3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x.

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x."

Transcript

1 1 Soluzioni esercizi 1.1 Equazioni di 1 e grado Risolvere le seguenti equazioni di 1 grado: 1) 3x 5x = 1 x. Abbiamo: 3x + x 5x = 1 + x = x = 5. ) x + 3 x = + 3x. Facciamo il m.c.m. : 4x + 6 x = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per, a risolvere Si ha 4x + 6 x = 4 + 3x. 4x x 3x = x = 0 = che è impossibile. 3) Abbiamo: x [3 x ( x)] = 6x (1 + 4x). x [3 x +x] = 6x 1 4x x 3+x+ x = 6x 1 4x, quindi x 6x + 4x = x = 0; quest ultima uguaglianza è verificata per ogni x IR. Una tale equazione si dice indeterminata. 1

2 4) (x ) x + 3 = x Sviluppiamo il quadrato e riduciamo entrambi i membri allo stesso denominatore: x +4 4x x+ 3 = x x 6x = + 35 ; 6 moltiplicando entrambi i membri per 6, si ottiene: 4 4x 6x + 9 = x 6x = x = 0 x = 0. Risolvere le seguenti equazioni di 1 grado fratte: 1) 3 x 3 3x x + 3 = 3(6 x ) 4x 9 Scomponiamo i denominatori in fattori primi: x 3; x+3; 4x 9 = (x+3)(x 3) (differenza di quadrati). Si ha m.c.m(x 3, x + 3, 4x 9) = (x 3)(x + 3). Otteniamo 3(x + 3) 3x(x 3) (x 3)(x + 3) = 3(6 x ) (x 3)(x + 3). Moltiplichiamo entrambi i membri per (x 3)(x + 3), richiedendo però che (x 3)(x+3) 0 x 3 0 e x+3 0 x 3 e x 3, si ha: 3(x + 3) 3x(x 3) = 3(6 x ) 6x + 9 6x + 9x = 18 6x 6x + 9x = x = 9 x = 9 15 = 3 5.

3 ) x + 1 3x x x + 1 3x 5x + 6 3x 3 Scomponiamo i denominatori: = 0. 3x 3 = 3(x 1); x + 1; 3x 3 = 3(x 1) = 3(x 1)(x + 1); il m.c.m. è 3(x 1)(x + 1). Abbiamo, riducendo allo stesso denominatore, (x + 1) 3(1 + x)(x 1) (3x 5x + 6) 3(x + 1)(x 1) = 0. Poniamo x ±1 e moltiplichiamo entrambi i membri per 3(x+1)(x 1) otteniamo x + x + 1 (1 + x)(3x 3) 3x + 5x + 6 = 0 x + x + 1 3x + 3 6x + 6x 3x + 5x + 6 = 0 x 3x + 6x 3x = x = x = 1. Tale soluzione non può essere accettata avendo supposto x ±1. Dunque la nostra equazione non ha soluzioni. 3) Abbiamo: 1 x 1 3 x + = 1 x + x. x 1; x + ; x + x = (x 1)(x + ); (per quest ultimo abbiamo applicato la seguente: x + (a + b)x + a b = (x + a)(x + b) con a = e b = 1); inoltre m.c.m.(x 1, x +, x + x ) = (x 1)(x ). Riducendo entrambi i membri allo stesso denominatore si ha: x + 3(x 1) (x 1)(x + ) = 1 (x 1)(x + ). Imponiamo che (x 1)(x ) x 1, e moltiplichiamo per tale quantità otteniamo: x+ 3x+5 = 1 x 3x = 1 3 x = 4 x = 3

4 4) x x 1 + x + 6 x + x x x + x (x + 1) + 1 = 0. Riduciamo entrambi i membri allo stesso denominatore x 1 = (x 1)(x+1); x +x+1 = (x+1) ; 1 x = (x 1); (x+1) ; m.c.m.(x 1, x + x + 1, 1 x, (x + 1) ) = (x 1)(x + 1) (x )(x + 1) + (x + 6)(x 1) (x + 3)(x + 1) + x(x 1) + (x 1)(x + 1) x 1)(x + 1) = 0. Moltiplichiamo per (x 1)(x + 1) ricordando che x deve essere diverso da ±1 punti in cui si annulla il denominatore, si ha (x )(x+1)+(x+6)(x 1) (x+3)(x +x+1)+x(x 1)+(x 1)(x +x+1) = 0 x + x x + x x + 6x 6 x 3 x x 3x 6x 3+ +x x + x 3 + x + x x x 1 = 0 x x x = x = 1 x =. Ricordiamo per i prossimi esercizi la formula risolutiva per le equazioni di grado, ax + bx + c = 0: Poniamo = b 4ac si ha: x 1, = b ± b 4ac a > 0 abbiamo due soluzioni reali distinte; < 0 abbiamo due soluzioni complesse coniugate; = 0 abbiamo due soluzioni reali coincidenti. Risolvere le seguenti equazioni di grado: 1) Si ha (x 1)(x + x + 1) (x 1) 3 = 0. x 3 + x + x x x 1 (x 3 3x + 3x 1) = 0 4

5 x 3 + x + x x x 1 x 3 + 3x 3x + 1 = 0. Facendo le opportune semplificazioni si ottiene: 3x 3x = 0 3x(x 1) = 0 3x = 0 o x 1 = 0. Abbiamo due soluzioni distinte x = 0 e x = 1. Osserviamo che avremmo potuto usare la formula risolutiva ricordando che in questo caso c = 0. ) ( x ) (x + 1) 10x + x = 0. Sviluppiamo i quadrati e riduciamo allo stesso denominatore otteniamo x x x x x + x 3 4 1x 18x x + 3x 9 = 0 4 1x 18x x + 3x = 0 = 0 3x 5 = 0 x = x = ± 3. Anche in questo caso avremmo potuto applicare la formula risolutiva, notando che b = 0. 3) 5x + 13x + 6 ( x)(x + 1) 4 Riducendo allo stesso denominatore si ha: 5x + 13x + 6 (x + x x) 4 = x 1. 4 = x 1 4 5x + 13x + 6 4x 4 + x + x = x 1 6x + 11x + 3 = 0. 5

6 Applicando la formula risolutiva otteniamo: x 1, = 11 ± = 11 ± 49 1 = 11 ± 7. 1 Dunque abbiamo due soluzioni reali distinte x 1 = 1 3 e x = 3. 4) x x + = 0. Applichiamo la formula risolutiva otteniamo: x 1, = ± 8 8 =. Risolvere le seguenti equazioni di grado fratte: 1) Riducendo al m.c.m otteniamo: x x 1 + x (x 1)( x) = x + (x ). (x )(x ) + x ( x + ) (x 1)(x ) = (x + )(x 1) (x 1)(x ). Imponendo la condizione x 1,, punti in cui si annulla il denominatore la nostra equazione equivale alla seguente: (x )(x 4x + 4) x 3 + x = x x + x ) x 3 4x + 4x x + 8x 8 x 3 + x = x x + x 5x 11x+6 = 0 x 1, = 11 ± x + 1 4x + 4x x 4x + = Scomponiamo i denominatori: x 6x x + 48x + 1. x 1 = 1 e x = x + 4x + 1 = 4(x + x ) = 4(x + 1 ) ; 6x + 3 = 6(x + 1 ); 6

