Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni

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1 Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39

2 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei iti 3 Limiti notevoli ICD (Bari) Analisi Matematica 2 / 39

3 Limiti di funzioni L operazione di ite si può estendere dalle successioni alle funzioni. Serve a studiare il comportamento di una funzione quando la variabile indipendente si avvicina ad un valore fissato oppure diventa molto grande o molto piccola. Consideriamo, come caso tipico, un intervallo I, un punto c I e una funzione f a valori reali definita in I o al più in I \ {c}. I può essere itato o ilitato; chiuso o aperto. c può essere interno ad I oppure uno dei suoi estremi (eventualmente + o ). ICD (Bari) Analisi Matematica 3 / 39

4 Definizione di ite Definizione Sia f come sopra. Si dice che il ite per x tendente a c di f(x) è l e si scrive x c f(x) = l se per ogni successione {x n } tale che x n I \ {c} e tale che si ha f(x n) = l. n + x n = c n + Se l = 0 f si dice infinitesima per x c. Se l = ± f si dice infinita per x c. Se esiste x c f(x) = l, esso è unico. ICD (Bari) Analisi Matematica 4 / 39

5 Nella scrittura può accadere che l R (ite finito); l = ± (ite infinito); c R (ite al finito); c = ± (ite all infinito); f(x) = l x c Allora abbiamo da esaminare quattro situazioni: 1 ite finito all infinito; 2 ite infinito all infinito; 3 ite infinito al finito; 4 ite finito al finito. ICD (Bari) Analisi Matematica 5 / 39

6 Limite finito all infinito Esempio: x ex = 0. Interpretazione geometrica: Definizione Si dice che f ha un asintoto orizzontale di equazione y = l (l R) per x + se f(x) = l. x + Si dice che f ha un asintoto orizzontale di equazione y = l (l R) per x se f(x) = l. x ICD (Bari) Analisi Matematica 6 / 39

7 Limite infinito all infinito Esempio: log 1/2 x =. x + In questo caso può accadere che esista una retta obliqua a cui il grafico di f si avvicina quando x diventa sempre più grande (o più piccolo). ICD (Bari) Analisi Matematica 7 / 39

8 Asintoto obliquo Definizione Si dice che f ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q (m 0, q R) per x + se (f(x) (mx + q)) = 0. x + Si dice che f ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q (m 0, q R) per x se (f(x) (mx + q)) = 0. x ICD (Bari) Analisi Matematica 8 / 39

9 Un criterio operativo per calcolare l asintoto obliquo. Proposizione La funzione f(x) ammette asintoto obliquo per x + se e solo se 1 esiste finito f(x) x + x = m 0, 2 esiste finito (f(x) mx) = q. x + In tal caso l asintoto è y = mx + q. Analogo criterio vale per x. ICD (Bari) Analisi Matematica 9 / 39

10 Limite infinito al finito Esempio: x 0 1 x 2 = +. Talvolta il comportamento di una funzione è diverso se x si avvicina a c R da destra (x > c) invece che da sinistra (x < c). Esempio: f(x) = 1 x. Per descrivere questo tipo di situazione si introducono i concetti di ite destro e ite sinistro. ICD (Bari) Analisi Matematica 10 / 39

11 Limite destro Definizione Siano c R, l R, f : I \ {c} R. Si dice che il ite destro di f(x) per x tendente a c è l e si scrive f(x) = l x c + se per ogni successione {x n } tale che x n I \ {c}, x n > c definitivamente e tale che x n = c si ha n + f(x n) = l. n + ICD (Bari) Analisi Matematica 11 / 39

12 Limite sinistro Definizione Siano c R, l R, f : I \ {c} R. Si dice che il ite sinistro di f(x) per x tendente a c è l e si scrive f(x) = l x c se per ogni successione {x n } tale che x n I \ {c}, x n < c definitivamente e tale che x n = c si ha n + f(x n) = l. n + ICD (Bari) Analisi Matematica 12 / 39

13 Relazione tra ite, ite destro, ite sinistro Teorema Sono equivalenti: esiste f(x) = l; x c esistono f(x) = l = f(x). x c x c + ICD (Bari) Analisi Matematica 13 / 39

14 Asintoti verticali Interpretazione geometrica del ite infinito al finito: Definizione Si dice che f ha un asintoto verticale di equazione x = c se oppure se x c x c f(x) = o f(x) = f(x) = o f(x) = +. x c x c ICD (Bari) Analisi Matematica 14 / 39

15 Limite finito al finito Esempi: 1 Si ha Si noti che sen 0 = 0. 2 Sia Si ha Si noti che f(0) 1. f(x) = sen x = 0. x 0 { 1 se x 0, 0 se x = 0. f(x) = 1. x 0 ICD (Bari) Analisi Matematica 15 / 39

