La retta è il luogo geometrico dei punti che soddisfano la seguente relazione

Transcript

1 RETTE Definizine intuitiva La retta linea retta è un dei tre enti gemetrici fndamentali della gemetria euclidea. Viene definita da Euclide nei sui Elementi cme un cncett primitiv. Un fil di ctne di spag ben tes tra due punti è un mdell materiale che ci può aiutare a capire csa sia la retta, un ente gemetric immateriale senza spessre e cn una sla dimensine. La retta è inltre illimitata in entrambe le direzini, ciè è infinita. Viene generalmente cntrassegnata cn una lettera minuscla dell'alfabet latin. Definizine La retta è il lug gemetric dei punti che sddisfan la seguente relazine ax + by + c = 0 (frma implicita della retta) Assi cartesiani Gli assi che frman il pian cartesian sn due rette particlari le cui euazini sn: asse x y = 0 asse y x = 0 Rette parallele agli assi In generale però si hann le seguenti euazini per rette parallele all asse x y dve k rappresenta una cstante. rette parallele asse x y = k rette parallele asse y x = k Rette parallele asse y Rette parallele asse x 1

2 Terema Per due punti passa una e una sla retta. Bisettrici Tra tutte le rette particlari che si pssn definire ci sn le bisettrici, rette passanti per l rigine che dividn i uadranti in due zne euivalenti: bisettrice I III uadrante y = x bisettrice II IV uadrante y = x Retta passante per l rigine Pi vi sn le rette che passan per l rigine y = mx dve m è una cstante il cui significat si vedrà tra un attim. Euazine generica di una retta In generale una retta che nn sia parallela all asse y si scrive: y = mx + uesta viene chiamata frma esplicita di una retta, dve: m si chiama cefficiente anglare della retta pendenza e mi indica uant è inclinata la retta yb ya stessa e si calcla cn m = ; x x si chiama intercetta e indica la crdinata y del punt di intersezine tra la retta e l asse y. B A Riassunt In generale allra tutte le rette le descriv in uesta maniera: y = mx + rette nn parallele asse y x = k rette parallele asse y 2

3 Euazine di una retta passante per due punti Dati due punti A(x A ;y A ) e B(x B ;y B ) la retta che passa per uesti punti si calcla nel seguente md: y ya x xa = y y x x B A B A Rette parallele Date due rette di euazine: y = mx + = + ' ' y mx Esse sn parallele se viene sddisfatta la seguente eguaglianza ' m = m Quand due rette sn parallele si usa il simbl Rette perpendiclari Date due rette di euazine: y = mx + = + ' ' y mx Esse sn perpendiclari se viene sddisfatta la seguente eguaglianza m = m ' 1 Quand due rette sn perpendiclari si usa il simbl 3

4 Distanza punt-retta Data una retta di euazine ax + by + c = 0 e un punt estern alla retta di crdinate P(x ;y ), la distanza tra il punt e la retta si calcla: d = ax + by + c a + b 2 2 Esercizi guidat Dati tre punti A(-; 3), B(3; -5), P(2; 7) trvare 1. Retta r passante per A e B 2. Retta parallela a r e passante per P 3. Retta perpendiclare a r e passante per P. Distanza di P da r y ya x xa 1. Per trvare la retta per A e B dev utilizzare la seguente frmula = y y x x E facci i calcli y 3 x+ = x + y 3= y = x + 3 y = x y = x+ Da cui y 3 x+ = B A B A 7 y = x euazine della retta r per A e B 3

5 2. Per trvare la retta parallela a r bisgna trvare il cefficiente anglare di r che cnsciam Dunue la retta parallela sarà del tip: y = x+ m =. Perché hann l stess cefficiente anglare. Ora cme prima dev ricavare, ma uesta vlta sn bbligat ad utilizzare cme punt P. E facci i cnti 1 7 = = = 7 = 7= 2+ La retta parallela ha euazine 7 y = x+ 3. Facci un prcediment mlt simile per trvare la retta perpendiclare. Dunue la retta parallela sarà del tip: y = x+ Perché hann il cefficiente anglare è men il reciprc, perciò cambi il segn e l ribalt. Ora cme prima dev ricavare, ma uesta vlta sn bbligat ad utilizzare cme punt P. 5 7= 2+

6 E facci i cnti 1 7 = + 7 = + 7 = 2 = 17 = La retta parallela ha euazine 17 y = x+. dev trvare la distanza da r a P. Per fare uest dev trasfrmare la retta dalla sua frma esplicita a uella implicita: 7 y = x 3 Ciè dev prtare tutt dalla stessa parte: 7 y = x 3 7 x+ y+ = 0 3 x+ y+ 21 = 0 Da cui si ricava la frma implicita cme x+ y+ 21 = 0 Di uesta frma dev sapere i parametri a, b e c che sn in uest cas a = b = c = 21

7 Ora applic la frmula per la distanza punt-retta d = ax + by + c a + b 2 2 che ci numeri è d = = = = = =