Prodotto scalare. Piani e rette nello spazio. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Transcript

1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Prodotto scalare in n. Piani e rette nello spazio. 17 Gennaio 2016 Indice 1 Prodotto scalare nello spazio iassunto delle proprietà del prodotto scalare nello spazio Coordinate cartesiane ortogonali Il prodotto scalare in coordinate cartesiane Angolo tra due vettori Prodotto scalare standard in n Proiezione di un vettore lungo un vettore in n Il teorema di Pitagora La disuguaglianza di Schwarz Angolo tra due vettori in n Piani nello spazio Equazione vettoriale e equazione cartesiana di un piano nello spazio Equazione di un piano in forma normale Distanza di un punto da un piano Fascio di piani Equazioni parametriche della retta Esempi Equazione cartesiana del piano Esempi Condizioni di parallelismo e ortogonalità. I casi: retta-retta, piano-piano, retta-piano Esempi Pag. 1

2 5 Equazioni cartesiane di rette e equazioni parametriche di piani Esempi Esercizi 21 7 Soluzioni 24 Pag. 2

3 1 Prodotto scalare nello spazio 1.1 iassunto delle proprietà del prodotto scalare nello spazio icordiamo che nello spazio tridimensionale, fissata un unità di misura delle lunghezze, si definisce il prodotto scalare fra due vettori nel modo seguente: Definizione 1.1 Il prodotto scalare di due vettori a, b è il numero (positivo, negativo o nullo) dato da a b = a b cos ϑ (Definizione intrinseca di prodotto scalare) dove a, b denotano le lunghezze di a, b e ϑ è l angolo compreso tra di essi. Si noti che, in particolare, il prodotto scalare di un vettore con se stesso è uguale al quadrato della sua lunghezza: a a = a 2 (Quadrato della lunghezza) Definizione 1.2 Due vettori a, b si dicono ortogonali se a b = 0 (Vettori ortogonali) Teorema 1.3 (Proiezione di un vettore lungo un altro vettore) ( ) a b P b a = b (Proiezione di a lungo b) b b In particolare, se u è unitario ( u = 1): P u a = (a u) u (Proiezione lungo un vettore u unitario) a P u a u Figure 1: Il vettore P ua = (a u) u è la proiezione ortogonale di a lungo il vettore unitario u. Teorema 1.4 (Bilineare simmetrico) Il prodotto scalare è bilineare simmetrico: a b = b a (1.1) (λa) b = λ (a b) (1.2) (a 1 + a 2 ) b = a 1 b + a 2 b (1.3) Pag. 3

4 1.2 Coordinate cartesiane ortogonali Introduciamo nello spazio tridimensionale un sistema di coordinate cartesiane ortogonali. z e 3 = (0, 0, 1) 0 e 1 = (1, 0, 0) e 2 = (0, 1, 0) y x Figure 2: Base canonica in 3 e assi cartesiani ortogonali. icordiamo che questo significa fissare: 1) un punto O come origine; 2) una base ortonormale di vettori e 1, e 2, e 3 : ciascuno di questi tre vettori ha lunghezza unitaria e, a due a due, sono ortogonali tra loro: { 1, se i = j e i e j = δ ij = (1.4) 0, se i j Ogni punto X dello spazio si identifica con il vettore X che ha come primo estremo l origine e come secondo estremo il punto X. Se il vettore X si scrive X = xe 1 + ye 2 + ze 3 (1.5) identifichiamo X con la terna ordinata delle sue coordinate cartesiane (x, y, z), e scriviamo Ad esempio, avremo: X = (x, y, z) e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1), (1.6) Lo spazio 3 delle terne ordinate di numeri reali diventa allora un modello per lo spazio tridimensionale; esattamente come succede in dimensione due, dove un modello per il piano della geometria è 2. Le tre rette, tra loro ortogonali, passanti per l origine e dirette come e 1, e 2, e 3 si chiamano assi coordinati (oppure, asse x, asse y, asse z). Pag. 4

5 1.3 Il prodotto scalare in coordinate cartesiane Teorema 1.5 In coordinate cartesiane ortogonali, il prodotto scalare di due vettori a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) è dato da a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (1.7) Dimostrazione Usando la bilinearità, la simmetria e le (1.4), si ha: a b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) 3 = a i b j e i e j = = i,j=1 3 a i b j δ ij i,j=1 3 a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 i=1 1.4 Angolo tra due vettori Sappiamo che il prodotto scalare di due vettori non nulli a, b è espresso, in forma geometrica intrinseca (cioè, indipendente dalle coordinate), da a b = a b cos ϑ (1.8) dove a, b denotano le lunghezze di a, b e ϑ è l angolo compreso tra di essi. Dunque cos ϑ = a b a b In coordinate cartesiane ortogonali, se a = (a 1, a 2, a 3 ) e b = (b 1, b 2, b 3 ), la (1.9) si scrive: cos ϑ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a a a2 3 b b b2 3 (1.9) (1.10) 1.5 Prodotto scalare standard in n Nello spazio tridimensionale 3, dove sono familiari dalla geometria le nozioni di lunghezza, angolo e coseno di un angolo, abbiamo definito il prodotto scalare standard a b = a b cos ϑ (1.11) e abbiamo poi dimostrato che, in coordinate cartesiane ortogonali, se a = (a 1, a 2, a 3 ) e b = (b 1, b 2, b 3 ), il prodotto scalare si scrive a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (1.12) Per analogia con 3, anche nello spazio n-dimensionale n (n intero positivo qualunque) delle n-ple ordinate dei numeri reali si definisce il prodotto scalare standard. In questo caso, l approccio sarà, almeno inizialmente, puramente algebrico. Pag. 5

6 Definizione 1.6 Il prodotto scalare standard (o prodotto interno, o prodotto scalare euclideo) in n a ogni coppia a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) di vettori di n associa il numero reale (Si legge a scalare b o a interno b.) a b = a 1 b a n b n (1.13) Si dimostra facilmente che il prodotto scalare standard in n è bilineare simmetrico, cioè soddisfa le seguenti proprietà. 1. Bilinearità (ossia, linearità in entrambi gli argomenti): Per ogni a, b, c n, per ogni λ, 2. Simmetria: Per ogni a, b n, a (b + c) = a b + a c a (λb) = λ(a b) (a + b) c = a c + b c (λa) b = λ(a b) 3. Positività (o definita positività): Per ogni a non nullo in n, a b = b a a a > Proiezione di un vettore lungo un vettore in n Teorema 1.7 (Proiezione di un vettore lungo un altro vettore) Sia b n un vettore non nullo. Ogni vettore a n si scrive in modo unico come con a parallelo a b e a ortogonale a b. Si ha: a = a + a (1.14) e, di conseguenza, a = a b b b b (1.15) a = a a b b b b (1.16) a a a b Figure 3: Il vettore a è la proiezione ortogonale di a lungo b, o componente di a lungo b. Pag. 6

