Premessa allo studio dell equazione di una retta del piano

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1 Premessa allo studio dell equazione di una retta del piano Angolo di pendenza di una retta Sia fissato un riferimento monometrico ortogonale nel piano e con esso un verso di rotazione. Allora angolo di pendenza α di una retta r del piano è l angolo descritto dall asse x che ruotando intorno al punto di intersezione con la retta, nel verso fissato, si ferma quando si sovrappone ad essa: α è compreso tra l angolo nullo e l angolo piatto; l angolo di pendenza di una retta parallela all asse delle ascisse è l angolo di pendenza di tale asse cioè l angolo nullo. Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso angolo di pendenza Triangoli simili e rapporto tra le lunghezze dei cateti di un triangolo rettangolo Due triangoli sono simili se hanno gli stessi angoli. Se T e T sono triangoli simili il rapporto tra le lunghezze di due lati di T è uguale al rapporto delle lunghezze dei lati di T che si affacciano agli stessi angoli. Indicato allora con T e T due triangoli rettangoli e con α un angolo acuto in essi, il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto a α e quella del cateto adiacente ad α è lo stesso nei due triangoli T T α b a a α b' a b = a' b' D altra parte, dalla trigonometria sappiamo che tale rapporto è uguale a tg α, dipende quindi dall angolo α e non dal triangolo rettangolo considerato. 1

2 1. RETTE DI UN PIANO Π I. EQUAZIONI DELLE RETTE PARALLE AGLI ASSI COORDINATI RETTA PARALLELA ALL ASSE DELLE ORDINATE y x=0 s ha equazione x=k T(k, 0) k x Una retta s parallela all asse delle ordinate e passante per il punto T (k, 0) è l insieme s={p(x,y) Π: x=k e y R }. L ordinata y di un punto della retta può prendere come valore qualsiasi numero reale e non dipende dal valore assunto dall ascissa x: pertanto la retta è rappresentata dall equazione x = k, che indica l unica condizione cui deve soddisfare un punto per appartenere alla retta. In particolare l asse y delle ordinate ha equazione x =0. RETTA PARALLELA ALL ASSE DELLE ASCISSE y Q(0,k) k r ha equazione y=k x Una retta r parallela all asse delle ascisse e passante per il punto Q (0, k) è l insieme r={p(x, y) Π: x R e y=k} L ascissa x di un punto della retta può prendere come valore qualsiasi numero reale e non dipende dal valore assunto dall ordinata y: pertanto la retta è rappresentata dall equazione y=k. In particolare, l asse x delle ascisse ha equazione y =0

3 II. EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA NON PARALLELA ALL ASSE y E PASSANTE PER O(0, 0) Una retta passante per l origine O (0,0) è individuata (da O e ) dall angolo di pendenza α: esso è l angolo nullo se la retta coincide con l asse delle x, è un angolo acuto se la retta giace nel 1 e 3 quadrante, è un angolo ottuso se la retta giace nel e 4 quadrante. Dimostriamo che una retta per l origine non parallela all asse y ha equazione y =mx, (1) L asserzione è ovvia se la retta coincide con l asse delle ascisse, perché in tal caso m=0 e la (1) dà restituisce l equazione y=0 di tale asse. Dimostriamo l asserzione negli altri casi 1 caso: la retta giace nel primo e terzo quadrante. I punti della retta diversi dall origine O hanno coordinate x e y concordi, pertanto il loro rapporto è positivo e risulta y x = y x () Dimostriamo che il rapporto y / x è costante, cioè non cambia al variare di P(x, y) O(0,0) sulla retta e determiniamo il suo valore. Siano P 1 (x 1, y 1 ) e P (x, y ) due punti distinti della retta diversi dall origine O(0,0). Indichiamo con H 1 la proiezione ortogonale di P 1 sull asse x e con H la proiezione ortogonale di P. I triangoli rettangoli OH 1 P 1 e OH P sono simili e pertanto H P OH = H 1P 1 OH 1 P y O H 1 x 1 y 1 α x H P 1 Poiché OH 1 ha lunghezza x 1, H 1 P 1 ha lunghezza y 1, OH ha lunghezza x e H P ha lunghezza y, l ultima uguaglianza si scrive y x = y 1 x 1. E provato allora che il rapporto y / x non dipende dalla scelta di P(x, y) O(0,0) sulla retta ed è quindi una costante m positiva; allora per (), 3

