La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.

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Margherita Esposito
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1 L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice è posto esttmente mezz ltezz tr un punto detto fuoco e un rett dett direttrice l direttrice e l sse di simmetri sono perpendicolri Un proprietà non evidente m importntissim rccius nel grfico è l seguente: OGNI PUNTO DELLA PARABOLA È EQUIDISTANTE DAL FUOCO E DALLA DIRETTRICE L prol è definit inftti come luogo di punti in questo modo: LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE. nel cso l prol i concvità verso il sso il vertice divent il punto più in lto L Prol pg.

2 Equzione dell prol P ( ) PF PH direttrice: d F ( k) H O Nell figur qui sopr: P ( ) è un punto qulsisi dell prol F ( k) è il fuoco ( e k sono le sue coordinte) d è l equzione dell direttrice ( d è l ltezz cui si trov l direttrice) i prmetri k e d sono diversi tr loro percé il fuoco non deve stre sull direttrice, quindi imo ce k d ovverosi k d 0 H è il punto dell direttrice ce ne dà l distnz dl punto P l condizione di equidistnz ci dice ce PF PH Quel ce fremo or è ricvre l equzione dell prol, espress come queste proprietà. PF ( ) ( k) PH d f ( ), prtire d PF PH implic dunque ce ( ) ( k) d Per eliminre si l rdice ce il vlore ssoluto elevimo l qudrto d entrme le prti e ottenimo così: Possimo or dividere per ( ) ( k) ( d ) k k d d k d k d k d ( k d ) ( k d ) ricvndo e ottenendo infine: k ( k d ) ( k d ) ( k d ) d d è il vlore ssoluto di d L Prol pg.

3 L equzione ottenut semr molto complict, riscrivimol: k d ( k d ) ( k d ) ( k d ) Possimo renderl più semplice sostituendo i prmetri, k, d con tre nuovi prmetri,, c definiti nel modo seguente: c k d ( k d ) k d ( k d ) In questo modo ottenimo : l equzione stndrd dell prol c I prmetri,, c sono clcolti di prmetri, k, d forniti dl fuoco e dll direttrice. In prticolre 0 ssicur ce l equzione di un prol è sempre di grdo. D fuoco e direttrice ll equzione Utilizzndo le formule di sostituzione (ce NON vnno ricordte memori) simo già in grdo di risolvere un prolem di questo tipo: scrivere l equzione di un prol prtendo dll conoscenz di fuoco e direttrice. Risolvimo questo prolem per l prol il cui grfico er riportto ll inizio di pg.. Dl disegno qui finco si determinno fcilmente le coordinte del fuoco F e l equzione dell direttrice d, quindi i tre prmetri, k, d Il fuoco è F ( -) quindi e k L direttrice equzione quindi d L Prol pg.

4 L equzione stndrd dell prol è c Dto ce conoscimo, k, d possimo clcolre trmite le formule di sostituzione i vlori dei tre prmetri,, c e sostituirli infine nell equzione stndrd. ( ) ( ) d k d k ( ) ( ) d k d k c Aimo quindi clcolto i tre prmetri: c L equzione dell nostr prol srà: È istruttivo costruire un tell di vlori, e confrontre le coordinte dei punti ottenuti d tle tell con quelli riportti nel grfico. A tle scopo ssegnimo i vlori 0,,,,, 5, 6 e clcolimo i corrispondenti vlori di : ossi il punto 0 A 6 ossi il punto ( ) B 7 ossi il punto 7 C 8 ossi il punto ( ) V ossi il punto 7 ' C ossi il punto ( ) 5 ' B ossi il punto 6 ' A Posizionte i punti nel grfico e notte l loro simmetri. L Prol pg.

5 Formule importnti per le posizioni di fuoco e direttrice L conoscenz dell equzione di un prol comport il conoscere potenzilmente tutte le sue proprietà, quindi nce l posizione del fuoco e dell direttrice. Dl punto di vist dei clcoli questo signific clcolre i vlori dei prmetri, k, d ricvndoli dll conoscenz dei prmetri,, c. Le formule di sostituzione (d NON memorizzre) : c k d ( k d ) k d ( k d ) costituiscono un sistem di tre equzioni in cui le tre incognite sono or, k, d. Risolvendo tle sistem con clcoli molto loriosi, ce omettimo, otterremo le formule ce ci servono: k d In queste formule c è l usule discriminnte dell equzione di grdo. DA MEMORIZZARE Equzione stndrd prol: c Coordinte del fuoco F: F Equzione dell direttrice d : L Prol pg.5

6 Simo or in grdo di risolvere il prolem inverso l precedente e cioè prtendo dll equzione dell prol ricvre l posizione di fuoco e direttrice. Utilizzimo l stess prol del prolem precedente, ce vev equzione: Aimo quindi: c Clcolimo l sciss del fuoco: F Clcolimo l ordint del fuoco: c F Quindi il fuoco è: ( ) F Ricvimo l equzione dell direttrice: c Quindi l equzione dell direttrice è: L Prol pg.6 Per tle prol conoscimo già fuoco e direttrice il ritrovre gli stessi vlori srà un conferm ce le formule ce stimo usndo sono corrette.

7 Asse di simmetri e vertice dell prol L equzione dell sse di simmetri dell prol è molto semplice. Si trtt dell rett verticle ce pss per il fuoco F e dunque l su equzione srà dt d : F e quindi L sciss del vertice è l stess del fuoco e quindi V L ordint del vertice è l medi ritmetic tr l ordint del fuoco e l ltezz dell direttrice, vremo quindi: V ( k d ) V Coordinte del vertice V: Equzione dell sse di simmetri: V Come esercizio lo studente diligente clcoli le coordinte del vertice per l prol del prolem precedente, l cui equzione er. L Prol pg.7

8 PAGINA RIASSUNTIVA SULLA PARABOLA CON ASSE VERTICALE Equzione stndrd prol: c Coordinte del vertice V: V Equzione dell sse di simmetri: Coordinte del fuoco F: F Equzione dell direttrice d : L Prol pg.8

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