7 Dimostrazione Il nostro obiettivo è di trovare un vettore a che sia parallelo a b, cioè multiplo di b, e tale che la differenza a a sia ortogonale a b. Ora, un multiplo tb (t ) del vettore b ha la proprietà che a tb è ortogonale a b se e solo se ossia (a tb) (b) = 0 a b t(b b) = 0 Quest ultima è un equazione di primo grado in t, la cui unica soluzione è t = a b b b (Si noti che b b 0, perché b 0). Sostituendo tale valore di t, troviamo che la proiezione ortogonale di a lungo b è data da 1.15: a = a b b b b (1.17) Allora, per differenza, avremo la 1.16: a = a a = a a b b b b (1.18) Si noti che se, in particolare, il vettore u è unitario, cioè u u = 1, allora la proiezione a di a lungo u è data dalla formula più semplice: a = (a u) u (Se u = 1). (1.19) Si osservi anche che, sostituendo al posto di b un suo qualunque multiplo (non nullo) λb (λ ), la proiezione a non cambia. Infatti, a λb λb λb λb = a b b b b Dunque, la proiezione a si può vedere come la proiezione di a lungo la retta orientata del vettore b. 1.7 Il teorema di Pitagora Teorema 1.8 (Teorema di Pitagora) Se a, b n sono ortogonali, allora a + b 2 = a 2 + b 2 (1.20) Dimostrazione a + b 2 = (a + b) (a + b) = v v + 2 v w + v v = a 2 + b 2 Pag. 7

8 1.8 La disuguaglianza di Schwarz Teorema 1.9 (Disuguaglianza di Schwarz) Per tutti i vettori a, b in n vale la disuguaglianza a b a b (1.21) (A sinistra, a b denota il valore assoluto del numero reale a b; a destra, a b denota il prodotto della lunghezza di a per la lunghezza di b.) Se a = (x 1,..., x n ) e b = (y 1,..., y n ), la disuguaglianza (1.21) si scrive: n x i y i = n x 2 n i yi 2 Prima dimostrazione (della disuguaglianza di Schwarz (1.21)). i=1 Se b = 0, la disuguaglianza (1.21) è ovvia, perché entrambi i membri sono zero. Supponiamo allora b diverso dal vettore nullo. Si consideri la funzione q(t) della variabile reale t (i vettori a, b sono fissi) definita da q(t) = a + tb 2 Facendo i conti, otteniamo: i=1 i=1 q(t) = a + tb 2 = (a + tb) (a + tb) = (a a) + 2 (a b) t + (b b) t 2 = a 2 + 2(a b) t + b 2 t 2 Vediamo allora che q(t) è un trinomio di secondo grado in t. Del resto q(t) 0 per ogni t, perché q(t) = a + tb 2 è il quadrato di una norma. Allora, come è ben noto, il discriminante del trinomio q(t) deve essere minore o uguale a zero: (a b) 2 a 2 b 2 0 Questa disuguaglianza equivale alla disuguaglianza (1.21). Seconda dimostrazione (della disuguaglianza di Schwarz (1.21)). Se b = 0 la disuguaglianza (1.21) è ovvia, perché entrambi i membri sono zero. Supponiamo allora b 0. Scriviamo a = a + a con a multiplo di b e a ortogonale a b. Per il teorema di Pitagora, a 2 = a 2 + a 2 a 2 = = ( ) a b 2 b b b = a b b b a b 2 b 2 2 b 2 Moltiplicando per b 2 si ha la tesi. Pag. 8

9 1.8.1 Angolo tra due vettori in n Nel piano ordinario, o nello spazio ordinario, dove la nozione di angolo tra due vettori è già nota per via geometrica, il prodotto interno (il prodotto scalare standard) è dato, come è noto, dal prodotto della lunghezza di a, per la lunghezza di b, per il coseno dell angolo da essi individuato: a b = a b cos ϑ (1.22) La disuguaglianza di Schwarz permette di definire l angolo tra due vettori nello spazio n. Si procede nel modo seguente. Dalla disuguaglianza di Schwarz (1.21) segue che, se a e b sono entrambi non nulli, il valore assoluto del rapporto a b a b è minore o uguale a 1, vale a dire Poiché la funzione è invertibile, esiste un unico ϑ in [0, π] tale che 1 a b a b 1 [0, π] cos [ 1, 1] cos ϑ = a b a b (1.23) Di conseguenza, esiste un unico angolo ϑ soddisfacente 0 ϑ π, tale che cos ϑ = a b a b (1.24) Tale angolo si chiama l angolo tra a e b. Con questa definizione di angolo tra due vettori, l uguaglianza a b = a b cos ϑ (1.25) vale in un qualunque spazio vettoriale euclideo (di qualunque dimensione, anche infinito-dimensionale). Pag. 9

10 2 Piani nello spazio 2.1 Equazione vettoriale e equazione cartesiana di un piano nello spazio Vediamo come trovare un equazione che rappresenti un piano P nello spazio. Sia n = (a, b, c) un qualunque vettore non nullo ortogonale al piano P e sia X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un punto (qualunque) appartenente al piano. Un punto X = (x, y, z) appartiene al piano P se, e solo se, il vettore X X 0 è ortogonale a n. Dunque l equazione del piano P è, in forma vettoriale, n (X X 0 ) = 0 (2.1) n X 0 X X 0 X P n O Figure 4: Un punto X appartiene al piano P passante per il punto X 0 e ortogonale al vettore n se, e solo se, il vettore X X 0 è ortogonale a n. In coordinate cartesiane ortogonali, l equazione vettoriale (2.1) del piano P si scrive Facendo i conti, l equazione (2.2) si scrive dove si è posto d = ax 0 by 0 cz 0. a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (2.2) ax + by + cz + d = 0 (2.3) iassumiamo. Ogni piano P è rappresentato da un equazione di primo grado in x, y, z ax + by + cz + d = 0 (2.4) dove almeno uno dei tre coefficienti a, b, c è diverso da zero. La (2.4) si chiama equazione cartesiana del piano. Il vettore non nullo v = (a, b, c) ha una interpretazione geometrica: è un vettore ortogonale al piano P. Pag. 10