4 y è = m per ogni P(x, y) O(0,0) sulla retta cioè y =mx per ogni P(x, y) O(0,0). Osserviamo x che l uguaglianza y =mx è verificata anche dalle coordinate del punto origine O, perciò possiamo concludere che è l equazione della retta considerata. y =mx m>0 caso: la retta giace nel secondo e quarto quadrante. I punti della retta diversi dall origine O hanno coordinate x e y discordi, il loro rapporto y/x è negativo e opposto del rapporto y / x : y (3) x = y x. Con ragionamento analogo a quello svolto nel primo caso si prova che il rapporto y / x è costante e non dipende dalla scelta del punto P(x,y) O(0,0) sulla retta. Allora, per (3) il rapporto y/x risulta uguale ad una costante negativa m. Perciò risulta y=mx, uguaglianza verificata anche da O(0,0) ; perciò y =mx m<0 è l equazione della retta considerata. y 1 P 1 π-α α H 1 x 1 x H O y P 4

5 NOTA: il coefficiente m della x nell equazione è detto pendenza della retta, perché il suo valore dipende dall inclinazione (pendenza) di tale retta sull asse x; esso è anche coefficiente angolare. si La relazione tra m e l angolo α ci è fornita dalla trigonometria ed è la seguente: m = tgα. Il coefficiente angolare m è: - nullo se la retta coincide con l asse x, - positivo se la retta cade nel primo e terzo quadrante e cresce al crescere dell angolo di pendenza, - è negativo se cade nel secondo e quarto quadrante. y =m x y y y =mx x y y =m x Si noti che se P 1 (x 1, y 1 ) e P (x, y ) sono punti distinti della retta y =mx allora y y 1 = mx mx 1 = m x x 1 x x 1 Perciò m, che è il rapporto tra ordinata y e ascissa x di un punto qualsiasi P(x, y) O(0,0) della retta, coincide anche con il rapporto tra differenza delle ordinate e differenza delle ascisse di due punti distinti della retta. 5

6 III. EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA GENERICA RETTA NON PARALLELA ALL ASSE DELLE ORDINATE Una retta r non parallela all asse delle ordinate è individuata da due punti P 1 (x 1, y 1 ) e P (x, y ) o da un punto P 1 e dalla sua direzione cioè dal suo angolo di pendenza α. Si può dimostrare ricorrendo alla similitudine fra triangoli rettangoli con ipotenusa sulla retta e cateti paralleli agli assi, che il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di punti distinti P 1 (x 1, y 1 ) e P (x, y ) non dipende dalla scelta dei due punti ma è una costante m: y - y 1 x - x 1 = m P 1 (x 1, y 1 ), P (x 1, y ) r : x x 1 (4) Il valore m coincide con la pendenza della retta passante per l origine O e parallela alla retta data e quindi formante con l asse delle ascisse lo stesso angolo α y=mx P 4 P P 3 x 4 -x 3 y 4 -y 3 y -y 1 P 1 x -x 1 α α q m è allora una costante legata all angolo che la retta forma con l asse delle ascisse e quindi all inclinazione di tale retta sull asse: essa è detta allora coefficiente angolare o pendenza della retta. y Il rapporto m = - y 1 è positivo se α è un angolo acuto, è negativo se α è un angolo ottuso, è x - x 1 ovviamente nullo se y 1 = y, cioè la retta è parallela all asse x, per cui è nullo l angolo α. m>0 m=0 m<0 6