7 4x + = 4(x + 1 ); 48x + 48x + 1 = 48(x + x ) = 48(x + 1 ). Dunque m.c.m(4x + 4x + 1, 6x + 3, 4x +, 48x + 48x + 1) = 48(x + 1 ). Abbiamo 1(x + 1) + 1(x + 1 )(x ) 48(x + 1 = 8x(x + 1) + 5 ) 48(x + 1. ) Poniamo x 1, e moltiplichiamo entrambi i membri per 48(x + 1 ) otteniamo: 1x x 4x + 6x 1 = 8x + 4x + 5 1x + 1x 8x 4x + 6x 4x 5 = 0 16x x 5 = 0 x 1, = ± Quindi abbiamo due soluzioni reali e distinte: x 1 = e x = ) 5x + x 4 + x + x 13x + 5x + 10 = 4x + 3x. 5x 0 Scomponiamo i denominatori: Si ha x 4 = (x )(x + ); x ; 5x + 10 = 5(x + ); 5x 0 = 5(x 4) = 5(x )(x + ) m.c.m(x 4, x, 5x + 10, 5x 0) = 5(x + )(x ). 5(5x + ) + 5(x + ) (13x + )(x ) 5(x + )(x ) 7 = 4x + 3x 5(x + )(x ) ;

8 imponendo x ± la precedente equazione è equivalente a 5x (x x) (13x 6x + x 4) = 4x + 3x 5x x x 13x + 6x x + 4 = 4x + 3x 1x + 66x + 36 = 0 x + 11x + 6 = 0. Applicando la formula risolutiva troviamo due soluzioni reali e distinte, cioè x 1, = 11 ± = 11 ± 13 4 x 1 = 1 e x = 6. 4) ( 4 + Osserviamo che dunque Si ha 11x 16 x 3x + 3x + 5 ) : x 1 + x x 3x + = (x )(x 1), 6 x x + 1 = 0. m.c.m(x 3x +, x ) = (x )(x 1). 4(x 3x + ) + 11x 16 (3x + 5)(x 1) (x )(x 1) x x x + 1 = 0 [4x 1x x 16 3x + 3x + 5x 5] 6 + (x )(x 1) (x 1) = 0. Riducendo allo stesso denominatore si ottiene x 6x 6 + 6(x ) (x )(x 1) = 0 x 18 (x 1) (x ). Dunque ponendo x 1,, punti in cui si annulla il denominatore, abbiamo x 18 = 0 x 9 = 0 x = ±3. 8

9 1. Disequazioni di 1 e grado Risolvere le seguenti disequazioni di 1 grado fratte e non: 1) 3x + 1 x + 3 > + x. 3 4 Riduciamo entrambi i membri allo stesso denominatore, si ha 18x + 6 8x 1 1 > 6 + 3x. 1 Moltiplicando entrambi i membri per 1, si ottiene 10x 6 > 6 + 3x 7x > 1 x > 1 7. ) x 5 8 x > 0. Osserviamo che una frazione è positiva quando numeratore e denominatore sono positivi oppure quando sono entrambi negativi. Dunque studiare la disequazione assegnata equivale a risolvere i seguenti sistemi x 5 > 0 x 5 < 0 8 x > 0 8 x < 0 x > 5 x < 8 x < 5 x > 8 Dunque la nostra disequazione è verificata per 5 < x < 8 (osserviamo che il secondo sistema non ha soluzioni). 3) (x 1)( x) (x + 3)(5 x) 0. Studiamo i singoli fattori separatamente, si ha x 1 0 x 1, x 0 x, 9

10 e x + 3 > 0 x > 3 5 x > 0 x < 5. Notiamo che la x deve essere diversa da 3 e 5, punti in cui si annulla il denominatore. Mettendo insieme i risultati ottenuti si ha che la frazione considerata è positiva, (tutti e quattro i fattori positivi o due negativi e due positivi), quando x < 3 o 1 x o x > 5. 4) Abbiamo x + 1 x 5. x + 1 x + 1 5x x x 0 4x + 11 x Risolvere tale equazione equivale a risolvere i seguenti sistemi 4x x x < 0 x > 0 0. x 11 4 x < x 11 4 x > Dunque la disequazione considerata è risolta quando x < o x Risolvere le seguenti disequazioni di grado fratte e non: 1) x + 4x + 6 0; x 6x + 9 > 0; x 6x + 1 > 0. Applichiamo la formula risolutiva e determiniamo x 1 e x : x 1, = 4 ± = 4 ± 8 4 x 1 = 1 e x = 3. Dunque, essendo a = < 0, si ha che la prima disequazione è verificata per x [ 1, 3]. Per la seconda osserviamo che x 6x + 9 = (x 3), quindi la nostra disequazione è verificata per ogni x 3. Per la terza abbiamo a = 1 > 0 e = < 0, dunque l ultima disequazione è verificata per ogni x IR. 10

11 ) 1x + 4x + 1 < 0; 4x 3x + 1 < 0; 8x 4x Applichiamo la formula risolutiva, otteniamo cioè x 1, = 4 ± x 1 = 1 = 4 ± 64 4 e x = 1 6. = 4 ± 8 4, Poichè a = 1 < 0 e > 0 si ha che la disequazione considerata è verificata per x < 1 6 o x > 1. Per quanto riguarda la seconda si ha a = 4 > 0 e = 7 < 0 dunque la disequazione non è verificata per nessun x R. Per l ultima abbiamo a = 8 > 0 e = 0. Quindi la disequazione assegnata è verificata solo per x = x 1 = x = 3. 3) x x 3 + x 3 x 4 < 19 1x x 7x + 1 ; Troviamo il m.c.m. dei denominatori x 7x+1 = (x 3)(x 4) m.c.m(x 3, x 4, x 7x+1) = (x 3)(x 4). Si ha (x )(x 4) + (x 3) x (x 3)(x 4) < 0 x 4x x x 6x x (x 3)(x 4) x (x 3)(x 4) Studiamo i singoli fattori < 0 < 0 (x 1)(x + 1) (x 3)(x 4) < 0. x 1 > 0 x > 1; x + 1 > 0 x > 1; 11

12 x 4 > 0 x > 4; x 3 > 0 x > 3. mettendo insieme i risultati ottenuti si ha che la disequazione verificata per 1 < x < 1 e 3 < x < 4. 4) x x + 9 x x > 0. Riducendo allo stesso denominatore si ha x + 4 x x + 5 > 0. Poichè x + 4 > 0 per ogni x IR, dobbiamo studiare x x + 5 > 0. Abbiamo a = 1 > 0 e = 16 < 0; quindi la disequazione considerata è verificata per ogni x IR. 5) x 7 x 6x 1 x < x 1 x 3. Facendo opportuni calcoli otteniamo x 7 (x 3) x(x 1) x(x 3) < 0 x 7 x + 6 x + x x(x 3) < 0 x 1 x(x 3) < 0. Dunque essendo x 1 < 0 per ogni x IR la disequazione è soddisfatta quando x(x 3) > 0 cioè x < 0 o x > Equazioni e disequazioni di grado superiore al Risolvere le seguenti equazioni: 1) x 5 x = 0; x 4 16 = 0; 8x = 0; x 3 1 = 0; Scomponiamo il polinomio in fattori primi: x 5 x = x(x 4 1) = x(x 1)(x + 1) = x(x 1)(x + 1)(x + 1). 1