11 Viceversa, sia ax + by + cz + d = 0 (2.5) una qualunque equazione di primo grado in x, y, z, con almeno uno dei tre coefficienti a, b, c non nullo. Dimostriamo che l insieme delle soluzioni dell equazione (2.5), cioè l insieme dei punti X = (x, y, z) in 3 le cui coordinate soddisfano (2.5), è un piano nello spazio. Infatti, sia X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un punto (qualunque) dello spazio le cui coordinate soddisfino l equazione (2.5): ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0 (2.6) (Un tale punto X 0 esiste sicuramente. Ad esempio, se c 0, basta dare a x un valore arbitrario x 0, a y un valore arbitrario y 0, e poi ricavare il valore z 0 di z risolvendo l equazione ax 0 +by 0 +cz +d = 0.) Da questa uguaglianza ricaviamo d = ax 0 by 0 cz 0. Sostituendo questo valore di d in (2.5), possiamo scrivere l equazione (2.5) come oppure, in forma vettoriale, come a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (2.7) v (X X 0 ) = 0 (2.8) dove v = (a, b, c) e X P 0 = (x x 0, y y 0, z z 0 ). Quest ultima equazione (2.8) ha un evidente significato geometrico: rappresenta il luogo dei punti X dello spazio per i quali il vettore X X 0 è ortogonale al fissato vettore v. Dunque, anche l equazione (2.5), equivalente a (2.8), rappresenta un piano: precisamente il piano passante per X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e ortogonale al vettore v = (a, b, c). iassumendo: Ogni piano nello spazio 3 si rappresenta con un equazione cartesiana ax + by + cz + d = 0 (2.9) dove almeno uno dei coefficienti a, b, c non è nullo. Viceversa, ogni equazione di questo tipo rappresenta un piano. Il vettore v = (a, b, c) le cui componenti sono i coefficienti di x, y, z, è ortogonale al piano di equazione ax + by + cz + d = 0. Si noti un caso particolare. Se il piano P passa per l origine, nelle equazioni (2.1) e (2.2) possiamo scegliere P 0 = O; quindi l equazione di un piano passante per l origine è, in forma vettoriale e, in forma cartesiana, n n X = 0 (2.10) ax + by + cz = 0 (2.11) O X P Figure 5: Sia P un piano passante per l origine; sia n = (a, b, c) vettore non nullo ortogonale a P. Allora un punto X = (x, y, z) appartiene al piano P se, e solo se, X n = 0. Questa equazione vettoriale si legge, in coordinate cartesiane ortogonali: ax + by + cz = 0. Quest ultima è dunque l equazione cartesiana di un piano passante per l origine. Pag. 11

12 2.2 Equazione di un piano in forma normale Sia P un piano, non passante per l origine, di equazione cartesiana ax + by + cz + d = 0 (d 0) (2.12) A meno di moltiplicare il primo membro per 1, possiamo suppporre d < 0. icordiamo che n = (a, b, c) è un vettore ortogonale al piano. Se normalizziamo n (cioè lo dividiamo per la sua lunghezza n ), otteniamo il vettore unitario (cioè di lunghezza 1) ˆn = n n = ( a a2 + b 2 + c, 2 b a2 + b 2 + c 2, c a2 + b 2 + c 2 ) (2.13) Le componenti di ˆn, date da (2.13), sono i coseni degli angoli ε 1, ε 2, ε 3 che ˆn forma con i vettori e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) (i versori degli assi coordinati). Infatti, usando la formula che esprime l angolo fra due vettori unitari, cos ε 1 = ˆn e 1 = a a2 + b 2 + c 2, cos ε 2 = ˆn e 2 = b a2 + b 2 + c 2, cos ε 3 = ˆn e 3 = c a2 + b 2 + c 2 (2.14) Se dividiamo entrambi i membri dell equazione (2.12) per n = a 2 + b 2 + c 2 otteniamo allora l equazione (che ovviamente rappresenta ancora lo stesso piano P) ossia a a2 + b 2 + c 2 x + b a2 + b 2 + c 2 y + c a2 + b 2 + c 2 z + d a2 + b 2 + c 2 = 0 (2.15) cos ε 1 + y cos ε 2 + z cos ε 3 = δ (2.16) dove si è posto δ = d/ a 2 + b 2 + c 2. La (2.16) si chiama equazione del piano in forma normale. In forma vettoriale, l equazione in forma normale (2.16) si scrive X ˆn = δ (2.17) L equazione (2.17) esprime il fatto che per tutti i punti X che appartengono al piano P, e soltanto per essi, la proiezione Pˆn X = (X ˆn) ˆn è data da Pˆn X = (X ˆn) ˆn = δ ˆn (2.18) dove δ è positivo. Il numero δ è la distanza del piano dall origine, come è spiegato nella figura qui sotto. Pag. 12

13 H X P ˆn ϑ O Figure 6: Sia ˆn il vettore unitario, spiccato dall origine, ortogonale al piano P e che punta verso P. Sia H il punto in cui la semiretta di ˆn interseca P. Poniamo OH = δ; allora δ è la distanza del piano dall origine. Un punto X appartiene al piano P se, e solo se, la proiezione Pˆn X = (X ˆn) ˆn è uguale al vettore OH = δˆn, ossia se, e solo se, X ˆn = δ. Abbiamo così dimostrato: La distanza del piano ax + by + cz + d = 0 dall origine, è il valore asoluto di d(o, P) = d (2.19) a2 + b 2 + c Distanza di un punto da un piano Teorema 2.1 Nello spazio, riferito a un sistema di coordinate cartesiane, la distanza del punto Z = (z 1, z 2, z 3 ) dal piano P di equazione cartesiana ax + by + cz + d = 0 (2.20) è data da: d(z, P) = az 1 + bz 2 + cz 3 + d (2.21) a2 + b 2 + c 2 Dimostrazione Poniamo n = (a, b, c) e ˆn = n n = ( a a2 + b 2 + c, 2 L equazione di P in forma normale è a a2 + b 2 + c 2 x + b a2 + b 2 + c 2 y + b a2 + b 2 + c 2, c a2 + b 2 + c 2 z + c a2 + b 2 + c 2 ) (2.22) d a2 + b 2 + c 2 = 0 (2.23) Pag. 13