7 Poiché due rette sono parallele se e solo se sono parallele ad una stessa retta per l origine del riferimento y=mx, e cioè se e solo se hanno la stessa pendenza, m è un numero caratteristico non di una singola retta ma di tutto un fascio di rette parallele e quindi della direzione comune di tali rette Per individuare una retta nel fascio di rette di pendenza m occorre conoscere un punto per quale la retta passa; ciò ci porterà alla determinazione dell equazione della retta nella forma puntopendenza o nella forma punto- intercetta; l equazione della retta si può ottenere anche utilizzando le coordinate di due punti distinti di essa. 7

8 Equazione esplicita della retta assegnati la pendenza m e un punto P 1 ( x 1, y 1 ) Sia nota la pendenza m della retta ed un suo punto P 1 (x 1, y 1 ). Allora l equazione della retta assume la seguente forma 1. equazione nella forma punto - pendenza Come si ottiene l equazione 1. Indichiamo con P(x, y) il generico punto della retta; al variare sulla retta di P P 1 non varia il rapporto y y 1 x x 1 perché esso, per la (4), è in ogni caso uguale alla pendenza m della retta: y - y 1 x - x 1 = m P(x, y) r : x x 1 Moltiplicando per x-x 1 i membri dell uguaglianza y - y 1 x - x 1 = m valida per P P 1, si ottiene y - y 1 = m( x - x 1 ) e quindi l equazione 1., che è verificata anche per P= P 1 ed è quindi soddisfatta da tutti e soli i punti della retta. Sia P 0 (0, q) il punto in cui la retta di pendenza m incontra l asse delle ordinate: q è detto intercetta della retta sull asse y. Allora, scegliendo P 1 (x 1, y 1 )= P 0 (0, q) l equazione 1. assume la seguente forma che è detta equazione della retta nella forma pendenza- intercetta 1.1 y =mx +q equazione nella forma pendenza intercetta ( sull asse y) Come si ottiene altrimenti l equazione 1.1 Operando sul prodotto al membro della 1. si ottiene y = mx + y 1 mx 1, ponendo quindi q =y 1 -mx 1 si ottiene l equazione 1.1. Si verifica poi, ponendo x=0 nell equazione, che la retta passa per P 0 (0, q) e che quindi q è l intercetta sull asse y. P 0 (0, q) q 8

9 Casi particolari: - se m = 0, la retta è parallela all asse delle x e da 1 o 1.1. otteniamo le seguenti equazioni da 1. da 1.1 y=q equazioni di una retta parallela all asse delle x - se la la retta passa per l origine O(0,0) l intercetta è q= 0 o da 1. (ponendo P 1 (x 1, y 1 )= O(0,0)) o da 1.1 (ponendo q=0) ritroviamo l equazione equazione di una retta passante per l origine del riferimento 9

10 Equazione esplicita della retta assegnati due punti P 1 (x 1, y 1 ) e P (x, y ) Siano assegnati due punti distinti della retta, P 1 (x 1, y 1 ) e P (x, y ). Allora è m= y y 1 x x 1 P P1 α e dalla 1. si deduce l equazione della retta nella la seguente forma Equazione della retta passante per. e con x x 1 Come si ottiene altrimenti l equazione.. Si può ottenere dall eguaglianza y - y 1 x - x 1 = y - y 1 x - x 1 che deve essere verificata da ogni punto P(x, y) P 1 (x 1, y 1 ), in quanto sulla retta è costante il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti distinti della stessa. Ricavando y da quest ultima uguaglianza si ottiene la. che è verificata anche dalle coordinate del punto P 1. Nota: moltiplicando entrambi i membri della. per x -x 1 l equazione assume la forma. 1 Equazione della retta passante per due punti distinti e La.1 può rappresentare anche una retta parallela all asse y, caso in cui è x = x 1 per cui P 1 P solo se y 1 y. Infatti, ponendo x = x 1 la.1 fornisce l uguaglianza y y 1, e, poiché y 1 y, si ha l equivalenza ( y y 1 )( x x 1 ) = 0 ( x x 1 ) = 0 ( )( x x 1 ) = 0 x=x 1, x 1 Perciò l equazione, nel caso x = x 1, è equivalente all equazione x=x 1 della retta per all asse y. P 1 ( x 1, y 1 ) parallela 10

