I NUMERI. Si dice "radice quadrata" di un numero positivo a, quel numero positivo b che elevato al quadrato dà come risultato a.

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1 Questa dispensa rappresenta una breve introduzione ai numeri reali e alla loro Topologia, minimo necessario per affrontare serenamente lo studio dell ANALISI MATEMATICA. Inoltre non si ha la pretesa che solo queste poche pagine scritte siano sufficienti ad una preparazione adeguata, ma che siano soprattutto un vademecum da approfondire con quanto sarà detto a lezione e quant altro sortirà dal dibattito didattico sull argomento. I NUMERI Numeri Naturali 0,1,2,3. 0 1,2,3. Numeri Relativi Z = 0, 1, 2, , 2, 3. Numeri Razionali /, Un introduzione al concetto di NUMERO IRRAZIONALE Si dice "radice quadrata" di un numero positivo a, quel numero positivo b che elevato al quadrato dà come risultato a., 0 Esempi: 25 5; ; 0,04 0,2 Ma si prenda in esame il numero 2, per renderci meglio conto della sua natura prendiamo in esame la tabella seguente: , , , , , , A questo punto la domanda sorge spontanea, quale è la frazione che al quadrato, o meglio quale è il numero razionale che al quadrato dà 2? Teorema Non esiste alcun numero razionale, il quale elevato al quadrato dia come risultato 2. Dim.: si proceda per assurdo, cioè negando la tesi e procedendo logicamente si ottiene una contraddizione. Si supponga l esistenza di, con a e b numeri primi tra loro, tale che 2. Sviluppando il quadrato si ottiene che 2 2 è è è. 4 2 Pagina 1 di 8

2 Ma attenzione si è dimostrato che a e b sono numeri pari, quindi divisibili per due. ASSURDO! Si era supposto che a e b fossero primi tra loro. Come volevasi dimostrare (C.v.d.) APPROFONDIMENTO: Fai una ricerca di storico epistemologica con argomento L incommensurabilità della diagonale del quadrato e il Il problema della duplicazione del cubo. Siamo dunque costretti ad ammettere che il numero 2 non è esprimibile sotto forma di frazione, o meglio non è numero razionale. Analogamente, si può dimostrare che non sono esprimibili sotto forma di frazione i seguenti numeri: 3; 5; 7; 8; 10; e, in generale, tutte le radici quadrate di numeri interi che non sono quadrati perfetti (si dice quadrato perfetto un intero che sia il quadrato di un altro intero); Inoltre 2 ; 3; 5; 7 e, in generale, tutte le radici cubiche di numeri interi che non sono "cubi perfetti"; le radici n-esime degli interi che non sono n-esime potenze perfette; il numero 3, (che interviene nello studio della circonferenza e del cerchio) il numero, Numero di Nepero, 2, (un altro numero principe della matematica, che si incontra nelle più svariate questioni) ecc. ecc. ecc. Gli insiemi numerici Per quanto visto, nasce l esigenza di definire e costruire un nuovo insiemi numerico che comprenda i numeri IRRAZIONALI, indicati con l insieme I. Risponde a tale esigenza l insieme dei numeri reali che in maniera insiemistica si definisce come: I Q Z N R Pagina 2 di 8

3 I numeri reali Una tra le definizioni più brillanti dei numeri reali è stata dovuta al grande matematico Dedekind, che pensò bene di non poter definire un numero reale allo stesso modo degli altri numeri, ma per la natura degli irrazionali avesse la necessità di introdurre un concetto che si studierà meglio in seguito, il concetto di approssimazione tramite degli insiemi numerici. Ne accenneremo alcuni aspetti. Le sezioni di Dedekind Dato un numero razionale, si indichino A la classe dei razionali minori di q e con B la classe dei razionali maggiori q /, / Le classi A e B godono delle seguenti proprietà: 1. A e B non sono vuote e non sono disgiunte;,, 2., ogni razionale a < a appartiene ad A; inoltre preso un a appartenente ad A esiste un a appartenente ad A tale che a sia maggiore di a, in simboli /. 3., ogni razionale b > b appartiene ad B; inoltre preso un b appartenente a B esiste un b appartenente a B tale che b sia minore di b, in simboli /. 4., cioè l unione di A e B contiene tutti i razionali ad eccezione di q, che risulta maggiore di tutti i numeri della classe A e minore di tutti i numeri della classe B. Dato un numero si indichino si indichino A la classe dei razionali minori di q e con B la classe dei razionali maggiori r /, / Le classi A e B godono proprietà 1, 2 e 3 sopraelencate e della seguente : 4a., cioè l unione di A e B contiene tutti i razionali, che risulta maggiore di tutti i numeri della classe A e minore di tutti i numeri della classe B. Def. Sezione di Q - Ogni coppia di classi di numeri razionali che soddisfa le condizioni 1, 2, 3, 4 oppure 1, 2, 3, 4 viene definita come una SEZIONE dell insieme Q dei razionali e la si indicherà con i simboli, Def. Numero reale - Un numero reale r è una sezione dell insiemi dei numeri razionali. r =, Proprietà Totale ordinamento Sia presi due numeri reali, ed r =, si verifica sempre uno dei seguenti fatti: r = r se A=C e B=D r < r se A è incluso in C ed esiste un (almeno) elemento di C che appartiene a B. r > r se C è incluso in A ed esiste un elemento di A che appartiene a D Per brevità e semplicità si elencheranno le proprietà dei numeri reali senza ulteriori dimostrazioni, limitandosi ad un approccio intuitivo. Pagina 3 di 8