14 o, in forma vettoriale, X ˆn δ = 0 (2.24) dove δ = d/ a 2 + b 2 + c 2. Sia ora X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un punto (qualunque) appartenente a P. Pertanto, X 0 soddisfa X 0 ˆn δ = 0 (2.25) La figura mostra che: Il valore assoluto del prodotto scalare (Z X 0 ) ˆn (2.26) è uguale alla distanza d(z, P) del punto Z dal piano P. Dunque, la distanza d(z, P) del punto Z dal piano P è data da d(z, P) = (Z X 0 ) ˆn = Z ˆn X 0 ˆn = Z ˆn δ L espressione finale Z ˆn δ è il valore che il primo membro dell equazione normale (2.24) assume quando si sostituisce al posto di X il punto Z = (z 1, z 2, z 3 ). Dunque d(z, P) = a a2 + b 2 + c z b a2 + b 2 + c z c a2 + b 2 + c z d (2.27) a2 + b 2 + c 2 = az 1 + bz 2 + cz 3 + d (2.28) a2 + b 2 + c 2 n Z Z = (z 1, z 2, z 3 ) ˆn X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) Y Z P Figure 7: Il punto del piano P a distanza minima dal punto Z è l intersezione Z del piano P con la retta passante per Z e ortogonale a P. Infatti, se Y è un qualunque altro punto di P, nel triangolo rettangolo ZZ Y, l ipotenusa ZY è più lunga del cateto ZZ. Per calcolare la distanza d(z, P) non è però necessario trovare il punto Z, proiezione di Z sul piano P. Infatti, se X 0 è un qualunque punto appartenente a P, la distanza d(z, Z ) è uguale al valore assoluto del prodotto scalare (Z X 0) ˆn, perché questo prodotto scalare è la lunghezza (con segno) della proiezione del vettore Z P 0 lungo il vettore unitario ˆn. Pag. 14

15 In modo del tutto analogo, si dimostra che, nel piano 2, la distanza del punto Z = (z 1, z 2 ) dalla retta r di equazione ax + by + c = 0 è data da d(z, r) = az 1 + bz 2 + c (2.29) a2 + b Fascio di piani Fissata, nello spazio tridimensionale, una retta r, l insieme dei piani P dello spazio che contengono r (nel senso che r P) si dice fascio di piani di sostegno la retta r. Proposizione 2.2 Sia r una retta dello spazio tridimensionale, di equazioni cartesiane { ax + by + cz + d = 0 r : a x + b y + c z + d = 0 I piani del fascio di sostegno r sono esattamente quelli la cui equazione è del tipo: (2.30) λ (ax + by + cz + d) + µ (a x + b y + c z + d ) = 0 (2.31) dove λ e µ sono numeri arbitrari (non entrambi nulli). Dimostrazione. 1) Dimostriamo che ogni piano 1 di equazione cartesiana (2.31) appartiene al fascio il cui sostegno è la retta r. A questo scopo, sia P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un punto qualunque della retta r: Allora, per ogni λ, µ, anche ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0, a x 0 + b y 0 + c z 0 + d = 0 λ (ax 0 + by 0 + cz 0 + d) + µ (a x 0 + b y 0 + c z 0 + d ) = 0 Quindi tutti i piani (2.31) contengono P 0. Poiché P 0 è un punto arbitrario della retta r, si conclude che ogni piano del tipo (2.31) include la retta r. 2) Dimostriamo che se un piano P appartiene al fascio di sostegno r (cioè, r P), allora ha equazione del tipo (2.31). A questo scopo, fissiamo un punto P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) che appartenga al piano P, ma non alla retta r, consideriamo un generico piano di equazione (2.31) e imponiamo la condizione λ (ax 1 + by 1 + cz 1 + d) + µ (a x 1 + b y 1 + c z 1 + d ) = 0 (2.32) che esprime l appartenenza del punto P 1 al piano (2.31). Ora si vede subito che questa equazione, nelle incognite λ, µ, ha sempre infinite soluzioni, che sono tutte proporzionali 2 tra loro e quindi individuano uno stesso piano che, contenendo sia la retta r che il punto P 1, non può che coincidere con il piano assegnato P. Esempio cartesiane Cerchiamo un equazione cartesiana per il piano che contiene la retta r di equazioni { x y = 0 r : (2.33) x + y + 8z 1 = 0 1 L equazione (2.31), che si può scrivere (λa + µa )x + (λb + µb )y + (λc + µc )z + (λd + µd ) = 0 rappresenta effettivamente un piano, perché è di primo grado in x, y, z e non si può avere λa + µa = λb + µb = λc + µc = 0, perché altrimenti i piani ax + by + cz + d = 0 e a x + b y + c z + d = 0 sarebbero paralleli, il che è escluso. 2 Almeno uno dei due coefficienti A = ax 1 + by 1 + cz 1 + d e B = a x 1 + b y 1 + c z 1 + d è diverso da zero (altrimenti il punto P 1 apparterrebbe a r). Quindi le soluzioni (λ, µ) dell equazione Aλ + Bµ = 0 sono tutti i multipli della coppia (B, A). Pag. 15

16 e che passa per il punto P = (0, 1, 1). L equazione del fascio di sostegno r è λ(x y) + µ(x + y + 8z 1) = 0, λ, µ P = (0, 1, 1) Il passaggio per il punto P = (0, 1, 1) impone la condizione λ(0 1) + µ( ) = 0, ossia λ + 8µ = 0 le cui soluzioni sono tutti i multipli della coppia ordinata (8, 1). Quindi un equazione del piano cercato è 8(x y) + (x + y + 8z 1) = 0 ossia 9x 7y + 8z 1 = 0 3 Equazioni parametriche della retta In forma vettoriale, un equazione parametrica per la retta r passante per il punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e parallela al vettore v = (l, m, n) (detto vettore di direzione della retta) è X = P 0 + tv t In coordinate, posto X = (x, y, z), la retta r si rappresenta mediante le equazioni parametriche x = x 0 + lt y = y 0 + mt t (3.1) z = z 0 + nt Considerazioni del tutto analoghe valgono, con ovvie modifiche, per le rette parametrizzate in 2. Le equazioni parametriche di tali rette sono del tipo { x = x0 + lt (3.2) y = y 0 + mt dove t, v = (l, m) è un vettore di direzione della retta e (x 0, y 0 ) è un punto della retta. 3.1 Esempi 1. Le equazioni parametriche della retta passante per P 0 = (3, 5, 7) e avente vettore di direzione v = (1, 2, 1) sono: x = 3 + t y = 5 + 2t t z = 7 t 2. Le equazioni parametriche dell asse x sono: x = t y = 0 z = 0 t Pag. 16