13 Dunque x 5 x = 0 x = 0 o x = 1 o x = 1. Per la seconda procediamo nello stesso modo, si ha x 4 16 = (x 4)(x + 4) = (x )(x + )(x + 4). L equazione è verificata per x =,. Per la terza usiamo la regola che riguarda la somma di cubi, cioè si ha a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ), 8x = (x + 3)(4x 6x + 9) = 0 x = 3. Per l ultima si ha x 3 1 = (x 1)(x + x + 1) = 0 x = 1. ) x 4 5x + 4 = 0; (x 3) + x (x ) 3 = 0. Le equazioni assegnate in questo esercizio sono biquadratiche. Poniamo y = x otteniamo quindi y 5y + 4 = 0 y 1, = 5 ± 5 16 y 1 = 1 e y = 4. = 5 ± 3, Perciò l equazione di partenza è verificata per x = ±1 o x = ±. Per la seconda si ha x x + x 4 x 3 = 0 x 4 8x + 6 = 0 (x 4 4x + 3) = 0 x 4 4x + 3 = 0. Procedendo come prima, ponendo x = y e risolvendo l equazione di secondo grado otteniamo y = 3 e y = 1. Dunque l equazione assegnata è verificata per x = ± 3 e x = ±1. 13

14 3) x 4 + x 3 + x 9x(x + ) = (x 18)(x + ) + x. x + x + Moltiplichiamo entrambi i membri per x +, e ponendo x, otteniamo x 4 + x 3 + x 9x 18x = x 3 + 4x 18x 36 + x x 4 13x + 36 = 0. Anche in questo caso poniamo y = x, abbiamo y 13y + 36 = 0 (y 9)(y 4) = 0 y = 4 o y = 9, che implica x = ±3 o x = ±, ma la soluzione x = non va accettata avendo posto x. 4) (x x+1) (x x+1) = 0; (x 1) 4 10(x 1) +9 = 0. Per quanto riguarda la prima equazione poniamo y = x x + 1, si ha y y = 0 (y )(y + 1) = 0 y = o y = 1. Dunque x x + 1 = 1 x x + = 0 che non è verificata da nessuna x IR; x x + 1 = x x 1 = 0 x 1, = ± = = ± = 1 ±. Nella seconda poniamo x 1 = y si ha y 4 10y + 9 = 0, questa è una biquadratica, dunque procedendo come nei casi precedenti si ottengono quattro soluzioni y = ±1, ±3. Dunque y = 3 x 1 = 3 x = x = ± ; 14

15 y = 3 x 1 = 3 x =, che non è mai verificata; y = 1 x 1 = 1 x = 1 x = ±1; e y = 1 x 1 = 1 x = 0 x = 0. Risolvere le seguenti disequazioni: 1) x 4 10x + 9 > 0; 5x 3 1x 1x + 5 0; x 4 6x + 5 < 0. Poniamo y = x, si ha y 10y + 9 > 0 (y 9)(y 1) > 0 (x 9)(x 1) > 0 (x 3)(x + 3)(x 1)(x + 1) > 0. Studiando i singoli fattori e mettendo insieme i risultati ottenuti si ha che la disequazione considerata è soddisfatta per x > 3, o 1 < x < 1 o x < 3. Per la seconda scomponiamo il polinomio con la regola di Ruffini otteniamo 5x 3 1x 1x + 5 = (x + 1)(5x 6x + 5). Applicando la formula risolutiva a 5x 6x + 5 = 0 troviamo x 1 = 5 e x = 1, dunque studiare la disequazione assegnata equivale a studiare 5 la seguente ( (x + 1)(x 5) x 1 ) 0 5 che è verificata per 1 x 1 o x 5. Nell ultima poniamo y = x 5 si ha y 6y + 5 < 0 (y 5)(y 1) < 0 (x 5)(x 1) < 0 (x 5)(x + 5)(x 1)(x + 1) < 0 che è verificata per 5 < x < 1 o 1 < x < 5. 15

16 ) 3) Poniamo y = x abbiamo x 4 8x 9 x + 5 > 0. y 8y 9 = (y 9)(y+1) (x 9)(x +1) = (x 3)(x+3)(x +1). Dunque la disequazione diventa (x 3)(x + 3)(x + 1) (x + 5) > 0. Studiando i singoli fattori e mettendo insieme i risultati ottenuti otteniamo i seguenti risultati 5 < x < 3 o x > 3. x 3 3x 3x + < 0. x Applicando la regola di Ruffini si ha x 3 3x 3x + = (x + 1)(x 5x + ) = (x + 1)(x ) ( x 1 ). Anche in questo caso studiando i singoli fattori della frazione e vedendo quando uno è positivo e l altro è negativo o viceversa, si ottiene che la disequazione è verificata quando 1 < x < 0 o 1 < x <. 4) x 4 5x 3 + 5x x 3 3x 3x + 0. Scomponiamo numeratore e denominatore applicando la regola di Ruffini si ha x 4 5x 3 +5x = (x 1)(x 3 3x 3x+) = (x 1)(x+1)(x 5x+) = = (x 1)(x + 1) (x 5 ) ( x + 1 = (x 1)(x + 1)(x ) x 1 ) e ( x 3 3x 3x + = (x + 1)(x ) x 1 ). Dunque facendo le opportune semplificazioni e ponendo x 1,, 1 otteniamo x 0 x 1 ma x 1,. 16

17 1.4 Sistemi di equazioni e disequazioni Risolvere i seguenti sistemi di equazioni: 1) (x 3y) 4x(x + 1) = 3y(3y 4x + 1) 7 3x y = 1 Facendo opportuni calcoli si ha 4x 3y = 7 3x y = 1 Applichiamo il metodo della sostituzione abbiamo 4x 3y = 7 x = y ( y + 3 3) 1 3y = 7 x = y y 4 3y = x = y y 4 = 1 x = y y = 17 x = y

18 y = 1 x = + 1 = ) 1 x + 4 = 1 1 y 5x 1 + 3y = 1 Ponendo x 4 e y 1, 1 e facendo le opportune semplificazione 3 otteniamo 1 y (x + 4)(1 y) = x + 4 (x + 4)(1 y) 5x 1 + 3y = 1 + 3y 1 + 3y 1 y = x + 4 5x = 1 + 3y Applichiamo il metodo del confronto abbiamo x = 3 y x = 3y y = 3y x = 3 y 15 5y = 3y + 1 x = 3 y 18

19 8y = 16 x = 3 y y = x = 3 + = 1 3) x 1 y = 1 y + = x. Poniamo y 0 e applichiamo il metodo della sostituzione abbiamo x 1 = y x = y + 1 y + = x y + = 4y + x = y + 1 3y = 0 y = 0 x = 1 Tale soluzione non può essere accettata poichè abbiamo posto y 0, dunque tale sistema non ammette soluzioni. 4) x + y = 4 x + y 3x + y 8 = 0. Ricaviamo dalla prima equazione la y e sostituiamo nella seconda in modo da avere un equazione di secondo grado in x. Si ha y = 4 x y = 4 x x + (4 x) 3x + 4 x 8 = 0 x + (16 + 4x 16x) 5x 4 = 0 19

20 y = 4 x y = 4 x x x 3x 5x 4 = 0 9x 37x + 8 = 0 Abbiamo le seguenti coppie di soluzioni x 1 = 1 x = 8 9 y 1 = 4 = y = = ) x x + y + y x y = 4x x y x + 3y = 6. Applicando il metodo della sostituzione e ponendo y ±x si ha x(x y)+y(x+y) 4x = (x+y)(x y) (x+y)(x y) x xy + xy + y = 4x x = 6 3y x = 6 3y (6 3y) + y = 4(6 3y) x = 6 3y 4y 8 3y + 1 = 0 x = 6 3y (y 3) = 0 x = 6 3y y = y 1 3y + y = 4 4 3y x = 6 3y y 3y + 3 = 0 x = 6 3y x = = 6 3 = 3. 0