11 III 1 Condizione di parallelismo letta attraverso il coefficiente angolare. Siano r e s rette di equazioni y =mx+ n ed y =m x+ n rispettivamente. Abbiamo già osservato che due rette sono parallele se e solo se hanno la stessa pendenza. Quindi: m= m (condizione di parallelismo per rette non parallele all asse y) III Condizione perpendicolarità per rette con coefficiente angolare non nullo Supponiamo che la retta r di coefficiente angolare m 0 e la retta s di coefficiente angolare m 0 siano perpendicolari e costruiamo le rette per l origine del riferimento parallele alle rette date che hanno per equazione rispettivamente y=mx e y = m x. Consideriamo i punti di ascissa 1 sulle due rette: P(1, m) sulla retta r e P (1, m ) sulla retta s, allora H (1, 0) è il punto di intersezione della retta x=1, passante per P e P, con l asse delle ascisse O P(1, m) H x=1 Il triangolo OPP è rettangolo in O e l ipotenusa è perpendicolare a. Applicando il teorema di Talete per il quale l altezza OH è media proporzionale tra le lunghezze delle proiezioni dei cateti sull ipotenusa, si ha P (1, m ) cioè: m:1=1: -m o anche: m m =- 1 Perciò: m = -1/m è la condizione di perpendicolarità per rette nessuna delle quali è parallele all asse y Nota: Una retta r con coefficiente angolare m=0 è parallela all asse delle ascisse e quindi ogni retta s ad essa perpendicolare è parallela all asse delle ordinate. Viceversa se s è una retta parallela all asse delle ordinate, allora le rette perpendicolari a s hanno coefficiente angolare nullo. 11

12 IV. EQUAZIONE IN FORMA IMPLICITA DI UNA GENERICA RETTA o Ogni retta del piano è rappresentata da un equazione della seguente forma 4. ax + by + c = 0 (a, b) (0, 0) Infatti: - se r è parallela all asse delle ordinate, essa ha equazione x= k e risulta x= k x - k= 0 ax +by +c =0 con a=1 0, b=0 e c= -k - se r non è parallela all asse delle ordinate, essa ha equazione y= mx +n e risulta: y= mx +n mx-y +n =0 ax +by +c =0 con a=m, b=-1 0 c= n l equazione 4. Si ottiene anche dall equazione 3, ponendo a= y - y 1 e b = -(x - x 1) o Viceversa, l equazione 4., con la condizione (a, b) (0, 0) rappresenta una retta. Infatti - Se b 0 l equazione può porsi nella forma: equazione della retta di coefficiente angolare m= a b e intercetta n= ; In particolare se a=0 e b 0 si ha y= -c/b equazione di una retta parallela all asse delle x.nota: la retta incontra l asse delle ordinate in P(0, c ) e l asse delle ascisse in Q ( c b a, 0) - Se b = 0 e a 0 l equazione può porsi nella forma: equazione della retta parallela all asse delle ordinate e passante per P(-c/a, 0) x = In conclusione: l equazione ax + by + c = 0 con (a, b) (0, 0) rappresenta: - una retta parallela all asse delle ordinate se b=0 e a 0 - una retta parallela all asse delle ascisse se a=0 e b 0 -una retta non parallela a nessuno dei due assi e se a 0 e b 0 Inoltre se b 0 la retta ha coefficiente angolare m= e intercetta n= a b 1