17 3. L equazione parametrica in forma vettoriale della retta contenente i punti (distinti) A e B è : X = A + (B A)t, t In componenti, se A = (a 1, a 2, a 3 ), B = (b 1, b 2, b 3 ) e X = (x, y, z) si ha: x = a 1 + (b 1 a 1 )t y = a 2 + (b 2 a 2 )t t z = a 3 + (b 3 a 3 )t 4. Le due rette di equazioni parametriche x = 2 + t y = 4 + 3t z = 1 + 7t e x = 2u y = 6u z = 5 14u t, u, sono parallele perché i loro rispettivi vettori di direzione v = (1, 3, 7) e v = ( 2, 6, 14) sono proporzionali. 4 Equazione cartesiana del piano In 3 si consideri un piano π, un punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) appartenente a π e un vettore non nullo v = (a, b, c) ortogonale a π. Allora X = (x, y, z) 3 appartiene a π se e solo se il vettore X P 0 = (x x 0, y y 0, z z 0 ) è ortogonale a v = (a, b, c), cioè se e solo se il prodotto scalare v (X P 0 ) è nullo: (x, y, z) appartiene a π v (X P 0 ) = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 Diremo allora che l equazione cartesiana del piano passante per P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e ortogonale al vettore v = (a, b, c) è a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (4.1) Eliminando le parentesi, l equazione (4.1) si scrive nella forma: ax + by + cz + d = 0 (4.2) Si tratta di una equazione di primo grado in x, y, z, con (a, b, c) (0, 0, 0). Naturalmente ogni altra equazione del tipo (λa)x + (λb)y + (λc)z + (λd) = 0, per ogni λ 0, rappresenta ancora lo stesso piano π. Viceversa, ogni equazione del tipo (4.2), con a, b, c non tutti e tre nulli, rappresenta un piano; supposto ad esempio c 0, l equazione (4.2) rappresenta il piano ortogonale a (a, b, c), passante per (0, 0, d c ) (Esercizio). Il piano di equazione ax + by + cz + d = 0 contiene l origine se e solo se d = 0. iassumendo: si consideri una funzione 3 f, f(x, y, z) = ax + by + cz + d, con (a, b, c) (0, 0, 0). Una tale funzione si dice affine. Allora l insieme degli zeri di f, denotato f 1 (0), cioè l insieme f 1 (0) = {(x, y, z) 3 f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0} Pag. 17

18 è un piano in 3 ; si dice che ax + by + cz + d = 0 è una equazione cartesiana del piano. Attenzione: qui si usa la notazione f 1 (0) per denotare la controimmagine di 0 (zero) tramite f, cioè l insieme dei punti (x, y, z) dello spazio per i quali f(x, y, z) = 0; il simbolo usato non denota la funzione inversa di f (che non è mai invertibile). 4.1 Esempi 1. Il piano passante per il punto P 0 = (2, 1, 7) e ortogonale al vettore v = (3, 2, 5) ha equazione ossia 3x + 2y + 5z 43 = 0. 3(x 2) + 2(y 1) + 5(z 7) = 0 2. Il piano passante per l origine e ortogonale a (1, 1, 1) ha equazione: x + y + z = Il piano yz ha equazione x = Il piano passante per il punto P 0 = (0, 0, 5) e ortogonale a (0, 0, 1) (cioè parallelo al piano xy) è z 5 = Condizioni di parallelismo e ortogonalità. I casi: retta-retta, pianopiano, retta-piano ette parallele. Siano r e r due rette in 3, rispettivamente con vettori di direzione v e v. La retta r è parallela a r se v è multiplo di v, cioè se esiste un numero h 0 per il quale v = hv. In modo equivalente, due rette r e r sono parallele, se: 1) sono complanari (cioè esiste un piano che le contiene entrambe); 2) o sono coincidenti, oppure non hanno punti in comune. Due rette r e r di equazioni parametriche x = x 0 + lt r : y = y 0 + mt z = z 0 + nt x = x r 0 + l t : y = y 0 + m t z = z 0 + n t (4.3) sono parallele se e solo se i loro vettori di direzione (a, b, c) e (a, b, c ) sono proporzionali, cioè se esiste un numero λ per il quale a = λa, b = λb, c = λc ette ortogonali. Due rette r e r di equazioni parametriche x = x 0 + lt x = x r : y = y 0 + mt r 0 + l t : y = y 0 + m t z = z 0 + nt z = z 0 + n t (4.4) sono ortogonali se e solo se i loro vettori di direzione (l, m, n) e (l, m, n ) sono ortogonali, cioè se e solo se l l + m m + n n = 0 Piani paralleli. Pag. 18

19 Due piani π e π di equazioni cartesiane ax + by + cz + d = 0, a x + b y + c z + d = 0 sono paralleli se e solo se i vettori (a, b, c), (a, b, c ) (ortogonali a π e π, rispettivamente) appartengono alla stessa retta, cioè se e solo se esiste un numero λ per il quale a = λa, b = λb, c = λc Se tale condizione è verificata e inoltre d = λd, allora π e π sono (paralleli e) coincidenti; se invece d λd, sono paralleli distinti. Piani ortogonali. Due piani π e π rispettivamente di equazioni cartesiane ax + by + cz + d = 0, a x + b y + c z + d = 0 sono ortogonali se e solo se i vettori (a, b, c), (a, b, c ) sono ortogonali, cioè se e solo se a a + b b + c c = 0 Ortogonalità piano-retta. Un piano e una retta π : ax + by + cz + d = 0 x = x 0 + lt r : y = y 0 + mt z = z 0 + nt sono ortogonali tra loro se e solo se il vettore (a, b, c), ortogonale a π, e il vettore di direzione (l, m, n) della retta r sono multipli, cioè se e solo se esiste un numero ρ per il quale a = ρ l, b = ρ m, c = ρ n (4.5) Parallelismo piano-retta. Un piano e una retta π : ax + by + cz + d = 0 x = x 0 + lt r : y = y 0 + mt z = z 0 + nt sono paralleli tra loro se e solo se il vettore (a, b, c), ortogonale a π, e il vettore di direzione (l, m, n) della retta r sono ortogonali, cioè se e solo se a l + b m + c n = 0 (4.6) Mutua posizione di due rette in 3. Due rette r e r in 3, rispettivamente con vettori di direzione v e v, si dicono: Pag. 19