21 Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni: 1) x + 5 > x 7 Abbiamo x + 1 < 3 x > 1 x < Entrambe le disequazioni sono verificate quando 1 < x <, dunque per questi valori della x il sistema ha soluzioni. ) x 1 x + 8 > 0 x + 7 > x 3 Risolvendo le due disequazioni separatamente otteniamo x < 8 o x > 1 x > 10 Dunque il sistema è verificato quando 10 < x < 8 o x > 1. 3) 14 x + < 0 (x + 10)(8 x) > 0 14 x 0 18 Studiamo le singole singole disequazioni 14 x + < 0 x + < 0 x <. 1

22 (x + 10)(8 x) > 0 x > 10 x < 8 x + 10 > 0 8 x > 0 x < 10 x > 8. x + 10 < 0 8 x < < x < 8. Per la terza si ha 14 x 0 x Le tre disequazioni considerate sono verificate contemporaneamente quando 10 < x <, queste sono le soluzioni del sistema. 4) x x 3 > 0 x + Abbiamo (x 3)(x + 1) > 0 (x+1) < 1 < 1. x > 3 o x < 1 x < 0. Quindi il sistema ha soluzioni quando x < 1. 5) 1 x > 1 x 3 x + 3x 1 < 0 x 6x + 5 > 0. x Studiamo le singole disequazioni: 1 x > 1 x 3 x 3 x x(x 3) > 0

23 3 > 0 x(x 3) < 0 0 < x < 3. x(x 3) Per la seconda applichiamo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, otteniamo x 1, = 3 ± = 3 ± 1 4 x 1 = 1 e x = 1. Ora poichè a = < 0 e > 0, le soluzioni della disequazione considerata sono x < 1 o x > 1. La terza è verificata per 0 < x < 1 e x > 5. Dunque il sistema è verificato quando x (0, 1). 1.5 Equazioni e disequazioni irrazionali Ricordiamo che risolvere l equazione irrazionale A(x) = B(x) equivale a risolvere il seguente sistema A(x) = B (x) A(x) 0 B(x) 0 A(x) = B (x) B(x) 0 Risolvere le seguenti equazioni: 1) x x = x + 1. Risolviamo il seguente sistema: x x = (x + 1) x x = 1 x 1 x x = x + x + 1 x x = 1 3 x 1 Dunque l equazione considerata ha la soluzione x =

24 ) x 5 + x 8 x = 0. Abbiamo x 5 + x 8 = x, eleviamo entrambi i membri al quadrato otteniamo x 5+x 8+ (x 5)(x 8) = x (x 5)(x 8) = x+13. Elevando nuovamente al quadrato entrambi i membri si ha 4(x 5)(x 8) = x x 4x 3x 0x+160 = x x 3x 6x 9 = 0 x 1 = 1 3 e x = 9. La prima soluzione non può essere accettata poichè tutte e tre le radici contemporaneamente sono ben definite quando x 8. Dunque abbiamo un unica soluzione x = 9. 3) x = 0. Abbiamo x 1 = 5, dunque non esiste x IR che verifica equazione considerata. 4) x x = 7. Per quest ultima risolviamo il seguente sistema: x + 1 = (7 x) x + 1 = 49 + x 14x 7 x 0 x 7 x 16x 48 = 0 x 7 x 1 = 1 e x = 4 x 7. Quindi l equazione considerata ha un unica soluzione x = 4. 4

25 Ricordiamo che risolvere la seguente disequazione irrazionale A(x) B(x) equivale a risolvere il seguente sistema A(x) B (x) B(x) 0 A(x) 0 B(x) < 0 mentre A(x) B(x) equivale a A(x) B (x) A(x) 0 B(x) 0 Risolvere le seguenti disequazioni: 1) 5 x x 1. Dobbiamo risolvere il seguente sistema 5 x (x 1) 5 x x + 1 x 5 x 0 5 x +5 x 1 0 x 1 x x 4 0 x 4 o x 3 5 x +5 5 x +5 x 1 x 1. Dunque la disequazione è verificata per 4 x 5. ) x 3x + x. Le soluzioni della disequazione si trovano risolvendo i seguenti sistemi: x 3x + x x 3x + 0 x 0 x < 0 5

26 x 3 x 0 x o x 1 x < 0 Quindi la disequazione è verificata per x 3. 3) x x + 8 x + 6. Risolviamo il sistema: x x + 8 (x + 6) x x + 8 x x x x x IR x x 6 14x 8 x x IR x IR x 6 x 6. Dunque la disequazione è verificata per x. 4) 9 x x + 1 > x 3. Tale disequazione è equivalente ai sistemi 9 x x+1 > (x 3) x x x+1 0 x 3 < 0 9 x x+1 (x + 9 6x) > 0 x 3 x 3 +5x 4x x+1 > 0 x 3 1 < x < 0 o 1 < x < 4 x 3 1 < x 9 x < 3 1 < x 9 x < 3 1 < x 9 x < 3 Dunque la disequazione è verificata per x [3, 4) ( 1, 3) = ( 1, 4). 6

27 1.6 Equazioni e disequazioni in modulo Risolvere le seguenti equazioni: 1) x + 8 = ; 3 x = 5. Per la prima dobbiamo risolvere le seguenti equazioni e x + 8 = x = 6, (x + 8) = x = 10; Abbiamo due soluzioni x = 6 e x = 10. Per la seconda si hanno le seguenti soluzioni: e 3 x = 5 x = 3 + x = 5 x = 8. ) x x + 1 Si ha x x + 1 = 4 x 4x 4 = 0 x + 1 5x = x = 5 e + x + x 4x 4 = 4 = 0 x + 1 x + 1 3x = 6 x =. 3) x 5x = 6. Risolviamo le due equazioni di secondo grado Per la prima si ha x 5x 6 = 0 e x + 5x 6 = 0. x 1, = 5 ± = 5 ± 49 = 5 ± 7 e cioè x 1 = 6 e x = 1. Per la seconda abbiamo e cioè x 1 = 3 e x =. x 1, = 5 ± = 5 ± 1

28 4) x 3x = x; x + 5x = 6x. Per la prima poniamo x 0 e risolviamo le seguenti equazioni x 3x = x x(x 4) = 0 x = 0 o x = 4 e x + 3x = x x(x ) = 0 x = 0 o x =. Abbiamo dunque tre soluzioni x = 0,, 4. Risolvere le seguenti disequazioni: 1) x + 3x 8 > ; 5 x + x < 4. Poichè x > 0 per ogni x IR \ 0} e x = 0 x = 0 si ha che la prima disequazione è verificata per ogni x IR mentre la seconda non ha soluzioni. ) x + 4 x > 5. Dobbiamo ri solvere due disequazioni Per la prima si ha x + 4 x > 5 e x + 4 x < 5. Per la seconda x + 4 5x x x x x > 0 0 < x < 1 o x > 4. < 0 x < 4 o 1 < x < 0. 3) x 5x 6 > 0. 8 x Studiamo numeratore e denominatore separatamente abbiamo x 5x > 6 8

29 che equivale a risolvere le due disequazioni e x 5x 6 > 0 (x 6)(x + 1) > 0 x > 6 o x < 1 x 5x + 6 < 0 (x 3)(x ) < 0 < x < 3. Per il denominatore si ha 8 x > 0 x < 8. Mettendo insieme i risultati ottenuti si ha che la disequazione assegnata è verificata per x < 1 o < x < 3 o 6 < x < 8. 4) x > x ; x + 1 < x + 1. Poichè x 0 per ogni x IR risolviamo le seguenti disequazioni x + x > 0 x IR e x + x < 0 < x < 1. 9

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere

Dettagli

Definizione: Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.