13 L equazione 4. è detta equazione della retta in forma implicita. IV 1 Condizione di parallelismo letta attraverso i coefficienti della x e della y nell equazione implicita Siano r e s due rette del piano di equazioni ax+by+c=0 e a x+b y+c =0 rispettivamente. Dimostriamo che (r e s parallele) (ab = a b). (5) Dimostriamo l implicazione siano r e s parallele. Allora si verifica una delle seguenti situazioni: 1) r e s sono entrambe parallele all asse delle ordinate; ) r e s non sono parallele all asse delle ordinate e hanno la stessa pendenza. La situazione 1) si verifica se e solo se b=b =0. La situazione ) si verifica se e solo se a b = a' b'. In ognuno dei due casi è ab = a b; perciò: (r e s parallele) (ab = a b) Dimostriamo l implicazione. Sia ab = a b. Poiché (a,b) (0,0) e (a,b ) (0,0) ( cioè a e b non sono entrambi nulli e lo stesso vale per a e b ), l uguaglianza ab = a b è verificata solo se b=b =0 o a b = a', cioè solo se le rette sono parallele all asse delle ordinate o hanno la stessa pendenza; perciò: b' (ab = a b) (r e s parallele). Allora per (5) ab = a b (condizione di parallelismo delle rette r e s) Nota: Se a e b sono non nulli le rette r e s sono parallele se e solo se i coefficienti a, b sono proporzionali ad a e b e cioè se esiste un k 0 tale che a = ka e b = kb. Infatti, la condizione di parallelismo, nelle ipotesi a 0 e b 0, è equivalente a a' a = b' per cui b indicato con k 0 il valore del rapporto, a' a = b' = k, si ha che è e a = ka e b = kb. b In altre parole, nel caso a 0 e b 0, s è parallela a r se e solo se la sua equazione implicita è del tipo s) kax + kby + c = 0 Esercizio: dimostrare che - se la proporzionalità si estende al termine noto, cioè se s) kax + kby +k c = 0 le rette s e r coincidono. -la retta per P 0 (x 0, y 0 ) parallela alla retta r ha equazione ka(x- x 0 ) + kb(y- y 0 )=0 cioè a(x- x 0 ) + b(y- y 0 )=0 13

14 IV Condizione di perpendicolarità letta attraverso i coefficienti della x e della y nell equazione implicita Siano r e s due rette del piano di equazioni ax+by+c=0 e a x+b y+c =0 rispettivamente. Dimostriamo che (r e s perpendicolari) (ab = a b). (6) Dimostriamo l implicazione Le rette r e s sono perpendicolari se e solo accade uno dei seguenti fatti: 3) una e parallela all asse dell ascisse e l altra all asse delle ordinate; 4) nessuna delle due è parallela ad un asse e i loro coefficienti angolari m ed m verificano la condizione m = -1/m equivalente a mm =-1 La situazione 3) si verifica se e solo se a=b =0 o b=a =0 ; La situazione 4) si verifica se e solo se a' b' = b a In ognuno dei due casi è aa = -bb Dimostriamo l implicazione. Sia aa = -bb. Con l assunzione che (a,b) (0,0) e (a,b ) (0,0), a' l uguaglianza aa = -bb è verificata solo se (a=b =0 o b=a =0) oppure, cioè solo se b' = b a le rette sono una parallela all asse delle ascisse e l altra parallela all asse delle ordinate, oppure se i loro coefficienti angolari verificano la condizione m = -1/m. Perciò (6) è vera e per essa: aa = -bb (condizione di perpendicolarità delle rette r e s) 14

