Esercizi su spazi ed operatori lineari
|
|
- Gianpiero Micheli
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2, Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 23 Ottobre Spzio L 2 Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni pprtengono llo spzio L 2 [, b]: i) e x, ii) (x 1) /3, iii) 1/ sin(x), iv) exp[(x 1) ]/ sin 2 (x 1). Esercizio 2. Per =, b =, dire quli delle seguenti funzioni pprtengono llo spzio L 2 [, b]: i) e x, ii) (x 2 3) /3, iii) (x 2 3) 2/5, iv) exp[2x x 2 ]. Esercizio 3. Come devono essere e b perché si bbi e x L 2 [, b]? Esercizio 4. Introducendo il peso w(x) = k/π exp[ kx 2 /2] con k rele e positivo, come devono essere e b per vere e x L 2 [, b; w]? Esercizio 5. Sino = 0, b = π, e f = sin(x), g = exp(ix). Clcolre f 2, g 2, e (f, g). Verificre l disuguglinz di Schwrz. Esercizio 6. Sino = 0, b = π, e f = sin(x), g = cos(x), h = sin(2x). Clcolre le norme delle funzioni ed i prodotti sclri tr loro; verificre l disuguglinz di Schwrz. 1
2 2 Opertori lineri Esercizio 7. Dire quli dei seguenti opertori sono lineri: i) A(f) = f(x) + 1, ii) A(f) = f 2 (x) 25, iii)a(f) = df/ + log(f(x)), iv) A(f) = v) A(f) = K(x, y) exp[f(y)] dy, K(x y) f(y) dy. Esercizio 8. Se A è utoggiunto, cioè A = A +, come deve essere l funzione polinomile F perché si [F (A)] + = F (A)? E se A è nti-utoggiunto, cioè A + = A? Esercizio 9. Si S lo spzio delle funzioni f : R C tle che f (n) (x) 2 < n = 0,..., N. Come devono essere i coefficienti c k in A = N k=0 c k d k k ffinché l opertore A definito su S si utoggiunto? Esercizio 10. Se A = A + e B = B +, qul è l condizione perché risulti (AB) + = (AB)? Esercizio 11. Clcolre i commuttori [x, d/] e [F (x), d/]. Esercizio 12. Sino A = 1 2 ( x + Clcolre A +, B + e H = AB, K = BA. ; B = 1 2 ( x. Esercizio 13. commuttori Con l notzione dell esercizio precedente, clcolre inoltre i [A, B], [H, A], [H, B]. 2
3 3 Autovlori ed utofunzioni Esercizio 14. Si consideri l opertore A = d/. Clcolre le utofunzioni corrispondenti gli utovlori λ k = k N. Anlogmente per l opertore B = id/. Esercizio 15. Si consideri l opertore A = id/ in L 2 [, ]. Determinre tutte le sue utofunzioni ed i reltivi utovlori. Esercizio 16. Si consideri l opertore A = d 2 / 2 in L 2 [, ]. Determinre A +, nonché tutte le utofunzioni ed i reltivi utovlori di A. Esercizio 17. Si consideri l opertore A = id/ in L 2 [0, 2π]. Determinre tutte le sue utofunzioni ed i reltivi utovlori. Esercizio 18. Si consideri l opertore A = d 2 / 2 in L 2 [0, 2π]. Determinre A +, nonché tutte le utofunzioni ed i reltivi utovlori di A. 4 Altri esercizi Esercizio 19. Si S lo spzio delle funzioni C d R 3 in R; si L : S S l opertore differenzile L = x 2 x x y y + z z. Mostrre che S è uno spzio linere e che L è un opertore linere; determinre il nucleo di L. Come cmbi l rispost se S è invece lo spzio delle funzioni C d B R 3 in R, con B definito d x 1? Esercizio 20. Si consideri lo spzio di funzioni H = L 2 [, 1] dotto del prodotto sclre stndrd (f, g) = +1 f (x) g(x), e su questo l opertore linere A che ssoci d f H l funzione g = A[f] := K(x, y) f(y) dy ; K(x, y) := 1 + xy. Mostrre che, per ogni f H, si h g H. Inoltre, determinre: (1) il rnge di A e l su dimensione; (2) il nucleo di A, l su dimensione e codimensione; (3) l ggiunto A + di A; (4) infine, determinre utovlori ed utofunzioni di A. [Suggerimento: può essere utile esprimere A in un form equivlente, fcendo uso del prodotto sclre in H. L esercizio sembr ssi complesso, m è in reltà semplice.] 3
