è un numero complesso che nel primo caso ha solo la parte reale, mentre negli altri due casi ha solo la parte immaginaria. V = Z I R resistenza X C = 1/ωC reattanza capacitiva L effetto prodotto da una reattanza capacitiva X L = ωl reattanza induttiva è opposto a quello prodotto da una reattanza induttiva Z impedenza L impedenza di un bipolo passivo è il rapporto vettoriale tra la tensione applicata e la corrente assorbita dal bipolo ed è espressa da un numero complesso, in cui la parte reale rappresenta la componente resistiva, mentre la parte immaginaria rappresenta la componente reattiva. L impedenza di un bipolo passivo si calcola applicando le stesse regole viste in continua : impedenze in serie : Zs = Z 1 + Z impedenze in parallelo : 1/ Zp = 1/Z 1 + 1/Z Alcuni esempi : resistore in serie con un condensatore Z = R - jx C resistore in serie con un induttore Z = R + jx L condensatore in serie con un induttore Z = j (X L - X C ) resistore in parallelo con un condensatore Z = R. jx C / (R - jx C ) condensatore in parallelo con un induttore Z = X L X C / j(x L - X C ) 3. METODO per svolgere l analisi vettoriale dei circuiti R, C, L in regime sinusoidale 3

3 Si calcolano le reattanze presenti nel circuito tenendo conto della frequenza del segnale applicato Si sostituiscono i condensatori e le induttanze con le rispettive reattanze C -j / ωc L jωl Si esprime la tensione sinusoidale applicata in forma vettoriale vi(t) Vi = Vi ϕ i Applicando i principi dell elettrotecnica e usando il calcolo vettoriale si determinano le altre correnti e tensioni dei sistema in forma vettoriale Se necessario si tracciano i diagrammi vettoriali per visualizzare in forma grafica le relazioni tra le varie grandezze Si esprimono nel dominio del tempo le tensioni e le correnti che si ritiene utile avere in questa forma. Vo = Vo ϕ o v o (t) Io = Io α o i o (t) 4

4 Esempio A vi = V M sen ωt Vi = V M 0 L jxl VL X L = ωl X C = 1/ωC Vi C -jxc B VC C Z T = R + jx L jx C = R + j (ωl 1/ωC ) I = Vi / Z T R VR V R = R I V L = jx L I V C = -jx C I D Vi = V R + V L + V C Diagramma vettoriale nel caso in cui X L < X C VL VR I Vi VC+VL VC ESERCIZI Con vi = 5 sen 10 3 t determinare tutte le correnti e le tensioni dei seguenti circuiti e tracciare i rispettivi diagrammi vettoriali. Resistore di 1 KΩ in serie con condensatore di 1 MF Condensatore di 1 MF in parallelo con induttore di Henry Resistenza di KΩ in serie col parallelo precedente Resistenza di 10 KΩ in parallelo con condensatore di 100 nf Resistenza di 5 KΩ in serie col parallelo precedente. Resistenza di 5 KΩ in serie con condensatore di 100 nf in serie con induttore di 10 Henry. 5

5 4. POTENZA ELETTRICA IN REGIME SINUSOIDALE In regime sinusoidale solo le resistenze dissipano potenza sotto forma di calore, mentre le capacità e le induttanze scambiano potenza, ma non la dissipano. La potenza dissipata dai componenti resistivi di un circuito prende il nome di potenza attiva e si indica con P. La potenza media scambiata dai condensatori e dagli induttori prende il nome di potenza reattiva e si indica con Q. La potenza scambiata da condensatori e induttori sono di segno opposto : si considera positiva quella dell induttore e negativa l altra. Il valore efficace di una tensione v(t) o di una corrente i(t) è il valore della corrispondente grandezza continua che, applicata allo stesso circuito, determina una potenza attiva pari a quella prodotta dalla grandezza variabile. Si può dimostrare che, in regime sinusoidale, il valore efficace di una grandezza elettrica è pari al valore massimo fratto radice di due. V eff = V M / I eff = I M / Potenza attiva dissipata da una resistenza P R = R I eff = R I M / Potenza reattiva scambiata da un condensatore Q C = - X C I eff = - X C I M / Potenza reattiva scambiata da un induttore Q L = X L I eff = X L I M / dove I eff è il valore efficace della corrente che attraversa rispettivamente il resistore, il condensatore, l induttore. Per un bipolo ohmico-reattivo si può dimostrare che : P = V eff I eff cos ϕ Q = V eff I eff sen ϕ dove V eff I eff ϕ cos ϕ è il valore efficace della tensione applicata al bipolo è il valore efficace della corrente che attraversa il bipolo è l argomento dell impedenza del bipolo e dunque lo sfasamento della V rispetto alla I prende il nome di fattore di potenza A = V eff I eff prende il nome di potenza apparente triangolo delle potenze ESERCIZI A Q ϕ P Nei bipoli indicati negli esercizi di pag. 5 determinare : la potenza assorbita dai bipoli, quella dissipata dalle singole resistenze e il cos ϕ. 6