1 a Prova parziale di Analisi Matematica I (A) 16/11/2007

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1 Nome a Prova parziale di Analisi Matematica I (A) 6//7 ) Data la funzione ( ) = f e Calcolare il campo di esistenza e il suo comportamento agli estremi ) Definizione di derivata prima di una funzione f() in un punto e suo significato geometrico Scrivere l equazione della retta tangente alla curva di equazione f ( ) = cos π in = ) Definizione di limite finito per una funzione f() Utilizzando i limiti notevoli calcolare il ln(sin + ) seguente limitelim tg( e ) 4) Calcolare le radici dell equazione z 7 = e disegnarle nel campo di Gauss Nome a Prova parziale di Analisi Matematica I (B) (6//7) ) Data la funzione f ( ) = ln Calcolare il campo di esistenza, la derivata prima e i punti di non derivabilità ) Definizione di funzione continua e di funzione derivabile in un punto Enunciare e dimostrare il Teorema sulla continuita di una funzione derivabile ( derivabilità continuità) + + ) Calcolare il limite lim + ln + 4) Dato il numero complesso z = i, scriverlo in forma trigonometrica e si calcoli la potenza z Nome ) Calcolare il limite a Prova parziale di Analisi Matematica I (C) (6//7) ( e + ln( + lim ) ) ) Data la funzione f ( ) = e Calcolare il campo di esistenza, la derivata prima e i punti critici

2 ) Enunciare e dimostrare il Teorema di derivazione della funzione composta 4) Calcolare 5 + i i, scriverlo in forma trigonometrica e rappresentarlo nel campo di Gauss Nome a Prova parziale di Analisi Matematica I (D) (6//7) ) Enunciare e dimostrare il Teorema della permanenza del segno ) Definizione di limite infinito per una funzione f() Calcolare il limite π lim ) Data la funzione f ( ) = cos + sin + Calcolare il campo di esistenza e la derivata 6 prima nel punto = 4) Dato il numero complesso z = i calcolare z, e scriverlo in forma trigonometrica z (E) (6//7) Nome + ) Data la funzione f ( ) = arctg, calcolare il campo di esistenza, la derivata prima e classificare i punti di non derivabilità ) Definizione di funzione infinita e confronto tra infiniti Utilizzandolo calcolare 4 + lim ) Risolvere in campo complesso la seguente equazione z = 4) Definizione di massimo e minimo relativo per una funzione f() Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat

3 Nome (F) (6//7) z ) Dato il numero complesso z = 4 i, calcolare z, z z, z ) Definizione di limite finito per per una funzione f() Enunciare e dimostrare il Teorema di unicità del limite e ) Data la funzione f ( ) =, calcolare il campo di esistenza e il comportamento agli e + estremi 4) Data f ( ) = arctg, calcolare f () e scrivere l equazione della retta tangente a f() in = Nome (G) (6//7) ) Utilizzando i limiti notevoli calcolare il limite lim cos cos ) Dato z = i, scriverlo in forma trigonometrica e calcolare le tre radici cubiche di z ) Data la funzione f ( ) = sin ln(sin ), calcolare il campo di esistenza e la derivata prima 4) Enunciare e dimostrare il Teorema della derivata della funzione inversa Utilizzandolo calcolare la derivata di f ( ) =

4 Nome (H) (6//7) ) Definizione di funzione infinitesima per e confronto tra infinitesimi Utilizzandolo + calcolare il + lim + ) Dato z = + i, scriverlo in forma trigonometrica e calcolare z + z e ) Data la funzione f ( ) =, calcolare il campo di esistenza e il comportamento agli estremi 4) Enunciare e dimostrare il Teorema della derivata del prodotto di due funzioni Utilizzandolo calcolare la derivata di f ( ) = sin Nome e cognome Corso Matricola ( a parte) A //8 ) Definizione di serie numerica convergente Dire se converge la serie + π π sin sin n= n ( n + ) ) Data la funzione f ( ) = tracciare il grafico illustrando i passaggi fondamentali e e ) Regola di integrazione per sostituzione Calcolare e + d 4) Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange: dire se è applicabile alla funzione f ( ) = in [-,] 5) Formula di Mac-Laurin Data la funzione f()= -cos, calcolare il polinomio di Mac-Laurin di grado e scrivere il resto di Lagrange