20 Parallele, se hanno la stessa direzione, cioè se i loro vettori di direzione v e v sono multipli uno dell altro; Sghembe se non sono complanari, cioè se non esiste alcun piano che le contiene entrambe. Incidenti, se la loro intersezione r r è un punto (cioè se hanno esattamente un punto in comune). Si noti che ogni retta è parallela a se stessa. iassumendo: se due rette nello spazio hanno la stessa direzione, sono parallele; se invece non hanno la stessa direzione, ci sono due casi possibili: sono incidenti se la loro intersezione è un punto, sono sghembe se la loro intersezione è vuota. 4.3 Esempi. 1. Le due rette x = 2 + t r : y = 7 + 2t z = t x = 1 2t r : y = 3 4t z = 1 + 2t sono parallele. Infatti i loro vettori di direzione, rispettivamente v = (1, 2, 1) e v = ( 2, 4, 2), sono proporzionali (v = 2v). 2. I due piani π : x + y z + 7 = 0, π : 2x + 2y 2z + 3 = 0 sono paralleli e distinti. Sono paralleli, perché i vettori (a, b, c) = (1, 1, 1) e (a, b, c ) = (2, 2, 2), rispettivamente ortogonali a π e π, sono proporzionali tra loro: (a, b, c ) = 2(a, b, c); sono paralleli distinti, perché (1, 1, 1, 7) e (2, 2, 2, 3) non sono proporzionali. 3. I due piani π : x + 2y + 4z + 1 = 0, π : 2x + 3y 2z + 7 = 0 sono ortogonali. Infatti i vettori (a, b, c) = (1, 2, 4) e (a, b, c ) = (2, 3, 2) sono ortogonali tra loro (il loro prodotto scalare è zero). 4. Il piano e la retta π : x + y + 3z + 1 = 0 x = t r : y = 1 3 t z = 1 + t sono ortogonali tra loro perché il vettore (a, b, c) = (1, 1, 3), ortogonale a π, è multiplo del vettore di direzione (l, m, n) = ( 1 3, 1 3, 1) della retta r. (4.7) (4.8) 5 Equazioni cartesiane di rette e equazioni parametriche di piani Siano π e π due piani nello spazio, di equazioni ax + by + cz + d = 0 e a x + b y + c z + d = 0, rispettivamente. Se non sono paralleli tra loro, la loro intersezione π π = r è una retta dello spazio; un punto (x, y, z) dello spazio appartiene a r se e solo se soddisfa il sistema r : { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 (5.1) Pag. 20

21 Si dice che (5.1) è una rappresentazione della retta r mediante (un sistema di) equazioni cartesiane. Naturalmente, esistono infinite coppie di piani la cui intersezione è r; quindi una stessa retta si può rappresentare come sistema di equazioni cartesiane in infiniti modi diversi. Un piano π nello spazio può anche essere descritto in forma parametrica, nel modo seguente. Siano V = (v 1, v 2, v 3 ) e W = (w 1, w 2, w 3 ) due vettori (spiccati dall origine) paralleli a π e sia P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un punto di π. Allora il piano π è l insieme dei punti X = (x, y, z) del tipo X = P 0 + tv + uw al variare dei parametri t, u in. Infatti, l insieme di punti {tv +uw, t, u } è il piano π 0 passante per l origine e parallelo a π; se si trasla tale piano π 0 del vettore OP 0, si ottiene il piano π. In componenti, le equazioni parametrciche del piano π si scrivono x = x 0 + v 1 t + w 1 u π : y = y 0 + v 2 t + w 2 u t, u z = z 0 + v 3 t + w 3 u (5.2) 5.1 Esempi 1. L asse delle x è intersezione del piano di equazione z = 0 (il piano xy) e del piano di equazione y = 0 (il piano xz). Quindi equazioni cartesiane per l asse delle x sono { y = 0 z = 0 2. La retta di 3, bisettrice del primo e terzo quadrante del piano xy, ha equazioni cartesiane { x y = 0 z = 0 3. Equazioni parametriche per il piano passante per P 0 = (1, 2, 5) e parallelo ai vettori v = (2, 5, 7) e w = (1, 0, 3) sono: x = 1 + 2t + u y = 2 + 5t t, u z = 5 + 7t + 3u 6 Esercizi Esercizio 6.1 Trovare equazioni parametriche per la retta r che contiene i punti A = (1, 2, 1) e B = (0, 1, 3). Esercizio 6.2 Stabilire se il punto P = (0, 2, 1) appartiene alla retta r di equazioni parametriche x = 3 + t y = 1 + 3t z = 2t Pag. 21

22 Esercizio 6.3 Determinare la retta r passante per A(1, 4, 7) e parallela alla retta s di equazioni parametriche x = 1 t y = 3 + 2t z = 4 + 2t Esercizio 6.4 Scrivere equazioni parametriche per la retta dello spazio che contiene il punto P = (0, 3, 5) ed è ortogonale al piano x = 0. Esercizio 6.5 Scrivere equazioni cartesiane per il piano ortogonale al vettore (1, 2, 3) e passante per il punto P = (1, 1, 4). Esercizio 6.6 Determinare l equazione della retta passante per A(7, 1 3, 2) e perpendicolare al piano π di equazione 5x 4y + z = 0. Esercizio 6.7 Determinare l equazione cartesiana del piano π passante per P = (1, 1, 2) e parallelo al piano π di equazione x 3y + z 1 = 0. Esercizio 6.8 Dimostrare la seguente proposizione: se l equazione di un piano non contiene la variabile y, cioè se è del tipo ax + cz + d = 0, allora il piano è parallelo all asse y (e similmente per le altre variabili). Esercizio 6.9 Nello spazio 3, si considerino il piano π di equazione x + y + z + 1 = 0 e i punti P = ( 1, 0, 1) e Q = (1, 2, α). A) Scrivere un vettore di direzione v per la retta che contiene P e Q; B) Trovare un vettore (a, b, c) ortogonale al piano π. C) Scrivere gli eventuali valori di α per i quali la retta P Q è parallela al piano π. D) Dire per quali eventuali valori di α la retta P Q è perpendicolare al piano π. Pag. 22