15 Da POSIZIONE RECIPROCA DI DUE RETTE scritte in forma implicita r : s : a x + b y + c = 0 a' x + b' y + c' = 0 y r! s a a' Sì c c' = = Sì r! s b b' b b' O x No r // No s y O r x s y r a b' Sì = " r # s b a' O s x No Rette incidenti y O r s x ESERCIZI 1. Determinare l equazione esplicita della retta per P 0 (-1, 4) di coefficiente angolare 3.. Determinare l intercetta sull asse y della retta di cui all esercizio precedente. 3. Dire se il punto di coordinate (1, ) appartiene alla retta. 4. Determinare l equazione della retta per P 0 (-1, 4) che forma con l asse delle ascisse un angolo di 60 gradi. 5. Determinare l equazione della retta per P 0 (-1, 4) che forma con l asse delle ascisse un angolo di misura in radianti pari a π/. 6. Determinare il coefficiente angolare della retta P 1 (1, 3) e P (, -). 7. Determinare il coefficiente angolare dell asse del segmento di estremi P 1 (1, 3) e P (, -). 8. Determinare l equazione dell asse del segmento di estremi P 1 (1, 3) e P (, -). 9. Dire quali dei seguenti punti giacciono sulla stessa retta: a) (1, 1), (-, -5) e (0, -1), b) (-, 4), (0, ) e (1, 5). 10. Determinare l equazione esplicita della retta per P 1 (1, 3) e P (, -) nella forma punto pendenza. 15

16 11. Determinare l equazione esplicita della retta per P 0 (1,4) parallela alla retta y=x Determinare l equazione esplicita della retta per P 0 (1,4) perpendicolare alla retta y=x Assegnata la retta di equazione x-3y+6=0, determinare la pendenza della retta e le intersezioni con gli assi. 14. Scrivere l equazione della retta di cui all esercizio precedente in forma esplicita. 15. Determinare l equazione della retta per l origine parallela alla retta x-3y+6= Determinare l equazione della retta per l origine perpendicolare alla retta x-3y+6= Determinare la posizione reciproca delle rette (dire cioè se sono parallele, perpendicolari o se semplicemente si intersecano con un angolo non retto) r) y=3x-1 e r ) x-y+5= Determinare le pendenze dei lati del triangolo di vertici (-1, ), (6,5) e (,7). 19. Dire se il triangolo dell esercizio precedente è un triangolo rettangolo o non lo è. 0. Ordina le seguenti rette secondo l ordine crescente del coefficiente angolare (*) r s t h (*) Adottando la convenzione che per angolo che la retta forma con l asse delle ascisse si intende l angolo positivo che l asse delle ascisse deve descrivere per sovrapporsi alla retta, per rispondere alla domanda occorre conoscere come varia la tang α al variare di α in [0, π/[ e in ] π/, π]. 16

17 Premessa al paragrafo. Combinazioni lineari, affini o convesse di due numeri reali. Siano x 1 e x numeri reali; scelti h ed k in R, il numero x =hx 1 + kx è detto combinazione lineare di x 1 e x con coefficienti h e k e in particolare: - combinazione affine se h+k=1, ( cioè se k=1-h e h=1-k) - combinazione convessa se h +k = 1 e inoltre h 0, k 0. Pertanto: x combinazione affine di x 1 e x se e solo se x =hx 1 + (1-h)x =x -h(x -x 1 ) o x =(1-k)x 1 + kx = x 1 +k(x -x 1 ) x è combinazione convessa di x 1 e x se e solo se h [0, 1]: x =hx 1 + (1-h)x o k [0, 1]: x =(1-k)x 1 + kx Esempi: Siano x 1 =1 e x =5. - Risulta: e Allora 7 è combinazione lineare di 1 e 5 con coefficienti h= e k =1-; inoltre 7 è combinazione affine di 1 e 5 con coefficienti h= e k = (la cui somma è 1); - Risulta: e Allora 0 è combinazione lineare di 1 e 5 con coefficienti h = 5 e k = -1; inoltre 0 è combinazione affine di 1 e 5 con coefficienti h = 5/4 e k = -1/4; - è combinazione affine di 1 e 5 con coefficienti h = e k =-1 ; 11 - Risulta: con 3 = = 1 3 x x 11 Allora 3 è combinazione convessa di x 1 e x. 1 3 > 0, 3 > 0 e =1 NOTA 1 Sia x 1 x ; allora il punto medio di x 1 e x è combinazione convessa di x 1 e x x = 1 x x = x 1 + x, _ x 1 x x x 1 è combinazione convessa di x 1 e x con coefficienti 1 e 0: x 1 = 1 x x x è combinazione convessa di x 1 e x con coefficienti 0 e 1: x = 0 x x. 17