16 Funzioni continue Definizione Sia f : I R, I R intervallo. Sia c I. Si dice che f è continua in c se esiste f(x) = f(c). x c Si dice che f è continua in I se è continua in ciascun punto di I. Una funzione non continua in un un punto c si dice discontinua in c. ICD (Bari) Analisi Matematica 16 / 39

17 Discontinuità Definizione Sia f : I R, I R intervallo. Sia c I. Si dice che f ha una discontinuità a salto in c se esistono f(x) = l 1 R x c f(x) = l 2 R l 1 l 2. x c + In tal caso il salto di f in c è dato da l 2 l 1. Si dice che f è continua da destra in c se esiste f(x) = f(c). x c + Si dice che f è continua da sinistra in c se esiste f(x) = f(c). x c ICD (Bari) Analisi Matematica 17 / 39

18 Non esistenza del ite Il ite di una funzione può anche non esistere. Non esiste sen x. x + ICD (Bari) Analisi Matematica 18 / 39

19 Definizione topologica di ite Una definizione (equivalente) di ite di funzione, indipendente dal concetto di successione. Definizione Un intorno di x 0 R è un intervallo aperto che contiene x 0, spesso del tipo (x 0 δ, x 0 + δ), con δ > 0 (centrato quindi in x 0 ). Un intorno di + è ogni intervallo del tipo (a, + ), a R; Un intorno di è ogni intervallo del tipo (, b), b R. ICD (Bari) Analisi Matematica 19 / 39

20 Definizione topologica di ite Definizione Si dice che una funzione f(x) verifica una certa proprietà definitivamente per x c se esiste un intorno U di c tale che la proprietà vale per ogni x U, x c. Definizione Sia c R e sia f definita almeno definitivamente per x c. Sia l R. Si dice che il ite di f(x) per x che tende ad c è l e si scrive f(x) = l oppure f(x) l per x c x c se per ogni intorno U l di l, esiste un intorno V c di c, tale che f(x) U l x V c, x c. ICD (Bari) Analisi Matematica 20 / 39

21 Teoremi sui iti di funzioni Derivano immediatamente dai corrispondenti teoremi sulle successioni. Teorema (del confronto) Se 1 per x c, f(x) l e g(x) l 2 definitivamente per x c f(x) h(x) g(x) allora anche h(x) l per x c. Corollario Se per x c g(x) 0 e h(x) g(x) definitivamente per x c allora anche h(x) 0 per x c. Se per x c f(x) 0 e g(x) è itata definitivamente per x c allora f(x)g(x) 0 per x c. ICD (Bari) Analisi Matematica 21 / 39

22 Teorema (permanenza del segno) Se per x c f(x) l > 0 allora f(x) > 0 definitivamente per x c. Se per x c f(x) l e f(x) 0 definitivamente per x c allora l 0. Teorema (permanenza del segno per funzioni continue) Se f è continua in c e f(c) > 0 allora f(x) > 0 definitivamente per x c. ICD (Bari) Analisi Matematica 22 / 39

23 Algebra dei iti, caso dei iti finiti Teorema Se Allora f(x) = l 1 R x c g(x) = l 2 R. x c per ogni K R, Kf(x) = Kl 1 ; x c (f(x) + g(x)) = l 1 + l 2 ; x c (f(x) g(x)) = l 1 l 2 ; x c se l 2 0 e g(x) 0 definitivamente per x c, f(x) x c g(x) = l 1 ; l 2 ICD (Bari) Analisi Matematica 23 / 39

24 Casi in cui i iti sono + o Valgono le stesse regole viste per le successioni. a + = + a = + + = + = a =, (a 0) a =, (a 0) 0 a = 0 Il segno di va determinato con la usuale regola dei segni. Forme di indecisione: ICD (Bari) Analisi Matematica 24 / 39

25 Algebra delle funzioni continue Teorema La somma, la differenza, il prodotto e il rapporto di funzioni continue sono funzioni continue (se ben definite) in ogni punto del loro dominio. Le funzioni elementari sono continue in ogni punto del loro dominio. ICD (Bari) Analisi Matematica 25 / 39

26 Limiti delle funzioni elementari Funzioni potenza x α = x α x x 0 α R, x 0 (0, + ) 0 { 0 se α > 0 x 0 xα = + + se α < 0 x + xα = { + se α > 0 0 se α < 0 ICD (Bari) Analisi Matematica 26 / 39

27 Limiti delle funzioni elementari Funzione esponenziale. a x = a x 0 x 0 R, a (0, + ) x x 0 { + se 0 < a < 1 x ax = 0 se a > 1 x + ax = { 0 se 0 < a < 1 + se a > 1. ICD (Bari) Analisi Matematica 27 / 39