Definizione: Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni. Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso Zero di Matematica Gruppi: MC-MF3 / PS-MF3 II Lezione EQUAZIONI E SISTEMI Dr. E. Modica erasmo@galois.it www.galois.it IDENTITÀ ED EQUAZIONI Si consideri un uguaglianza

Dettagli

Equazioni. Istituto San Gabriele 3 Liceo Scientifico 3 Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate A.S. 2016/2017 Prof.

Equazioni. Istituto San Gabriele 3 Liceo Scientifico 3 Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate A.S. 2016/2017 Prof. Equazioni Istituto San Gabriele 3 Liceo Scientifico 3 Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate A.S. 2016/2017 Prof. Andrea Pugliese Definizione ed esempi Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni

Dettagli

MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO

MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO Equazioni fratte, di secondo grado o superiore Le equazioni di secondo grado Un equazione è di secondo grado se si può scrivere nella

Dettagli

Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 4 Novembre Trinomi di secondo grado

Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 4 Novembre Trinomi di secondo grado Esercitazioni di Matematica Generale AA 016/017 Pietro Pastore Lezione del 4 Novembre 016 Trinomi di secondo grado Possiamo usare le soluzioni dell equazione di secondo grado per scomporre il trinomio

Dettagli

1 Funzioni algebriche fratte

1 Funzioni algebriche fratte 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione) La funzione è del tipo y = f(x) g(x) con f(x) e g(x) polinomi reali in x. Per determinare il dominio D della funzione

Dettagli

Identità ed equazioni

Identità ed equazioni Matematica e-learning - Identità ed equazioni Prof. erasmo@galois.it A.A. 2009/2010 1 Generalità sulle equazioni Si consideri un uguaglianza tra due espressioni algebriche A = B Se si sostituiscono al

Dettagli

Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 7 Novembre Disequazioni irrazionali

Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 7 Novembre Disequazioni irrazionali Esercitazioni di Matematica Generale AA 016/017 Pietro Pastore Lezione del 7 Novembre 016 Disequazioni irrazionali Risolvere le seguenti disequazioni 1 3x + 1 < x + 7 La disequazione é equivalente al seguente

Dettagli

Esercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi

Esercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizi 06/7 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizio. Risolvere la seguente equazione: Soluzione. ) x+ ) x 7 x = 0 7 L equazione è definita per ogni x 0, valore in cui

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA UNIVERITÀ DEGLI TUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI CIENZE POLITICHE CORO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED AICURATIVA I Parziale - Compito A 5/4/5 A. A. 4 5 ) Risolvere la seguente disequazione razionale

Dettagli

3 Equazioni e disequazioni.

3 Equazioni e disequazioni. 3 Equazioni e disequazioni. 3. Equazioni. Una equazione algebrica è un uguaglianza tra espressioni letterali soddisfatta per alcuni valori attribuiti alle lettere che vi compaiono. Tali valori sono detti

Dettagli

Disequazioni fratte. Una disequazione in cui l'incognita compare a denominatore si chiama fratta o frazionaria.

Disequazioni fratte. Una disequazione in cui l'incognita compare a denominatore si chiama fratta o frazionaria. 1 Disequazioni fratte Una disequazione in cui l'incognita compare a denominatore si chiama fratta o frazionaria. Prima di affrontare le disequazioni fratte, ricordiamo il procedimento che utilizziamo per

Dettagli

Analisi Matematica 1 - Canale Sd-Z Foglio di esercizi n. 1-4 Ottobre 2018 SOLUZIONI

Analisi Matematica 1 - Canale Sd-Z Foglio di esercizi n. 1-4 Ottobre 2018 SOLUZIONI Analisi Matematica 1 - Canale Sd-Z Foglio di esercizi n. 1-4 Ottobre 018 SOLUZIONI Esercizio 1.a 1 x + 1 x 1 + 1 x+ < 0 sommiamo le frazioni e otteniamo 3x +x x(x 1)(x+) < 0. Studiamo il segno di numeratore

Dettagli

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Calcolo letterale 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (b) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (XX) (c) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 49a bc

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni

Dettagli

francesca fattori speranza - versione febbraio 2018 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E SUPERIORE INTERE E FRATTE a) Intere

francesca fattori speranza - versione febbraio 2018 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E SUPERIORE INTERE E FRATTE a) Intere francesca fattori speranza - versione febbraio 018 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E SUPERIORE INTERE E FRATTE a) Intere a x + bx + c = 0, a, b, c sono numeri reali a 0 a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x +

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA UNIVERITÀ DEGLI TUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI CIENZE POLITICHE CORO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED AICURATIVA I Parziale - Compito C 5//5 A. A. 5 ) Risolvere la seguente disequazione razionale

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI DI RIEPILOGO SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI ALCUNI CONCETTI DI BASE SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

ESERCIZI SVOLTI DI RIEPILOGO SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI ALCUNI CONCETTI DI BASE SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI ESERCIZI SVOLTI DI RIEPILOGO SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI ALCUNI CONCETTI DI BASE SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI EQUAZIONI IRRAZIONALI Una equazione si definisce irrazionale quando

Dettagli

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I Risolvere le seguenti disequazioni: 1 1) { x < x + 1 4x + 4 x ) { x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) x 1 x + 1 x + 1 0 ) x > x 0 7) x > 4x + 1; 8) 4 5 x 1 < 1 x

Dettagli

Soluzioni delle Esercitazioni II 24 28/09/2018 = 1 2 = 1±3 4. t = 1± 1 4

Soluzioni delle Esercitazioni II 24 28/09/2018 = 1 2 = 1±3 4. t = 1± 1 4 oluzioni delle Esercitazioni II 4 8/09/08 A Equazioni intere i ha: + = 3 4 Portando a sinistra le e a destra le costanti diventa 6 =, = 3 + = 0 Raccogliendo si può riscrivere come ( + ) = 0, che ha per

Dettagli

La domanda che ci si deve porre innanzitutto per iniziare a risolvere questa disequazione è la seguente:

La domanda che ci si deve porre innanzitutto per iniziare a risolvere questa disequazione è la seguente: Disequazioni: caso generale Consideriamo ora la risoluzione di disequazioni che presentino al suo interno valori assoluti e radici. Cercheremo di stabilire con degli esempio delle linee guida per la risoluzione

Dettagli

Equazioni di grado superiore al secondo

Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni di grado superiore al secondo 5 51 L equazione di terzo grado, un po di storia Trovare un numero il cui cubo, insieme con due suoi quadrati e dieci volte il numero stesso, dia come somma 0 Il

Dettagli

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA UNIVERITÀ DEGLI TUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI CIENZE POLITICHE CORO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED AICURATIVA I Parziale - Compito B 5/4/5 A. A. 4 5 ) Risolvere la seguente disequazione razionale

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: Dicesi

Dettagli

Equazioni frazionarie e letterali

Equazioni frazionarie e letterali Equazioni frazionarie e letterali 17 17.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado Nel capitolo 15 abbiamo affrontato le equazioni di primo grado. Adesso consideriamo le equazioni

Dettagli

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado.1 Risoluzione delle disequazioni di secondo grado Una disequazione di secondo grado si presenta in una delle seguenti forme: a + b + c > 0; a + b + c 0; a + b + c < 0; a +