18 . FUNZIONI CHE HANNO PER GRAFICO UNA RETTA FUNZIONI CHE HANNO PER GRAFICO UNA RETTA PARALLELA ALL ASSE x: FUNZIONI COSTANTI La funzione costante k. Sia k un numero reale e consideriamo la funzione che ad ogni numero reale x associa k: f: x R k Tale funzione è detta funzione costante k; il suo codominio è {k},il suo grafico è costituito da tutti i punti del piano di ordinata k G f = {P(x, y) Π: x R e y=k} ={P(x, k)} x R ed è quindi la retta orizzontale di equazione y=k. f(r) = {k} k y=k Ovviamente la funzione non è invertibile La funzione nulla. La funzione costante k, nel caso sia k = 0 è detta funzione nulla e ha per grafico la retta di equazione y=0 coincidente con l asse delle ascisse x R 0 funzione nulla y=

19 FUNZIONI CON GRAFICO UNA RETTA PASSANTE PER L ORIGINE: FUNZIONI LINEARI La funzione f: x R f(x) = m x è detta funzione lineare; essa ha per grafico G f = {P(x, y) Π: x R e y=mx} ={P(x, mx)} x R cioè la retta di equazione y= mx passante l origine O (0, 0) del riferimento. y = mx y = mx m <0 m>0 Se m 0 allora f(r) =R e la funzione è invertibile y = 0 f(r) ={0} L applicazione nulla x R 0, l applicazione identica x R x e la sua opposta x R -x sono casi particolari di funzioni lineari. Proprietà delle funzioni lineari per m =0 f(0)=0 e f(x) / x = m x 0 f(hx) =hf(x) proprietà di omogeneità ( dim.: f(hx) = mhx = h mx = hf(x) ) f(x+y) =f(x) + f(y) proprietà di additività ( dim.: f(x+y) = m(x+y) = mx+my = f(x) +f(y)) f(hx+ky) = hf(x) +k f(y) proprietà di linearità (*) La proprietà di linearità può essere dimostrata direttamente f(hx+ky) = m(hx+ky) = hmx+kmy = hf(x) +kf(y) o come conseguenza delle proprietà di additività e omogeneità: f(hx+ky) = f(hx)+f(ky) = hf(x) +kf(y). La proprietà di linearità caratterizza le funzioni lineari ed è equivalente al verificarsi di entrambe le proprietà di omogeneità e di additività e f lineare ( cioè f(x)= mx) f verifica la condizione di linearità f verifica omogeneità e additività (*) L espressione hx+ky è detta combinazione lineare di x e y con coefficienti h e k; pertanto la proprietà di linearità afferma che: l immagine di una combinazione lineare di punti x e y è uguale alla combinazione lineare delle immagini f(x) e f(y) con gli stessi coefficienti. (cfr. Appendice per il concetto di combinazione lineare) 19