4 5 Soluzioni 5.1 Spzio L 2. E opportuno ricordre che L 2 [, b] è lo spzio delle funzioni f : [, b] R che hnno norm qudrt finit, con f 2 := f(x) 2. Esercizio 1. i) Per f(x) = e x, risult d un integrzione dirett che f 2 = (e 2 1)/2 <, e f L 2 [0, 1]. ii) llo stesso modo, per f(x) = (x 1) /3 bbimo f 2 = 3 <, e f L 2 [0, 1]. iii) Per f(x) = 1/ sin(x), è opportuno considerre I(ε) := ε f(x) 2 = ε 1 sin(x) ; nell intervllo di interesse il seno è positivo (e così il coseno); inoltre [1/ sin(x)] = log[sin(x/2)] log[cos(x/2)]. Risult quindi I(ε) = {log[sin(1/2)] log[cos(1/2)]} {log[sin(ε/2)] log[cos(ε/2)]} ; nel limite ε 0, questo diverge. Quindi f(x) 2 = e l funzione non pprtiene d L 2 [0, 1] (notimo per inciso che pprtiene invece d L 1 [0, 1]). iv) Infine, per f(x) = exp[(x 1) ]/ sin 2 (x 1), è sufficiente notre che l funzione è limitt in [0, 1], e quindi l su norm L 2 è nch ess limitt, e f L 2 [0, 1]. Esercizio 2. i) Per f(x) = e x bbimo f 2 = e 2b e 2, che nel cso in oggetto diverge; f L 2 [, ]. ii) Per f(x) = (x 2 3) /3, l integrle generle (che si può trovre sulle tvole degli integrli) fornisce un espressione in termini di un funzione ipergeometric, che diverge con i limiti di integrzione scelti; f L 2 [, ]. iii) Lo stesso vviene per f(x) = (x 2 3) 2/5 ; nche in questo cso f L 2 [, ]. iv) Per f(x) = exp[2x x 2 ], bbimo un integrle Gussino; più precismente risult f 2 = e 2 π/2 < ; in questo cso f L 2 [, ]. Esercizio 3. Per f(x) = e x bbimo f 2 = e 2b e 2, con < b; per l convergenz è quindi necessrio e sufficiente che e b sino finiti. 4
5 Esercizio 4. In questo cso bbimo f 2 = (k/π) e 2x e kx2 /2 = (k/π) Si trtt di un integrle Gussino, sempre finito per k > 0. e ( (kx2 /2)+2x). Esercizio 5. E sufficiente ricordre l definizione di norm ed effetture delle integrzioni elementri. Risult sin(x) 2 = π/2, e ix 2 = π, (sin(x), e ix ) = π 0 sin(x) e ix = 1/4. In effetti, l disuguglinz di Schwrz (f, g) 2 f 2 + g 2 in questo cso diviene (1/16) π 2 /4 + π 2 = (5/4)π 2, che è senz ltro ver. Esercizio 6. Abbimo or f 2 = g 2 = h 2 = π/2 ; (f, g) = 0, (f, h) = 0, (g, h) = 4/ Opertori lineri Esercizio 7. i) Abbimo A(f + g) = f(x) + g(x) + 1 A(f) + A(g), quindi questo opertore non è linere. ii) Anche in questo cso, A(f +g) = f 2 (x) + g 2 (x) + 2f(x)g(x) 25 A(f)+ A(g), e l opertore non è linere. iii) Or risult A(f + g) = df/ + dg/ + log(f(x) + g(x)) df/ + dg/ + log(f(x)) + log(g(x)) = A(f) + A(g); l opertore non è linere. iv) In questo cso, v) In questo cso, A(f + g) = A(f) + A(g) = A(f + g) A(f) + A(g). K(x, y) exp[f(y) + g(y)]dy ; K(x, y) (exp[f(y)] + exp[g(y)]) dy ; A(c 1 f + c 2 g) = K(x y) [c 1 f(y) + c 2 g(y)] dy = c 1 A(f) + c 2 A(g). 5
6 L opertore è linere. Esercizio 8. Un polinomio si scrive come n F (A) = k=0 c k A k, dove A k = A... A. Nturlmente, (A k ) + = (A + ) k. Quindi nel cso A = A + bbimo sempre (A k ) + = (A + ) k = (A) k, ed ogni funzione polinomile fornisce un opertore utoggiunto. Nel cso A + = A + bbimo immeditmente, rgionndo llo stesso modo, che (A k ) + = () k A k, quindi l opertore identificto dll funzione F (A) è utoggiunto se il polinomio F (A) contiene solo potenze pri, ntiutoggiunto se contiene solo potenze dispri. Esercizio 9. Ricordimo che A + è definito d Nel nostro cso, ricordndo che (A + f, g) = (f, Ag) f, g S. (f, Ag) = + f(x) c k d k g(x) k e che lim x f = lim x g = 0, possimo ottenere l opertore ggiunto integrndo per prti (l possibilità di scmbire l somm e l integrle nel cso di somm infinit non è stt discuss, m in questo