5 Nome e cognome Corso Matricola ( a parte) B //8 ) Data la funzione f ( ) = tracciare il grafico illustrando i passaggi fondamentali ln ) Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle Applicarlo alla funzione f() = - in [-,] ) Calcolare l area della porzione di piano compresa tra il grafico di y = e y = - 4) Definizione di integrale generalizzato di una funzione f() in (a,b] Utilizzandola dire se il seguente integrale converge d e calcolarlo + n= n 5) Discutere la convergenza della serie geometrica: ( ) Nome e cognome Corso Matricola (//8) ) Definizione di somme superiori ed inferiori Scrivere la somma superiore S( e, D), dove D : =,,,, ) Data la funzione f ( ) = + ln a determinare il campo di esistenza e comportamento agli estremi, b studiare la crescenza e decrescenza, la concavità la convessità ed eventuali flessi, c tracciare il grafico ) Definizione di funzione derivabile in un punto e significato geometrico Funzioni non derivabili: classificare i vari tipi di non derivabilità facendo un esempio 4) Calcolare d ) Definizione di serie convergente e divergente Enunciare e dimostrare il criterio della radice utilizzandolo verificare che n n è divergente n

6 Nome Matricola (//8) ) Enunciare e dimostrare il teorema della permanenza del segno Dire se è applicabile alla e funzione f ( ) = in = = ) Data la funzione f ( ) = ln ( ), a determinare il campo di esistenza e il comportamento ai suoi estremi, b calcolare la sua derivata prima e stabilire la crescenza o decrescenza, c tracciare il grafico ) Calcolare l area della parte di piano delimitata dal grafico di y = ln(), l asse delle e le semirette = e = e e 4) Serie numeriche: enunciare e dimostrare il criterio del confronto Utilizzandolo stabilire il sin carattere della serie + n n= n 5) Enunciare i principali teoremi sulle funzioni derivabili 6/6/8 Nome Corso e ) Data la funzione f ( ) =, a) tracciare il grafico illustrando i passaggi fondamentali b) Enunciare il Teorema di Lagrange e dire se è applicabile alla funzione f() nell intervallo [-, ] ) Definizione di derivata prima di una funzione f() in un punto e suo significato geometrico Definizione di funzione continua in un punto Illustrare con degli esempi il legame tra la derivabilita e la continuità di una funzione f() in ) Definizione di massimo e minimo relativo per una funzione f() Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat 4) Calcolare l area della regione di piano compresa tra l asse delle e la funzione y = sin 4 nell intervallo, π

7 Nome Corso 4/7/8 e ) Data la funzione f ( ) =, a) tracciare il grafico illustrando i passaggi fondamentali, b) enunciare il Teorema di Lagrange e dire se è applicabile alla funzione f() nell intervallo [-,] ) Definizione di derivata prima di una funzione f() in un punto e suo significato geometrico Definizione di funzione continua in un punto Illustrare con degli esempi il legame tra la derivabilità e la continuità di una funzione f() in ) Definizione di massimo e minimo relativo per una funzione f() Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat 4) Calcolare l area della regione di piano compresa tra l asse delle e la funzione y = sin 4 nell intervallo, π Nome Corso 5/9/8 ) Data la funzione f ( ) = arctg, tracciare il grafico illustrando i passaggi fondamentali ) Definizione di integrale secondo Riemann Utilizzandola dire se la funzione f ( ) = è integrabile secondo Riemann nell intervallo [,] e in caso contrario determinare un intervallo in cui risulta integrabile e calcolare l integrale ) Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle e fare un esempio di applicazione 4) Condizione necessaria e condizione sufficiente per la convergenza di una serie numerica Utilizzando un criterio sufficiente dire se converge la seguente serie + n n 4 n + n n= 5 n