28 Limiti delle funzioni elementari Funzione logaritmo. log x x a x = log a x 0 x 0 (0, + ), a (0, + ), a 1 0 { log + se 0 < a < 1 a x = x 0 se a > 1 log a x = x + { se 0 < a < 1 + se a > 1 ICD (Bari) Analisi Matematica 28 / 39

29 Limiti delle funzioni elementari Funzioni trigonometriche. sen x x x 0 = sen x 0 x 0 R cos x x x 0 = cos x 0 x 0 R tg x = tg x 0 x 0 R, x 0 π x x kπ, k Z Si può provare che non esiste il ite all infinito di ogni funzione periodica (non costante). Quindi, in particolare non esistono sen x x ± cos x x ± tg x. x ± Inoltre x π + 2 tg x = tg x = +. x π 2 Dalla periodicità si ricavano gli altri valori. ICD (Bari) Analisi Matematica 29 / 39

30 Limiti delle funzioni elementari Funzioni trigonometriche inverse. arcsen x x x 0 = arcsen x 0 x 0 [ 1, 1] arccos x x x 0 = arccos x 0 x 0 [ 1, 1] arctg x x x 0 = arctg x 0 x 0 R x arctg x = π 2 x + arctg x = π 2 ICD (Bari) Analisi Matematica 30 / 39

31 Cambio di variabile nel ite Teorema Siano x 0, t 0, l R, siano f e g due funzioni tali per cui è ben definita la funzione composta f g almeno definitivamente per x x 0 e inoltre risulti che esiste x x 0 g(x) = t 0 ; esiste t t0 f(t) = l; g(x) t 0 definitivamente per x x 0. Allora esiste anche f(g(x)) = f(t) = l. x x 0 t t0 La terza ipotesi non è necessaria se f è continua in t 0 o (ovviamente) se t 0 = ±. ICD (Bari) Analisi Matematica 31 / 39

32 Continuità della funzione composta Teorema Siano g una funzione definita almeno in un intorno di x 0 e f una funzione definita almeno in un intorno di t 0 = g(x 0 ). Se g è continua in x 0 ; f è continua in t 0, allora anche la funzione composta f g è definita almeno in un intorno di x 0 ed è continua in x 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 32 / 39

33 Limiti di polinomi Dato un polinomio di grado n, P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 0 si può scrivere ( P n (x) = a n x n 1 + a n 1 a n x + a n 2 a n x a ) 0 a n x n da cui P n(x) = a nx n. x ± x ± ICD (Bari) Analisi Matematica 33 / 39

34 Limiti di rapporti tra polinomi Dati due polinomi P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 0 Q m (x) = b m x m + b m 1 x m b 0 (con a n, b m 0) il ite del loro rapporto è dato da x ± a n x n b m x m = x ± P n (x) Q m (x) = 0 se n < m; a n /b m se n = m; + o se n > m. Nel terzo caso, il segno è determinato dal segno del rapporto a n /b m, dal tipo di ite e dal fatto che n m sia pari o dispari. ICD (Bari) Analisi Matematica 34 / 39

35 Limiti notevoli Si ha sen x = 1. x 0 x Si deduce che 1 cos x x 0 x 2 = 1 2 tg x x 0 x = 1 x 0 x 0 arcsen x x arctg x x = 1 = 1. ICD (Bari) Analisi Matematica 35 / 39

36 Prolungamento per continuità di una funzione Sia f(x) = { sen x x se x 0, 1 se x = 0. La funzione f risulta continua in x = 0. Se una funzione f non è definita in x 0 ma esiste finito f(x) = l x x 0 f può essere prolungata per continuità in x 0, ponendo f(x 0 ) = l. ICD (Bari) Analisi Matematica 36 / 39

37 Limiti notevoli Si prova che Si deduce che x 0 x 0 ( x = e. x ± x) e x 1 x 0 x log(1 + x) x (1 + x) α 1 x = 1 = 1 = α per ogni α R. Più in generale si ha x 0 a x 1 x 0 x log a (1 + x) x = log a = 1/ log a e = log a e = 1/ log a. ICD (Bari) Analisi Matematica 37 / 39

38 Gerarchia degli infiniti Teorema Si considerino le funzioni (log a x) α x β b x con α, β > 0, a, b > 1. Per x + ognuna è un infinito di ordine inferiore rispetto alla funzione alla propria destra. Esplicitamente: (log a x) α x β x + x β = 0 x + b x = 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 38 / 39

39 Gerarchia degli infiniti Inoltre, ponendo 1/x = y, nel primo ite si ha y 0 yβ ( log a y) α = 0. + Per α = 1 y 0 yβ log a y = 0. + ICD (Bari) Analisi Matematica 39 / 39