23 Esercizio 6.10 Nello spazio 3 sono assegnati il punto P = (0, 3, 4) e i due piani π e π di equazioni: π : x y z 1 = 0, π : 3x y + z 1 = 0. Esiste una retta contenente P = (0, 3, 4) e parallela sia al piano π che al piano π? Esercizio 6.11 Si considerino la retta r di equazioni parametriche x = 3 + t y = 1 + 3t t z = 2t e la retta s di equazioni parametriche x = u y = 1 u z = 1 u Stabilire se r e s sono parallele, incidenti o sghembe. Esercizio 6.12 (Piano per un punto contenente, una retta.) Sia r la retta di equazioni parametriche x = 1 + t y = 2t t z = 1 + 3t e sia Q = (1, 1 2, 3). Verificare che Q non appartiene a r e determinare un equazione cartesiana per il piano π passante per Q e contenente r. Esercizio 6.13 Data la retta r di equazioni { x + y z + 2 = 0 2x y + 5 = 0 determinare tutti i piani passanti: (a) per r e per il punto P = ( 1, 3, 0); (b) per r e per il punto Q = (0, 5, 7). Pag. 23

24 Esercizio 6.14 (Distanza di un punto da una retta.) Determinare la distanza tra il punto P = (1, 0, 1) e la retta r di equazioni parametriche x = t y = 1 t t z = 2t Esercizio 6.15 (Piano per un punto, parallelo a due vettori) Trovare l equazione cartesiana del piano π passante per P = (3, 4, 2) e parallelo ai vettori A = (2, 1, 0), B = (0, 3, 1). Esercizio 6.16 (Piano individuato da due rette incidenti.) Siano r e s due rette rispettivamente di equazioni parametriche r : x = t y = 1 t z = t t (a) Verificare che le rette r, s sono incidenti. s : x = 4 + 2u y = 1 u z = 2 + u (b) Trovare l equazione cartesiana del piano individuato da r e s. u Esercizio 6.17 (Simmetrico di un punto rispetto a un piano) Determinare il simmetrico del punto P = ( 1, 1, 3) rispetto al piano π di equazione 2x y + z + 1 = 0 Esercizio 6.18 (Distanza tra rette parallele) Siano r, s due rette di equazioni cartesiane, nell ordine { x + y 1 = 0 2y z = 0 { 2x + z 1 = 0 x + y 1 = 0 1. Verificare che le due rette sono parallele distinte. 2. Determinare la distanza tra r e s. 7 Soluzioni Esercizio 6.1 Pag. 24

25 x = 1 t y = 2 t z = 1 + 4t t Esercizio 6.2 Il punto P = (0, 2, 1) appartiene alla retta di equazioni parametriche solo se esiste un t per il quale 0 = 3 + t 2 = 1 + 3t 1 = 2t x = 3 + t y = 1 + 3t z = 2t t se e Queste tre equazioni sono ovviamente incompatibili (perché dalla prima si ricava t = 3, che non soddisfa le altre due). Quindi P non appartiene alla retta. Esercizio 6.3 x = 1 t y = 4 + 2t z = 7 + 2t t Esercizio 6.4 x = t y = 3 z = 5 t Esercizio 6.5 x 1 + 2(y + 1) + 3(z 4) = 0, cioè x + 2y + 3z 11 = 0. Esercizio 6.6 x = 7 + 5t y = 1 3 4t z = 2 + t t Esercizio 6.7 (x 1) 3(y + 1) + (z 2) = 0, cioè x 3y + z 6 = 0. Esercizio 6.8 Un vettore di direzione per l asse y è (0, 1, 0). Per la condizione di parallelismo tra un piano e una retta, basta allora verificare che il prodotto scalare (a, 0, c) (0, 1, 0) è nullo. Esercizio 6.9 A) Un vettore di direzione per la retta che contiene P e Q è Q P = (2, 2, α + 1). B) Un vettore ortogonale al piano x + y + z + 1 = 0 è (1, 1, 1). C) La retta P Q è parallela al piano x + y + z + 1 = 0 se (2, 2, α + 1) (1, 1, 1) = α + 1 = 0, cioè se α = 5. Pag. 25

26 D) La retta P Q è perpendicolare al piano x+y+z+1 = 0 se (2, 2, α+1) e (1, 1, 1) sono proporzionali, cioè se α = 1. Esercizio 6.10 La retta cercata esiste ed è unica: è l intersezione del piano passante per P e parallelo a π e del piano passante per P e parallelo a π. Equazioni cartesiane per tale retta sono: { x (y 3) (z 4) = 0 3x (y 3) + (z 4) = 0 Esercizio 6.11 Vettori di direzione di r e s sono, rispettivamente, (1, 3, 2) e (1, 0, 1). Tali vettori non sono proporzionali, quindi r e s non sono parallele. Per decidere se sono incidenti o sghembe, basta ora vedere qual è la loro intersezione r s: se è un punto, sono incidenti; se è l insieme vuoto, sono sghembe. Per studiare l intersezione r s, dobbiamo vedere se esistono due numeri t e u per i quali 3 + t = u 1 + 3t = 1 2t = 1 u Si vede subito che siffatti numeri t e u non esistono. (Infatti, dalla seconda equazione si ha t = 0; sostituendo t = 0 nella prima equazione, si ricava u = 3, mentre sostituendo t = 0 nella terza equazione, si ricava u = 1.) Le due rette sono sghembe. Esercizio 6.12 Q r se e solo se esiste t per il quale si abbia 1 + t = 1, 2t = 1 2, 1 + 3t = 3. Queste tre equazioni non sono compatibili, quindi Q / r. Esiste allora un unico piano π contenente Q e r; per determinarlo si può usare il metodo del fascio. Equazioni cartesiane di r sono: { y = 2(x + 1) z = 1 + 3(x + 1) ossia { 2x + y + 2 = 0 3x z + 4 = 0 Un piano λ(2x + y + 2) + µ(3x z + 4) = 0 del fascio di sostegno r passa per Q = (1, 1 2, 3) se 0 = λ( ) + µ( ) = 9 2 λ + 4µ Questa uguaglianza è verificata, ad esempio, per λ = 8 e µ = 9. Il piano cercato ha dunque equazione 11x 8y 9z + 20 = 0. Esercizio 6.13 (a) Poichè P / r, esiste un unico piano che contiene P e r. I piani che passano per la retta r hanno equazione λ(x + y z + 2) + µ(2x y + 5) = 0 con λ, µ, non entrambi nulli. Il passaggio per P = ( 1, 3, 0) impone la condizione: Pag. 26