cso l somm è finit); bbimo, grzie ll nnullrsi dei termini di bordo, + f(x) dk g(x) k Quindi in tutt generlità A + = = () k N () k c k k=0 + d k k ; d k f(x) k g(x). ne segue che A + = A se e solo se c k = 0 per tutti i k dispri. Esercizio 10. Con l ipotesi A = A +, B = B +, bbimo (AB) + = B + A + = BA. L condizione cerct è quindi che si [A, B] = 0. Esercizio 11. I commuttrori possono in generle essere clcolti pplicndoli d un funzione generic f. Abbimo [x, d/] f = x(df/) (d/)(xf) = x(df/) f xdf/ = f, quindi [x, d/] = id; [F (x), d/] f = F (df/) (d/)(f f) = F (df/) (df/)f F (df/) = (df/)f, 6
7 quindi [x, d/] = (df/) id. Esercizio 12. Se A = c 1 A 1 + c 2 A 2, llor A + = c 1A c 2A + 2. Dto che (come clcolto si lezione che nell soluzione dell esercizio 3 qui sopr) risult (d/) + = (d/), ed ovvimente x + = x = x, bbimo A + = 1 ( x = B ; B + = 1 ( x + = A. 2 2 Qunto d H = AB, bbimo quindi H(f) = A[B(f)] = (1/2)A[xf (df/)] = (1/2) [x 2 f x(df/) + f + x(df/) (d 2 f/ 2 )] = (1/2) [(x 2 + 1)f (d 2 f/ 2 )] ; H = 1 2 Allo stesso modo, per K = BA risult quindi K(f) = [(x 2 + 1) d2 2 B[A(f)] = (1/2)B[xf + (df/)] = (1/2) [x 2 f + x(df/) f x(df/) (d 2 f/ 2 )] = (1/2) [(x 2 1)f (d 2 f/ 2 )] ; K = 1 2 [(x 2 1) d2 2 ] ].. Esercizio 13. Possimo procedere si per clcolo diretto, si usndo i risultti dell esercizio precedente, cos che fremo qui. Inftti [A, B] = AB BA = H K; dll esercizio precedente risult immeditmente H K = [A, B] = 1. Inoltre risult con semplici clcoli (usndo l espressione di H e K determint sopr) che [H, A] = 1 ( x + = A ; [H, B] = 1 ( x = B. 2 2 Abbimo nche [K, A] = 1 2 ( x + = A ; [K, B] = 1 2 ( x E inoltre fcile clcolre il commuttore di H e K; risult [H, K] = 0. = B. 7
8 5.3 Autovlori ed utofunzioni Esercizio 14. Per A, l determinzione delle utofunzioni si riduce ll soluzione di df k / = λ k f k, che h soluzione f(x) = exp[kx] e quindi (per λ k = k) f k (x) = c k e kx dove le c k sono costnti rbitrrie (e non si h somm sull indice k). Anlogmente, per B le utofunzioni cercte sono f k (x) = c k e ikx. Esercizio 15. Le utofunzioni φ k e di reltivi utovlori λ k sono ( meno dell costnte moltiplictiv rbitrri, che qui non scrivimo per semplicità) φ k (x) = e ikx, λ k = k ; k R. Esercizio 16. L ggiunto A + è, come risult dgli esercizi precedenti, A + = A; qunto d utovlori ed utofunzioni, φ k = e ikx, λ k = k 2 k R. Esercizio 17. In questo cso, φ k = e ikx, λ k = k k C. (Si noti che non bbimo richiesto l periodicità delle funzioni, m solo l loro pprtenenz d L 2 [0, 2π]. L periodicità vrebbe imposto k R nziché k C) Esercizio 18. In questo cso, φ k = e ikx, λ k = k 2 k C. (Si noti ncor che non bbimo richiesto l periodicità delle funzioni, m solo l loro pprtenenz d L 2 [0, 2π]. L periodicità vrebbe imposto k R nziché k C.) 8
9 5.4 Altri esercizi Esercizio 19. L linerità di S è evidente, così come quell di L (che discende dll linerità dell operzione di derivzione). Il nucleo di L corrisponde lle funzioni u S che soddisfno l equzione differenzile x 2 u x x y u y + z u z = 0 ; si trtt di un PDE linere ed omogene del primo ordine. Per risolvere quest è conveniente utilizzre il metodo delle crtteristiche (ed in effetti il senso dell esercizio è quello di fr rimrcre l relzione con quest ultimo). Abbimo e quindi x 2 = dy xy ; x = dy y log(x) = log(y) + log(c 1 ) ; x y = c 1 = ζ 1. Usndo or nche il coefficiente di u z, bbimo e quindi, Quest fornisce dy ζ 1 = dz z y ζ 1 = log(z) log(c 2 ). z e 1/x = c 2 = ζ 2. In conclusione, il nucleo di L come opertore sullo