Dettagli

Docente: Vincenzo Pappalardo Materia: Matematica. Algebra. Disequazioni valore assoluto

Docente: Vincenzo Pappalardo Materia: Matematica. Algebra. Disequazioni valore assoluto Docente: Vincenzo Pappalardo Materia: Matematica Algebra Disequazioni valore assoluto DEFINIZIONI Il valore assoluto di un numero è uguale al numero stesso se il numero è positivo o nullo, è l opposto

Dettagli

2 + 4 x 4 ) Soluzione Occorre calcolare l integrale della somma di più funzioni. Applichiamo il teorema di linearità, in base al quale si ha: dx =

2 + 4 x 4 ) Soluzione Occorre calcolare l integrale della somma di più funzioni. Applichiamo il teorema di linearità, in base al quale si ha: dx = CAPITOLO 1 Integrali 1.1 Integrali indefiniti 1.1.1. Esercizi svolti 1 Calcolare: ( 3 3 + 5 3 3 + 4 4 ) d Occorre calcolare l integrale della somma di più funzioni. Applichiamo il teorema di linearità,

Dettagli

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti E data la funzione f( = (a Provare che la funzione F ( = + arcsin è una primitiva di f( sull intervallo (, (b Provare che la funzione G( = + arcsin π è

Dettagli

1 Disquazioni di primo grado

1 Disquazioni di primo grado 1 Disquazioni di primo grado 1 1 Disquazioni di primo grado Si assumono assodate le regole per la risoluzione delle equazioni lineari Ricordando che una disuguaglianza è una scrittura tra due espressioni

Dettagli

Frazioni algebriche. Osserviamo che un espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.

Frazioni algebriche. Osserviamo che un espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi. Frazioni algebriche 14 14.1 Definizione di frazione algebrica Diamo la seguente definizione: Definizione 14.1. Si definisce frazione algebrica un espressione del tipo A B polinomi. dove A e B sono Osserviamo

Dettagli

LE EQUAZIONI LINEARI LE IDENTITA ( )( ) 5. a Cosa hanno in comune le seguenti uguaglianze? Uguaglianza (1) a

LE EQUAZIONI LINEARI LE IDENTITA ( )( ) 5. a Cosa hanno in comune le seguenti uguaglianze? Uguaglianza (1) a LE EQUAZIONI LINEARI 1 LE IDENTITA a b = ( a + b)( a b) () 1 a = a + a ( ) ( a + b) = a + ab + b () 3 Cosa hanno in comune le seguenti uguaglianze? Uguaglianza (1) a b = ( a+ b)( a b) È sempre vera qualunque

Dettagli

3 5 x 25 5 x = 1 5 x (3 25) = x = 1. 5 x = x 8x 8 = 0 2 x (23 ) x. = x (2x ) 3. = x (2 x ) 3 = 0.

3 5 x 25 5 x = 1 5 x (3 25) = x = 1. 5 x = x 8x 8 = 0 2 x (23 ) x. = x (2x ) 3. = x (2 x ) 3 = 0. Anno Scolastico 014/15 - Classe 3B Soluzioni della verifica di matematica del 9 Maggio 015 Risolvere le seguenti equazioni esponenziali o logaritmiche. Dove è necessario, scrivere le condizioni di esistenza

Dettagli

Radicali. 2.1 Radici. Il simbolo

Radicali. 2.1 Radici. Il simbolo Radicali. Radici.. Radici quadrate Ricordiamo che il quadrato di un numero reale a è il numero che si ottiene moltiplicando a per se stesso. Il quadrato di un numero è sempre un numero non negativo; numeri

Dettagli

Le disequazioni di primo grado. Prof. Walter Pugliese

Le disequazioni di primo grado. Prof. Walter Pugliese Le disequazioni di primo grado Prof. Walter Pugliese Concetto di disequazione Consideriamo la seguente disuguaglianza: 2x 3 < 5 + x Procedendo per tentativi, attribuiamo alla lettera x alcuni valori e

Dettagli

CALCOLO DEGLI INTEGRALI

CALCOLO DEGLI INTEGRALI CALCOLO DEGLI INTEGRALI ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA INTEGRALI INDEFINITI. Integrazione diretta.. Principali regole di integrazione. () Se F () f (), allora f () F () dove C è una costante

Dettagli

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati

Dettagli

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Esercizio - -8 - - - - - - Esercizio L equazione non ha soluzioni e quindi la parabola non interseca l asse delle ascisse - - - - - Pertanto la parabola, avendo la concavità

Dettagli

Il concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre ( ) ed il nome è dovuto a L. Euler ( ).

Il concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre ( ) ed il nome è dovuto a L. Euler ( ). Il concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre (1667-1754) ed il nome è dovuto a L. Euler (1707-1783). Girard nel 1629 enunciò, e Gauss poi dimostrò rigorosamente nel 1799, che un equazione

Dettagli

1 Identità ed equazioni

1 Identità ed equazioni 1 Identità ed equazioni Consideriamo l uguaglianza espressa dalla seguente frase: Trova un numero tale che il suo doppio sommato con se stesso sia uguale al suo triplo. x > 2x + x = 3x La relazione: 2x

Dettagli

ESERCITAZIONE 11 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

ESERCITAZIONE 11 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESERCITAZIONE 11 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: Martedi 16-18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 18 Dicembre 2012 Esercizio

Dettagli

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1 Disequazioni - ulteriori esercizi proposti Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:. 5 4 >. 4. < 4. 4 9 5. 9 > 6. > 7. < 8. 5 4 9. > > 4. < 4. < > 9 4 Non esitate a comunicarmi

Dettagli

1 Fattorizzazione di polinomi

1 Fattorizzazione di polinomi 1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente

Dettagli

ESERCIZI IN PIÙ I NUMERI COMPLESSI

ESERCIZI IN PIÙ I NUMERI COMPLESSI ESERCIZI IN PIÙ I NUMERI COMPLESSI L equazione x x 0 non ha soluzioni nell insieme dei numeri reali; infatti, applicando la formula ridotta, si ottiene x, 3. Interpretando come numero immaginario, cioè

Dettagli

Equazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler

Equazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Equazioni e disequazioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler A(x)=0 x si chiama incognita dell equazione. Se oltre all incognita non compaiono altre lettere l equazione si dice numerica, altrimenti letterale.

Dettagli

3. (Da Medicina 2003) Moltiplicando i due membri di un'equazione per il numero -1, le soluzioni dell'equazione che si ottiene:

3. (Da Medicina 2003) Moltiplicando i due membri di un'equazione per il numero -1, le soluzioni dell'equazione che si ottiene: 1 EQUAZIONI 1. (Da Veterinaria 2006) L equazione di secondo grado che ammette per soluzioni x1 = 3 e x2 = -1/ 2 è: a) 2x 2 + (2 3-2)x - 6 = 0 b) 2x 2 - (2 3-2)x - 6 = 0 c) 2x 2 - (2 3-2)x + 6 = 0 d) 2x

Dettagli

Anno 3. Equazioni esponenziali e logaritmiche

Anno 3. Equazioni esponenziali e logaritmiche Anno 3 Equazioni esponenziali e logaritmiche 1 Introduzione Lo scopo delle pagine che seguono è quello di passare in rassegna le strategie risolutive per le equazioni esponenziali e logaritmiche. Al termine

Dettagli

Il concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre ( ) ed il nome è dovuto a L. Euler ( ).