27 λ( ) + µ( ) = 0 ossia 2λ + 6µ = 0 da cui si ricava, ad esempio, λ = 3, µ = 1. Il piano cercato ha equazione 5x + 2y 3z + 11 = 0. (b) Poichè Q r, ogni piano passante per r passa anche per Q. I piani richiesti sono quindi quelli del fascio di sostegno r, di equazione λ(x + y z + 2) + µ(2x y + 5) = 0 ossia (λ + 2µ)x + (λ µ)y λz + 2λ + 5µ = 0 con λ, µ, non entrambi nulli. Esercizio 6.14 Primo metodo. Il piano π passante per P e perpendicolare alla retta r ha equazione x y+2z 3 = 0. L intersezione di π e r è il punto H = π r = ( 2 3, 1 3, 4 3 ). Allora d(p, r) = d(p, H) = ( 1 3 )2 + ( 1 3 )2 + ( 1 3 )2 = 3 3. Secondo metodo. La distanza cercata è d(p, H) dove H è il punto della retta r che si trova a distanza minima da P. Se X un punto qualunque di r, allora d(p, X) = X P = (t 1) 2 + (1 t) 2 + (2t 1) 2. Posto f(t) = X P 2 = (t 1) 2 + (1 t) 2 + (2t 1) 2 = 6t 2 8t + 3, il punto H si trova in corrispondenza del valore di t per il quale f (t) = 0, cioè f (t) = 12t 8 = 0, t = 2 3. Si ottiene H = ( 2 3, 1 3, 4 3 ) e d(p, H) = 3 3. Terzo metodo. La distanza cercata è d(p, H) dove H è il punto della retta r per il quale il vettore H P risulta ortogonale al vettore di direzione di r. Allora se X = (t 1, 2t, 1 + 3t) è un punto qualunque di r si ha: (X P ) (1, 1, 2) = 0 dove (1, 1, 2) è il vettore di direzione di r. Si ottiene t = 2 3, H = ( 2 3, 1 3, 4 3 ), d(p, H) = 3 3. Esercizio 6.15 Un vettore di direzione del piano π è A B = ( 1, 2, 6). Poichè P π un equazione cartesiana del piano è 1(x 3) 2(y + 4) + 6(z 2) = 0, cioè x + 2y 6z + 17 = 0 Esercizio 6.16 (a) Un vettore di direzione di r è V = (1, 1, 1) mentre uno di s è W = (2, 1, 1). Pertanto le due rette non sono parallele (V non è multiplo di W ). Il punto H = r s (se esiste) si trova risolvendo il sistema t = 4 + 2u 1 t = 1 u t = 2 + u Pag. 27

28 le cui soluzioni sono t = 0, u = 2. Sostituendo t = 0 nelle equazioni parametriche di r (oppure u = 2 nelle equazioni di s) si trova H = r s = (0, 1, 0). (b) Il piano richiesto contiene H e un suo vettore di direzione è V W = (0, 1, 1). L equazione del piano è 0(x 0) + 1(y 1) + 1(z 0), cioè y + z 1 = 0 Esercizio 6.17 Il punto P non appartiene al piano π. P H P r π Figure 8 Le equazione parametriche della retta r passante per P e ortogonale a π sono x = 1 + 2t y = +1 t z = +3 + t t (7.1) Il punto H intersezione del piano π e della retta r, si ottiene sostituendo il generico punto ( 1 + 2t, +1 t, +3 + t) di r nell equazione del piano: 2( 1 + 2t) 1 + t t + 1 = 0 Sostituendo in (7.1) il valore trovato di t si ricava t = 1 6 H = (π r) = ( 4 3, 7 6, 17 ) 6 Infine, il punto H (si osservi la figura) è il punto medio del segmento di estremi P e P H = P + P 2 Pag. 28

29 Quindi P = 2H P = ( 5 3, 4 3, 8 ) 3 Esercizio Per trovare un vettore di direzione v r della retta r è sufficiente determinare un punto (diverso dall origine) della retta r avente equazioni { x + y = 0 2y z = 0 Ponendo, ad esempio, z = 2 si ottiene: y = 1 e x = 1. Quindi un vettore di direzione di r è v r = ( 1, 1, 2). In modo analogo, un vettore di direzione v s di s è un punto qualsiasi (diverso dall origine) della retta s di equazioni { 2x + z = 0 x + y = 0 Posto z = 2, si ottiene v s = ( 1, 1, 2). Dunque le rette r, s sono parallele. Per verificare infine che le due rette sono distinte basta osservare, per esempio, che P 0 = (1, 0, 0) appartiene a r ma non a s. Anche se non richiesto si osservi che il piano π di equazione x + y 1 = 0 è comune a entrambe le rette e, di conseguenza, tale piano le contiene entrambe. 2. Primo metodo. Sia P 0 un punto qualsiasi di r e P 1 un punto qualsiasi di s: per esempio P 0 = (1, 0, 0) e P 1 = ( 1 2, 1 2, 0). Si osservi ora la seguente figura v r P 1 P 0 P 1 P 0 H r s Figure 9 Pag. 29

30 L area del parallelogramma generato da P 1 P 0 e v r è (P 1 P 0 ) v r Quindi la distanza P 0 H tra le due rette è data da Secondo metodo. d(p 0, s) = P 0 H = (P 1 P 0 ) v r v r P 0 = (1, 0, 0) è un punto della retta r, mentre le equazioni parametriche di s sono x = 1 2 t y = t z = 2t t Ora, si trovi il punto P = ( 1 2 t, t, 2t) di s per il quale P P 0 risulti ortogonale a v r. Essendo P P 0 = ( 1 2 t, t, 2t) si ottiene = 3 3 (P P 0 ) v r = 0 t = 1 6 Pertanto il punto P di s che soddisfa la precedente condizione è ( 2 3, 1 3, 1 3 ). La distanza cercata è d(p 0, P ) = P 0 P = 3 3 Pag. 30