spzio delle funzioni differenzibili trtti corrisponde lle funzioni u(x, y, z) S dell form u = F [ζ 1, ζ 2 ] = F [xy, ze 1/x ]. In pprenz F sembr essere un funzione rbitrri, m ricordimo che u deve essere C ; d ltr prte, ζ 2 h un singolrità in x = 0. Quindi le F risultno in effetti ssi condizionte d quest richiest, e dobbimo chiedere u = f(ζ 1 ), con f un funzione rbitrri purché C. Se definimo S come lo spzio delle funzioni C d B in R, il problem dell singolrità non si present, e dunque il nucleo di L diviene l insieme delle funzioni con F funzione C dei suoi rgomenti. u = F (ζ 1, ζ 2 ) Esercizio 20. Inizimo con l osservre che K(x, y) è limitto in [-1,1]; dunque è evidente che f H = L 2 [, 1] ssicur A[f] H. 9
10 Inoltre, notimo che si può scrivere A[f] in termini del prodotto sclre di f con le funzioni 1 ed x: inftti A[f] = = = K(x, y), f(y) dy (1 + xy), f(y) dy f(y) dy + x = (1, f) + x(x, f). In ltre prole, possimo riscrivere A come y f(y) dy A(f) = (1, f) 1 + (x, f) x. ( ) Risult or più semplice rispondere lle diverse questioni. (1) Dto che evidentemente (1, f) ed (x, f) possono ssumere qulsisi vlore l vrire di f H, vremo (con α, β costnti) Rn(A) = {α + β x} C 2. (2) Per determinre il nucleo di A, possimo nuovmente ricorrere ll (*): f Ker(A) deve evidentemente soddisfre (1, f) = 0 = (x, f). Si trtt del complemento ortogonle Rn(A), ed h evidentemente dimensione infinit, e codimensione due. (3) Per determinre A +, si h H un generic funzione; llor deve essere (h, Af) = (A + h, f). Usndo l rppresentzione (*) per A, bbimo fcilmente (h, Af) = (h, 1) (1, f) + (h, x) (x, f) ; ( ) voglimo or vedere questo come il prodotto sclre di f con un elemento h = A + h di H. In effetti, (**) si può scrivere come ( (h, 1) 1 + (h, x) x, f ) = (h, 1) (1, f) + (h, x) (x, f) dl che vedimo immeditmente che (ricordimo che x R) A + h = (1, h) 1 + (x, h) x = Ah. In ltre prole, A + = A. 10
11 (4) E evidente che le utofunzioni di A devono essere in Rn(A), e quindi dell form f(x) = + b x := F b (x). Per funzioni di quest form bbimo A[F b ] = = K(x, y) f(y) dy (1 + xy) ( + by) dy = b x. Autovlori ed utofunzioni sono quindi determinti d A[F b ] = b x = λ F b = λ [ + bx] e le soluzioni sono evidentemente dte d λ 1 = 2, Φ 1 = 1 ; λ 2 = (2/3), Φ 2 = b x. A queste si ggiungono tutte le funzioni del nucleo di A, che sono utofunzioni con utovlore zero. 11
Esercizi su spazi ed operatori lineari
Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic,.. 011-01 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 9 Novembre 01 1 Spzio L Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni pprtengono
Dettagli13 - Integrali Impropri
Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Economi Diprtimento di Scienze Economiche, Aziendli e Sttistiche Appunti del corso di Mtemtic 3 - Integrli Impropri Accdemico 25/26 M. Tumminello, V. Lcgnin,
DettagliMETODI MATEMATICI PER LA FISICA
Si svolgno cortesemente i seguenti esercizi. METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 9 GIUGNO 5 ESERCIZIO (PUNTEGGIO: 6/) Si clcoli l integrle SOLUZIONE P sen( x) x + x + d x. Fccimo l sostituzione
DettagliEsercizi sulle serie di Fourier
Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre
Dettagli3) Sia (X, d) uno spazio metrico. Dimostrare che è una distanza su X la funzione
Anlisi Rele Esercizi 3 ottobre 2008 ) Tutte le distnze introdotte lezione sono invrinti per trslzioni; ovvero d(x y) = d(x + z y + z) per ogni x y e z. Definire su X = R un metric non invrinte per trslzioni.