Il concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre ( ) ed il nome è dovuto a L. Euler ( ). Il concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre (1667-1754) ed il nome è dovuto a L. Euler (1707-1783). Girard nel 1629 enunciò, e Gauss poi dimostrò rigorosamente nel 1799, che un equazione

Dettagli

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale. Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo costituiscono l' insieme

Dettagli

Disequazioni di II grado

Disequazioni di II grado Disequazioni di II grado Scomposizione di un trinomio di 2 grado La scomposizione del trinomio di 2 grado ax 2 + bx + c dipende dal discriminante. Se questo è positivo esistono radici reali e distinte

Dettagli

Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n

Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n 4. La divisione (x 3 3x 2 + 5x 2) : (x 2) ha Q(x) = x 2 x + 3 e R = 4 Dalla divisione tra i polinomi risulta (x

Dettagli

Definizione 1.6 (di grado di una equazione) Si dice grado di una equazione intera ridotta in forma normale il massimo esponente dell incognita.

Definizione 1.6 (di grado di una equazione) Si dice grado di una equazione intera ridotta in forma normale il massimo esponente dell incognita. 1 Le equazioni Consideriamo espressioni algebriche contenenti una sola incognita, che indicheremo con x, le quali verranno indicate con i simboli f(x), g(x), h(x),.... Il valore assunto dall espressione

Dettagli

Esercizi sulle Disequazioni

Esercizi sulle Disequazioni Esercizi sulle Disequazioni Esercizio Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni:.).).).) ).) ) ).).7) 8.8).) Esercizio Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni tratte dal secondo parziale

Dettagli

Unità Didattica N 12 Le equazioni ad una incognita 1. Unità Didattica N 12 Le equazioni ad una incognita

Unità Didattica N 12 Le equazioni ad una incognita 1. Unità Didattica N 12 Le equazioni ad una incognita Unità Didattica N Le equazioni ad una incognita Unità Didattica N Le equazioni ad una incognita ) Equazioni risolubili mediante la decomposizione in fattori ) Equazione biquadratica ) Equazioni irrazionali

Dettagli

I sistemi di equazioni di primo grado

I sistemi di equazioni di primo grado I sistemi di equazioni di primo grado RIPASSIAMO INSIEME SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un sistema di equazioni di primo grado in due (o più) incognite è l insieme di due (o più) equazioni di primo

Dettagli

Esercitazioni di Matematica Generale

Esercitazioni di Matematica Generale Esercitazioni di Matematica Generale Corso di laurea in Economia e Management Esercizi Preliminari 1 Settembre 017 Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni intere: (i) + 4 + 1 = ; (ii)

Dettagli

5. EQUAZIONI e DISEQUAZIONI

5. EQUAZIONI e DISEQUAZIONI 5. EQUAZIONI e DISEQUAZIONI 1. Per ognuna delle affermazioni seguenti, indicare se e vera o falsa, motivando la risposta (a) L equazione di primo grado (1 2)x = 2 ha soluzione x = 2(1+ 2). V F (b) La disequazione

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica Precorso di Matematica Lezione 4 Andrea Susa PROPRIETÀ GENERALI DISEQUAZIONI 1 Proprietà disuguaglianze Siano,,, allora valgono le seguenti proprietà se

Dettagli

FORMULARIO: tavola degli integrali indefiniti Definizione. Proprietà dell integrale indefinito

FORMULARIO: tavola degli integrali indefiniti Definizione. Proprietà dell integrale indefinito FORMULARIO: tavola degli integrali indefiniti Definizione Proprietà dell integrale indefinito Integrali indefiniti fondamentali Integrali notevoli Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati:

Dettagli

Espressioni algebriche: espressioni razionali

Espressioni algebriche: espressioni razionali Espressioni algebriche: espressioni razionali definizione: Il rapporto fra due polinomi si dice espressione razionale. Le espressioni razionali in una sola variabile si scrivono nella forma generale esempio:

Dettagli

( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) =

( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) = 1 Scomposizione in fattori di un polinomio Scomporre in fattori un polinomio significa trasformare il polinomio, che è una somma algebrica di monomi, nel prodotto di fattori con il grado più basso possibile.

Dettagli

Esercizi svolti sugli integrali

Esercizi svolti sugli integrali Esercizio. Calcolare il seguente integrale indefinito x dx. Soluzione. Poniamo da cui x = t derivando rispetto a t abbiamo t = x x = t dx dt = quindi ( t x dx = ) poiché t = t, abbiamo t dt = = in definitiva:

Dettagli

Richiami di Matematica - Esercizi 21/98

Richiami di Matematica - Esercizi 21/98 Richiami di Matematica - Esercizi 1/98 ESERCIZI. Principi di equivalenza: 1) A(x) > B(x) A(x) + C(x) > B(x) + C(x) ) Se k > 0 allora A(x) > B(x) ka(x) > kb(x) 3) Se k < 0 allora A(x) > B(x) ka(x) < kb(x)

Dettagli

Matematica per esami d idoneità o integrativi della classe 2 ITI

Matematica per esami d idoneità o integrativi della classe 2 ITI UNI EN ISO 9001:008 I.I.S. PRIMO LEVI Torino ISTITUTO TECNICO - LICEO SCIENTIFICO - LICEO SCIENTIFICO Scienze Applicate LICEO SCIENTIFICO SPORTIVO Contenuti di Matematica per esami d idoneità o integrativi

Dettagli

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado Una disequazione di secondo grado è una disequazione del tipo (oppure a b c o a b c ) a b c oppure a b c I) Cominciamo considerando disequazioni in cui a Esempio Consideriamo

Dettagli

LOGARITMI ED ESPONENZIALI

LOGARITMI ED ESPONENZIALI 1 LOGARITMI ED ESPONENZIALI 1. (Da Veterinaria 2013) Riscrivendo 9 3x+2 nel formato 3 y, quale sarà il valore di y? a) 3x b) 3x + 4 c) 6x + 2 d) 6x + 4 e) 9x + 6 2. (Da Odontoiatria 2009) Qual è la soluzione

Dettagli

CONTENUTI. Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti. I grado II grado

CONTENUTI. Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti. I grado II grado CONTENUTI Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti EQUAZIONI I grado II grado intere fratte intere fratte EQUAZIONI ALGEBRICHE generalità Dicesi

Dettagli

Esercitazione del Analisi I

Esercitazione del Analisi I Esercitazione del 0-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 0-0 Integrale di funzioni razionali Supponiamo di voler calcolare un integrale del tipo P () Q() d

Dettagli

Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione. risolvere con il metodo di Cramer

Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione. risolvere con il metodo di Cramer Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione 1. 5 x y x 3y 1 risolvere con il metodo di Cramer. x 1 3 y y x 3 risolvere con il metodo di riduzione

Dettagli

Intersezione tra retta e parabola e tangenti

Intersezione tra retta e parabola e tangenti L equazione di una parabola è in generale: y = ax 2 + bx +c mentre quella di una retta y = mx + q Per trovare i punti di intersezione tra una retta e una parabola si parte dalla considerazione che i punti

Dettagli

MATEMATICA - LEZIONE 1 ALGEBRA. Relatore prof. re CATELLO INGENITO

MATEMATICA - LEZIONE 1 ALGEBRA. Relatore prof. re CATELLO INGENITO MATEMATICA - LEZIONE ALGEBRA Relatore prof. re CATELLO INGENITO Torna al SOMMARIO Torna al SOMMARIO Sommario della lezione Insiemi numerici e potenze Espressioni algebriche Scomposizione e frazioni algebriche

Dettagli

4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre

4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre www.matematicamente.it Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 1 Verifica di matematica, classe II liceo scientifico Sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione 1.