4 Proprietà della completezza Presi due numeri reali distinti r e r, con r < r esisterà sempre (almeno) un numero reale r tale che r < r < r Classi Contigue Nella precedente definizione di sezione, quindi di numero reale, si è fatto ricorso al concetto di classi definendole in maniera tale da coprire tutto l insieme Q con al più escluso un elemento. Si può dare una definizione di numero reale ricorrendo ad un concetto più semplice e con condizioni meno restrittive, tale definizione coinvolge sì insiemi infinti, ma non necessariamente che ricoprano Q. Partiamo da un esempio concreto. Abbiamo visto in precedenza che il numero 5 è un numero irrazionale, quindi non razionale, ma reale. Siano S e T due sottoinsiemi infiniti di Q definiti così: 5 2, S 2 2,1 2,2 2,22 2,234 2,2359 2, T 3 2,8 2,6 2,43 2,241 2,2364 2, Gli elementi di S e T si avvicinano rispettivamente per difetto e per eccesso al valore di 5, ma essendo tale numero reale nessun elemento di S e T, composti da razionali, potrà mai uguagliarlo. Si può facilmente vedere che: 1) Ogni elemento di S è minore di ogni elemento di T 2) Comunque si fissi un numero 0, piccolo a piacere, è possibile trovare un elemento di T ed un elemento di S la cui differenza sia minore di ; in simboli 0, / Per verificare ciò: se 0,3 2,43 2,22 2,43 2,22 0,19 se 0,1 2,241 2,234 2,241 2,234 0,07 se 0,01 2,2364 2,2359 2,2364 2,2359 0,005 e così via. LE CLASSI SONO INDEFINITAMENTE VICINE. Def. Classi Contigue Due insiemi A e B costituiscono una coppia di classi contigue se godono di due proprietà : 1. Sono separate, cioè ogni elemento di della prima classe è minore di ogni elemento della seconda; 2. Preso comunque un numero > 0, piccolo a piacere, è possibile determinare un elemento della seconda classe e uno della prima la cui differenza è minore. (proprietà dell avvicinamento indefinito). 0, / Teorema Siano A e B due classi contigue allora esiste, ed è unico, il numero r, detto elemento separatore delle classi, tale che, Pagina 4 di 8

5 Def. Numero reale - Si chiama numero reale r l elemento separatore di due classi contigue. Insiemi limitati Intervalli Intorni Def. Insieme limitato superiormente Sia E un sottoinsieme (proprio) dei numeri reali,, E si dice limitato superiormente se: esiste un numero (almeno uno) M tale che per ogni x appartenente ad E risulti x minore o uguale a M / Dalla definizione precedente è chiaro che di numeri M se un insieme è limitato ne posso trovare infiniti, infatti basti pensare che tra due numeri reali, il più grande elemento di E ed M, esiste sempre un elemento separatore e se M fosse un elemento di E (comunque finito) si può sempre trovare un numero M maggiore di M, dato che i reali sono infiniti. Esempio: Sia E = /, 1; ; ; ; ; ; ; ; L insieme E in questo caso è limitato superiormente in quanto per M = 2 soddisfa la definizione, ma la soddisfa per molti altri M, ad esempio M =1,5, M =100, M =1. Si può notare come gli M proposti soddisfino in modo più o meno fine la definizione, ed in particolare M =1 è anche elemento di E. Esistono delle differenze tra i vari valori di M? Condizionano in qualche modo la nomenclatura degli insiemi limitati? Def. Maggiorante di un insieme Sia, se esiste M R tale che, si dice maggiorante di E. Def. Massimo di un insieme Sia, se esiste un M E tale che, si dice massimo di E. Def. Insieme limitato inferiormente Sia, E si dice limitato superiormente se: / Esempio: Sia E = /, 1; ; ; ; ; ; ; ; L insieme E in questo caso è limitato inferiormente in quanto m = -2 soddisfa la definizione, ma la soddisfa per molti altri m, ad esempio m = -1,5, m =0. Si può notare come gli m proposti soddisfino in modo più o meno fine la definizione, ed in particolare m =0 che comunque non è elemento di E. Def. Minorante di un insieme Sia, se esiste m R tale che, si dice minorante di E. Pagina 5 di 8