DettagliCalcolare l area di una regione piana
Integrli Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione Clcolre l
DettagliTeorema fondamentale del calcolo integrale
Clcolo integrle Proprietà dell integrle deinito Teorem dell medi integrle Corollri del Teorem ond. clc. int. Regole di integrzione deinit Clcolo di ree 2 26 Politecnico di Torino 1 Estensione dell integrle
DettagliCapitolo 6. Integrali di funzioni di una variabile
Cpitolo 6 Integrli di funzioni di un vribile Ci si pone il problem del riuscire misurre l re di figure il cui contorno non è costituit d segmenti. 6. L integrle definito Si f : [, b] R R un funzione limitt
DettagliMinimi quadrati e problemi di distanza minima
Minimi qudrti e problemi di distnz minim Considerimo un mtrice rettngolre B, con elementi b ij, i 1,..., n, j 1,..., m, con m < n (quindi, più righe che colonne. Voglimo risolvere il sistem linere (1 Bx
DettagliOsserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.
88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3
DettagliIntegrale di Riemann
Integrle di Riemnn Hynek Kovrik Università di Bresci Anlisi Mtemtic Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic / 50 Motivzione: clcolo di re Hynek Kovrik (Università di Bresci)
DettagliCALCOLARE L AREA DI UNA REGIONE PIANA
INTEGRALI Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione CALCOLARE
DettagliAlcune note introduttive alle serie di Fourier.
Alcune note introduttive lle serie di Fourier. Definizione. Si f : IR IR periodic di periodo e integrbile su [, ]. Diremo coefficienti di Fourier di f i numeri reli = f dx, = IN f cos dx, b = IN e serie
Dettagli1 Integrale delle funzioni a scala
INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]
Dettagli5.4 Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Esercizi 5.3. Si f : R R un funzione continu, e supponimo che f bbi sintoti obliqui per ±. Provre che f è uniformemente continu in R.. Esibire un funzione f : R R limitt e di clsse C, m non uniformemente
DettagliSpazi ed operatori lineari
Spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 2013-2014 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 28/10/2013 1 Spzi lineri Nel seguito dovremo considerre degli spzi lineri, che possono essere pensti
DettagliIntegrali su intervalli illimitati Criteri di convergenza 1 Integrali di funzioni non limitate Criteri di convergenza 2 Altri integrali impropri
Clcolo integrle Integrli su intervlli illimitti Criteri di convergenz Integrli di funzioni non limitte Criteri di convergenz 2 Altri integrli impropri 2 2006 Politecnico di Torino Definizione Considerimo
Dettagli1 Equazioni e disequazioni di secondo grado
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo
DettagliOscillatore armonico unidimensionale
Oscilltore rmonico unidimensionle Autovlori ed utofunzioni L hmiltonin di un oscilltore rmonico unidimensionle si scrive Definendo le vribile dimensionli L eq.) si scrive H = m p + m ω x ) = m h d dx +
DettagliINSIEMI, RETTA REALE E PIANO CARTESIANO
INSIEMI, ETTA EALE E PIANO CATESIANO ICHIAMI DI TEOIA SUGLI INSIEMI Un insieme E è definito ssegnndo i suoi elementi, tutti distinti tr loro: se x è un elemento di E scrivimo x E, mentre, se non lo è,
DettagliIntegrali in senso generalizzato
Integrli in senso generlizzto Pol Rubbioni Anlisi Mtemtic II - CdL in Ingegneri Informtic ed Elettronic.. 6/7 Integrzione su domini non itti Definizione. Un funzione continu f : [, + [ R si dice integrbile
DettagliIntegrali in senso generalizzato
Integrli in senso generlizzto Pol Rubbioni Integrzione su domini non itti Definizione.. Un funzione continu f : [, + [ R si dice integrbile in senso generlizzto (brevemente, G-integrbile) se esiste finito
DettagliIntegrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b
Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non
Dettagli0.1 Teorema di Lax-Milgram
0. Teorem di Lx-Milgrm Definizione. (Form sesquilinere) Si H uno spzio di Hilbert su C. Un form sesquilinere sul cmpo C è un ppliczione : H H C linere nell prim componente e ntilinere nell second (cioè
DettagliLEZIONE 24. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione
LEZIONE 24 24.1. Prodotti sclri. Definizione 24.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. un ppliczione Un prodotto sclre su V è tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2
DettagliMODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2015/2016 Prof. C. Presilla. Prova B1 9 giugno 2016
MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2015/2016 Prof. C. Presill Prov B1 9 giugno 2016 Cognome Nome Mtricol iscritto l secondo nno iscritto l terzo nno fuoricorso o con più di 155 CFU penlità esercizio
DettagliCapitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata
Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si
DettagliDeterminanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler
Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte
DettagliPacchetto d onda. e (a2 k 2 ikx) dk (1)
Pcchetto d ond 1 Clcolo d integrli gussini Per clcolre un integrle del tipo ψ(x) = e ( k ikx) dk (1) l procedur stndrd e di scrivere l espressione che ppre nell esponenzile come il qudrto di un funzione
DettagliUn polinomio trigonometrico di grado N nell intervallo [ π, π] è una funzione g(x), periodica di periodo 2π, della forma. c n e inx.
Cpitolo 6 Serie di Fourier 6.1. Introduzione Un polinomio trigonometrico di grdo N nell intervllo [, π] è un funzione g(x), periodic di periodo, dell form g(x) = N n= N c n e inx per un qulche scelt delle
Dettagli, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri
Dettagli11. Rango di una matrice.
Rngo di un mtrice Considerimo un mtrice di tipo m n d elementi reli rppresentt nel modo seguente: A = (m-) m (m-) m (m-) m (m-) m (n-) (n-) (n-) (m-),(n-) m(n-) n n n (m-)n mn Per ogni i =,,,, (m-), m,
DettagliANALISI 1 1 DICIOTTESIMA - DICIANNOVESIMA LEZIONE Integrale secondo Riemann
ANALISI 1 1 DICIOTTESIMA - DICIANNOVESIMA LEZIONE Integrle secondo Riemnn 1 prof. Cludio Sccon, Diprtimento di Mtemtic Applict, Vi F. Buonrroti 1/C emil: sccon@mil.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/
DettagliVerica di Matematica su Integrale Denito, Integrazione Numerica e calcolo di aree [1]
Veric di Mtemtic su Integrle Denito, Integrzione Numeric e clcolo di ree []. Si consideri il seguente integrle denito: Determinre il vlore estto di I; I = 2 ( e x )dx. il vlore estto dell're A T del trpezoide
DettagliSpazi ed operatori lineari
Spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 3,.. 2018-2019 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 16/5/2019 1 Spzi lineri Nel seguito dovremo considerre degli spzi lineri, che possono essere pensti
DettagliFUNZIONI IPERBOLICHE
FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,
Dettagli8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.
8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso
DettagliS D f = M k (f)(x k x k 1 ). k=1. Dalla definizione discende immediatamente che SD f S D f per ogni
Integrle di Riemnn 1 Funzioni integrbili Dto un intervllo non degenere [, b], indichimo con T[, b] l collezione dei sottoinsiemi finiti di [, b] che contengono {, b}. Ogni D T[, b] si chimerà suddivisione
DettagliLa funzione delta di Dirac
L funzione delt di Dirc Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 202-203 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 30//202 L funzione delt di Dirc Nel seguito srà utile disporre di uno strumento per esprimere l vlutzione
Dettagli11. Rango di una matrice.
Rngo di un mtrice Considerimo un mtrice di tipo m n d elementi reli rppresentt nel modo seguente: A = (m-) m (m-) m (m-) m (m-) m (n-) (n-) (n-) (m-),(n-) m(n-) n n n (m-)n mn Per ogni i =,,,, (m-), m,
DettagliPolinomi ortogonali. Alvise Sommariva. Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica. 20 marzo 2017
Polinomi ortogonli Alvise Sommriv Università degli Studi di Pdov Diprtimento di Mtemtic 20 mrzo 2017 Alvise Sommriv Polinomi ortogonli 1/ 22 Il problem i minimi qudrti Definizione (Spzio di Hilbert) Uno
DettagliDimostrazione del teorema di Gauss Green nel piano
imostrzione del teorem di Guss Green nel pino Gli eventuli lettori sono pregti di segnlrmi gli eventuli errori di stmp. Grzie! L.V. Ricordimo che: dominio è l chiusur di un perto; dominio normle regolre
DettagliFUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI
FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim
DettagliLezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.
Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,
DettagliEsercitazioni di Statistica Matematica A Lezione 6. Applicazioni della legge dei grandi numeri e della formula di Chebicev. lim i!
Esercitzioni di Sttistic Mtemtic A Lezione 6 Appliczioni dell legge dei grndi numeri e dell formul di Chebicev 1.1) Si {X i } i N un successione di vribili letorie i.i.d. (indipendenti ed identicmente
DettagliANALISI 1 1 VENTIDUESIMA LEZIONE Integrali impropri
ANALISI 1 1 VENTIDUESIMA LEZIONE Integrli impropri 1 prof. Cludio Sccon, Diprtimento di Mtemtic Applict, Vi F. Buonrroti 1/C emil: sccon@mil.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html
Dettagli1 Espressioni polinomiali
1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono
DettagliMETODI MATEMATICI PER LA FISICA
METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 22 SETTEMBRE 25 Si svolgno cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (PUNTEGGIO: 6/3) Si clcoli l integrle con A= γ 2z 2 +, SOLUZIONE L funzione integrnd
DettagliGeometria I. Prova scritta del 2 marzo 2016
Geometri I Anno ccdemico 0/06 Prov scritt del mrzo 06 Esercizio. Si E il pino euclideo numerico munito delle coordinte cnoniche (x, y). Si consideri il tringolo T con vertici P = (0, 0), P = (, 0), P =
DettagliCOMPLEMENTI SUGLI INTEGRALI DEFINITI. A. Figà Talamanca
COMPLEMENTI SUGLI INTEGRALI DEFINITI A. Figà Tlmnc 27 ottobre 2010 2 0.1 Introduzione C è un modo pprentemente semplice ed intuitivo per introdurre l integrle (definito) di un funzione f definit su un
DettagliAnno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti
Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei
DettagliL integrale di Riemann
L integrle di Riemnn Riccrd Rossi Università di Bresci Anlisi B Riccrd Rossi (Università di Bresci) L integrle di Riemnn Anlisi B 1 / 64 Motivzioni: clcolo di un re Si f : [, b] R continu e positiv. Problem
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero
DettagliAlgebra delle Matrici
lgebr delle Mtrici Definizione di un mtrice Un mtrice esempio: è definit d m righe e d n colonne come d 8 9 8 In questo cso l mtrice è compost d righe e colonne Se il numero delle righe è ugule l numero
DettagliLa funzione (generalizzata) delta di Dirac
L funzione (generlizzt) delt di Dirc Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 2013-2014 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 25/11/2013 1 L funzione delt di Dirc Nel seguito srà utile disporre di uno strumento
DettagliMatematica A, Area dell Informazione. Complementi al testo
1 Preinri Mtemtic A, Are dell Informzione.. 2001-2002, corso prof. Brdi Complementi l testo Proposizione 1 (Proprietà crtteristiche di sup e inf) Si A R un insieme non vuoto e si x R. Allor x = sup A se
DettagliIntegrali impropri di funzioni di una variabile
Integrli impropri di funzioni di un vribile. Le funzioni continue Considerimo nel seguito un delle piú importnti ppliczioni del teorem di uniforme continuitá delle funzioni continue su intervlli chiusi
DettagliPOTENZA CON ESPONENTE REALE
PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,
DettagliIntegrali impropri in R
Integrli impropri in Flvino Bttelli Diprtimento di Scienze Mtemtiche Università Politecnic delle Mrche Ancon Integrli impropri Indichimo con = {1, 2, 3,...} l insieme dei numeri nturli, con 0 = {0, 1,
Dettaglicorrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in
Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino
DettagliAppunti di calcolo integrale
prte II Integrle definito Liceo Scientifico A. Volt - Milno 23 mrzo 2017 Integrle definito Si y = f (x) un funzione continu in I = [, b]. Si chim trpezoide l figur curviline pin delimitt: dl grfico dell
DettagliDaniela Lera A.A
Dniel Ler Università degli Studi di Cgliri Diprtimento di Mtemtic e Informtic A.A. 2016-2017 Formule Gussine Formule di qudrtur Gussine In tli formule l posizione dei nodi non è prefisst, come vviene in
DettagliAnalisi II, a.a Soluzioni 7
Anlisi II,.. 27-28 Soluioni 7 ) Trovre tutte le funioni (x, y, ) C (R 3 ) tli che l form differenile y dx + x dy + (x, y, ) d si estt, e clcolre tutte le primitive. Allo stesso modo, trovre tutte le funioni
DettagliIl lavoro di una forza
Il lvoro di un forz Definizione Nello svolgimento che segue, ci limiteremo lvorre in due dimensioni, su un pino. L grn prte dei risultti che troveremo potrà essere estes immeditmente e senz difficoltà
DettagliIntroduzione al calcolo integrale
Introduzione l clcolo integrle Indice: Integrle di Riemnn. Proprietà delle funzioni integrbili. Continuità dell funzione integrle. Teorem dell Medi. Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle. Metodi di integrzione.