Dettagli

Il coefficiente angolare è 3/2 mentre Q ha coordinate (0;0). La retta passa per l origine.

Il coefficiente angolare è 3/2 mentre Q ha coordinate (0;0). La retta passa per l origine. SOLUZIONI ESERCIZI GEOMETRIA ANALITICA ) y Il coefficiente angolare è mentre Q ha coordinate (0;) ) y E necessario passare alla forma esplicita della retta y Il coefficiente angolare è mentre Q ha coordinate

Dettagli

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale 1. Risolvere, nel campo reale, le seguenti equazioni di secondo grado: (a) 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c)

Dettagli

Docente: Vincenzo Pappalardo Materia: Matematica. Algebra. Equazioni e Disequazioni irrazionali

Docente: Vincenzo Pappalardo Materia: Matematica. Algebra. Equazioni e Disequazioni irrazionali Docente: Vincenzo Pappalardo Materia: Matematica Algebra Equazioni e Disequazioni irrazionali EQUAZIONI IRRAZIONALI Consideriamo la seguente equazione irrazionale: n A(x) = B(x) n 2 int ero Se n è dispari,

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE * Tratti dagli appunti delle lezioni del corso di Matematica Generale Dipartimento di Economia - Università degli Studi di Foggia Prof. Luca Grilli Dott. Michele Bisceglia

Dettagli

NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti. d) (1 i) 3. b) (1 + i)(1 i)(1 + 3 i) c) 1 i 1

NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti. d) (1 i) 3. b) (1 + i)(1 i)(1 + 3 i) c) 1 i 1 Calcolare le seguenti potenze di i: NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti a) i b) i 7 c) i d) i e) i f) i 9 Semplificare le seguenti espressioni: a) i) i i) b) + i) i) + ) 0 i c) i) i) i) d) i) Verificare che

Dettagli

3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO www.matematicamente.it Matematica C3 Algebra 3. Equazioni di grado superiore al secondo MATEMATICA C 3 -ALGEBRA 3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Alvaro Tapia, Skateboard http://www.flickr.com/photos/foto_saiker/308790/

Dettagli

Liceo Scientifico Statale S. Cannizzaro Palermo Classe III D EQUAZIONI POLINOMIALI Divisione di polinomi, teorema del resto e teorema di Ruffini

Liceo Scientifico Statale S. Cannizzaro Palermo Classe III D EQUAZIONI POLINOMIALI Divisione di polinomi, teorema del resto e teorema di Ruffini Divisione di polinomi, teorema del resto e teorema di Ruffini Teorema (della divisione con resto tra due polinomi in una variabile). Dati due polinomi A x e B x, con B x 0, esistono sempre, e sono unici,

Dettagli

RISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE

RISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE Prof. Di Caprio 1 RISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE Introduzione In questa lezione impareremo a risolvere equazioni di primo grado intere. Esse sono molto utili principalmente per risolvere alcune

Dettagli

1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari

1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari Secondo modulo: Algebra Obiettivi 1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari 2. risolvere equazioni intere e frazionarie di primo grado, secondo grado, grado superiore

Dettagli

Appunti di Matematica 3 - Ripasso - Ripasso di algebra. Equazioni. Equazioni di primo grado

Appunti di Matematica 3 - Ripasso - Ripasso di algebra. Equazioni. Equazioni di primo grado Ripasso di algebra Equazioni Equazioni di primo grado Un equazione di primo grado può essere sempre ridotta alla forma Se a la soluzione è Se a allora ci sono due casi: a b b e l equazione si dice determinata.

Dettagli

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con

Dettagli

Esercizi di Matematica per le Scienze Funzioni: integrali indefiniti

Esercizi di Matematica per le Scienze Funzioni: integrali indefiniti Esercizi di Matematica per le Scienze Funzioni: integrali indefiniti A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Una funzione g() derivabile su un intervallo (a, b) si dice primitiva della funzione f() se f() =

Dettagli

3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO MATEMATICA C 3 -ALGEBRA 3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Alvaro Tapia, Skateboard http://www.flickr.com/photos/foto_saiker/30879011/ 1. Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori....

Dettagli

Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A.

Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A. Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A. Scomposizione dei polinomi in fattori primi ( 2.4 del testo) Equazioni di primo grado ( 3.1 del testo) Equazioni

Dettagli

Sistemi di equazioni

Sistemi di equazioni Sistemi di equazioni 19 191 Equazione lineare in due incognite Definizione 191 Una equazione di primo grado (in n incognite) si chiama equazione lineare Problema 191 Determinare due numeri naturali la

Dettagli

3 Dispense di Matematica per il primo anno dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore Frazioni Algebriche

3 Dispense di Matematica per il primo anno dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore Frazioni Algebriche 3 Dispense di Matematica per il primo anno dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore Frazioni Algebriche 100 Per l esercitazioni on-line visita le pagine : www.chihapauradellamatematica.org

Dettagli

DISEQUAZIONI DI II GRADO

DISEQUAZIONI DI II GRADO DIEQUAZIONI DI II GRADO Risolvere: 6 Per prima cosa dobbiamo studiare il segno del numeratore e del denominatore, cioè risolvere le due disequazioni: 6 6 : : D N Costruiamo ora uno schema in cui sono riportate

Dettagli

Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi

Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi Dati due numeri disuguali a e b risulta a>b oppure ao oppure a-b

Dettagli

Le equazioni di primo grado

Le equazioni di primo grado Le equazioni di primo grado Definiamo prima di tutto cosa è una identità. Definizione : un identità è un uguaglianza, dove compaiono espressioni letterali, verificata per qualunque valore attribuito alle

Dettagli

Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 2 Dicembre Dominio di Funzioni

Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 2 Dicembre Dominio di Funzioni Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 06/07 Pietro Pastore Lezione del Dicembre 06 Dominio di Funzioni Determinare il dominio delle seguenti funzioni ) x +3x. fx) =. Il dominio si trova considerando

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA III Parziale - Compito C 6/5/5 A. A. 4 5 ) Studiare la seguente funzione polinomiale:

Dettagli

raggruppiamo il quadrato di binomio dividiamo per 0 effettuiamo i calcoli a secondo membro Distinguiamo i tre casi: 2 ± 2 ; 2 = 0 ; + si ottiene, =

raggruppiamo il quadrato di binomio dividiamo per 0 effettuiamo i calcoli a secondo membro Distinguiamo i tre casi: 2 ± 2 ; 2 = 0 ; + si ottiene, = Equazioni di II grado Equazione di II grado completa Un equazione di II grado è un equazione che, ridotta a forma normale, è del tipo ++=0 con 0. Per risolverla occorre calcolare il discriminante dell

Dettagli

EQUAZIONI DI II GRADO

EQUAZIONI DI II GRADO RICHIAMI SULLE EQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO Indice 1 EQUAZIONI DI I GRADO --------------------------------------------------------------------------------------------------

Dettagli

Le equazioni di primo grado

Le equazioni di primo grado Le equazioni di primo grado Definiamo prima di tutto cosa è una identità. Definizione : un identità è un uguaglianza, dove compaiono espressioni letterali, verificata per qualunque valore attribuito alle

Dettagli

www.matematicamente.it Verifica classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di 2 grado 1

www.matematicamente.it Verifica classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di 2 grado 1 www.matematicamente.it Verifica classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di grado 1 Verifica di matematica, classe II liceo scientifico Equazioni di secondo grado, equazioni frazionarie,

Dettagli