6 Def. Minimo di un insieme Sia, se esiste un M E tale che, si dice minimo di E. Esempio: Sia E = /, 1; ; ; ; ; ; ; ; L insieme E ammette Massimo per M = 1, ma non ammette minimo, in quanto 0 E Esempio: Sia A = 2,3,5, 7,11,. / è A è limitato inferiormente ed ammette minimo m = 2 Esempio: Sia B = 1,2,3,5,6,10,15,30 / è 30 ; B è limitato inferiormente e superiormente ed ammette minimo m=1 e massimo M=30. Questo insieme si dirà limitato, come espresso dalla seguente definizione. Def. Insieme limitato Sia, E si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente:, / Def. Insieme non limitato Un insieme non limitato si dice illimitato. INTERVALLI Def. Intervallo Si definisce intervallo aperto di estremi a e b e si indica con, l insieme (infinito) di tutti i numeri reali x tale che ; / ; Def. Intervallo Chiuso Si definisce intervallo aperto di estremi a e b e si indica con, l insieme (infinito) di tutti i numeri reali x tale che ; / ; Def. Ampiezza di un intervallo Sia ; ; un intervallo aperto o chiuso si definisce ampiezza dell intervallo la quantità b-a Tabella intervalli limitati e insiemi illimitati Intervallo aperto Intervallo chiuso a sx Insieme illimitato inf. Insieme illimitato sup. ; ; ; ; Intervallo chiuso Intervallo chiuso a dx Insieme chiuso a dx e illimitato inf. Insieme chiuso a sx e illimitato sup. ; ; ; ; Rispettando questa sintassi l insieme dei numeri reali, Pagina 6 di 8

7 INTORNO Def. Intorno Dato, 0, si definisce intorno di x 0 ogni intervallo APERTO contenente x 0. In simboli ; Esempi: 3 2; 7 ; 3 ;2 ; 3 5; 3,1 Def. Intorno Sinistro Dato, si definisce intorno sinistro di x 0 ogni intervallo APERTO contenente che abbia come estremo destro x 0. In simboli ; Esempi: 1 3; 1 ; 2,7; ; 2 0; 2 Def. Intorno Destro Dato 0, si definisce intorno sinistro di x 0 ogni intervallo APERTO contenente che abbia come estremo sinistro x 0. In simboli ; Esempi: 1 1; 1 ; ; 3 ; 2 2; 1 Adesso si definirà un nuovo tipo di intorno prevalentemente utilizzato in analisi in quanto più immediato nella comprensione e più pratico per le esemplificazioni. Def. Intorno Circolare Dato 0, si definisce intorno di centro x 0 e raggio, ogni intervallo APERTO così fatto: In simboli, ; E sia, (Entrambe le notazioni sono utili) Per le definizioni di intorno sinistro e intorno destro non cambia nulla in quanto lo scostamento da avviene solo a destra o a sinistra, e tale scostamento è assimilabile come raggio dell intorno (naturalmente solo sinistro o destro). Def. Punto di Accumulazione Dato un insieme e sia, è punto di accumulazione di A se in ogni intorno di x 0 cade almeno un elemento di A distinto da x 0. In simboli: è p.to di acc. per, Esempi: a) I numeri reali appartenenti ad un intervallo ; sono punti di accumulazione per A Pagina 7 di 8 b) 2 è punto di accumulazione per 2,4, infatti anche se due non appartiene ad A, ma preso un intorno qualunque di 2, cioè 2 2 ;2, 2 2,2 che sono infiniti punti, quantunque sia piccolo, e ciò si ha per il teorema sull esistenza dell elemento separatore.

8 c) Sia A = /, 1; ; ; ; ; ; ; un intervallo!) ammette un unico punto di accumulazione. ;, tale insieme (attenzione non è 1 non è punto di accumulazione in quanto 1 1 ;1 ; non ha alcun punto, oltre 1, in comune con A. La stessa considerazione si faccia per qualsiasi altro elemento di A prendendo un intorno adeguatamente piccolo. Mentre 0, pur non appartenendo ad A, preso 0 0 ;0 e considerato piccolo a piacere esisterà sempre un 1/n più piccolo, quindi si ha non uno ma infiniti elemento in comune, cioè tutti quelli minori di della forma 1/ n. Teorema Se è punto di accumulazione dell insieme A, in ogni intorno di, cadono infiniti punti di E Def. Derivato di un Insieme Dato un insieme, si chiama derivato di A e lo si indica con il simbolo l insieme di tutti i punti di accumulazione. Pagina 8 di 8