20 FUNZIONI CON GRAFICO UNA RETTA NON NECESSARIAMENTE PASSANTE PER L ORIGINE: FUNZIONI AFFINI La funzione f: x R f(x) = m x +q è detta funzione (lineare) affine; essa ha per grafico G f = ={P(x, mx+q)} x R cioè la retta di equazione y= mx +q parallela alla retta passante per l origine del riferimento e avente coefficiente angolare m. Il numero q è detto ordinata all origine: è l ordinata del punto in cui la retta incontra l asse delle ordinate n y = mx+q m>0 y = mx+q m <0 Se m 0 allora f (R) = R n e la funzione è invertibile Strettamente crescente per m >1 Strettamente decrescente per m <1 y = q n m =0 f(r) ={n} funzione costante per m=0 L insieme delle funzioni affini include come l insieme delle funzioni lineari ( caso n = 0). Proprietà delle funzioni affini: f(0)=0 e f (x ) f (x 1 ) x x 1 = m x 1 e x : x 1 x se h+k = 1 allora f(hx+ky) = hf(x) +k f(y) proprietà di affinità (*) Dimostriamo la proprietà di affinità: f(hx+ky) = m(hx+ky)+ q = hmx+kmy + q( h+k) = hmx+hq + kmy+kq =h (mx+q)+ k(my+q) = = hf(x) +kf(y). f affine (cioè f(x) = mx+q) f verifica la condizione di affinità (*) Se h+k =1, l espressione hx+ky è detta combinazione affine di x e y con coefficienti h e k; pertanto la proprietà di affinità afferma che: l immagine di una combinazione affine di punti x e y è uguale alla combinazione affine delle immagini f(x) e f(y) con gli stessi coefficienti. (cfr. Appendice per il concetto di funzione affine) 0

21 . 1 Coordinate del Punto Medio di un segmento Punto medio di un segmento P 1 P del piano è il punto M(x, y) del segmento equidistante dagli estremi: M punto medio di P 1 P d(p 1, M ) = d(p, M ) Possiamo determinare le coordinate del punto medio di un segmento, non parallelo all asse considerando la retta y=mx+q a cui esso appartiene e questa come grafico della funzione affine f(x)= mx+q. Dalla proprietà di affinità di una funzione f si deduce che: f ( 1 x x ) = 1 f ( x 1) + 1 f ( x ) = f ( x 1) + f ( x ) La (7) afferma che se x = 1 è il centro dell intervallo di estremi x 1 e x sull asse x x = x + x 1 delle ascisse, la sua immagine f(x) è il centro f (x )+ f (x ) 1 dell intervallo di estremi f(x 1 ) e f(x ) sull asse delle ordinate. (7) y =f(x )=mx +n P (, ) f(x)=(1/)f(x 1 )+(1/)f(x ) M (x, f(x)). y 1 = f(x 1 )= m x 1 +n P 1 (, ) x 1 x=(1/)x 1 +(1/)x x Allora il punto M! x 1 + x #, f x 1 " ( ) + f ( x ) $ & % appartiene al segmento P 1 P e poiché risulta ! M x + x 1 #, f x 1 " d(p 1,M ) = ( ) + f ( x ) " $ # x x 1 $ & =! x 1 + x # " % ( ) f ( x 1 ) % " ' + f x & $ #, y 1 + y % ' & = d(m, P ), $ & è il punto medio del segmento P % 1 P. Quale teorema su fasci di rette parallele può essere utilizzato per determinare per altra via le coordinate di M? 1

22 Prosieguo esercizi sulle rette 1. Determinare l asse del segmento di estremi P 1 (1, 3) e P (, - ( cfr. paragrafo.1). Determinare l asse del segmento di estremi P 1 (0, 3) e P (, 0) ( cfr. paragrafo.1) 3. Sia r la retta di equazione x-5y -1=0; determ inare i punti P 1 e P di intersezione con gli assi e l asse del segmento di estremi P 1 e P 3. Se P 1 (x 1, y 1 ) e P (x, y ) appartengono a una retta r, che ordinata ha il punto P (x, y) di ascissa x= x 1 - x ( x è combinazione affine di x 1 e x ) che appartiene alla retta? (considerare la retta come grafico di una funzione affine per cui y 1 = f(x 1 ), y 1 = f(x 1 ) e y=f(x)=f( x 1 - x ) e applicare la proprietà di affinità)