DettagliFoglio N.3. PRIMITIVE. Pn (x) Q m (x) dx
Integrli di Funzioni Rzionli: Foglio N3 PRIMITIVE Pn (x) Q m (x) dx dove P n (x) e Q m (x) sonopolinomidigrdon ed m rispettivmente Un funzione rzionle il cui denomintore P n (x) è un polinomio di grdo
DettagliCorso di Analisi Matematica. Calcolo integrale
.. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile
DettagliSPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali
SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione
DettagliIntegrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:
Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle
Dettaglicalcolare la ragione q. Possiamo risolvere facilmente il problema ricordando la formula che dà il termine n-esimo di una progressione geometrica:
PROGRESSIONI ) Di un progressione geometric si conosce: 9 9 clcolre l rgione q. Possimo risolvere fcilmente il problem ricordndo l formul ce dà il termine n-esimo di un progressione geometric: n q n Applicimol
DettagliArea del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)
Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.
DettagliTutorato di analisi 1
Tutorto di nlisi 1 Alen Kushov Collegio Volt 1 / 8 Introduzione Integrzione ll Riemnn Integrle orientto Linerità dell integrle Teorem fondmentle del clcolo Regole di clcolo Integrli impropri 2 / 8 Integrzione
Dettagli2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:
Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo
DettagliIntegrali definiti (nel senso di Riemann)
Integrli definiti (nel senso di Riemnn) Problem: cos è l re di un figur pin? come clcolrl? Grficmente concetto intuitivo ed evidente. Tecnicmente ci sono definizioni e formule d hoc per le figure elementri.
DettagliUNITA 13. GLI ESPONENZIALI
UNITA. GLI ESPONENZIALI. Le potenze con esponente intero, rzionle e rele.. Le proprietà delle potenze.. Equzioni esponenzili che si riconducono ll stess bse. 4. L funzione esponenzile. 5. Il grfico dell
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria
Politecnico di Milno Corso di Anlisi e Geometri Federico Lstri federico.lstri@polimi.it Teoremi per l second prov. Dimostrzioni. 8 Dicembre 208 Indice Teoremi per l second prov in itinere. Dimostrzioni.
DettagliINTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma
INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente
DettagliIntegrazione definita
Integrzione definit Si [,b] R un intervllo chiuso e limitto. Si f : [,b] R limitt. Def. Trpezoide di f sull intervllo [,b] è l regione di pino delimitt dll sse =, dlle rette = e = b e dl grfico di f. Viene
DettagliUn introduzione alle serie di Fourier
Cpitolo 3 Un introduzione lle serie di Fourier 3.1 Considerzioni preinri Dto un sistem numerbile di funzioni φ 1 (x),...,φ n (x),... definite su un intervllo [, b] dir e un funzione f(x): [, b] R (C),
DettagliAM210: Esercizi 2. + e x sin x dx 6. x log 3 x 9. dx
Integrli impropri: esercizi AM: Esercizi Discutere l convergenz dei seguenti integrli ed eventulmente clcolrli. d. ( 3) 3 + + d 3. 3 + d 3. d 5. ( + ) 3 e sin d 6. e sin d 7. e cos d 8. d + log 3 9. d
DettagliDifferenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y
Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim
DettagliDefinizione (primitiva, integrale indefinito). Data una funzione f diremo che una funzione F è una primitiva di f se
Cpitolo 6 Integrli L opertore derivt D ssoci d un funzione f l su derivt: Df f 0 Ci ciedimo se è possiile invertire quest operzione, vle dire trovre un funzione l cui derivt si un funzione ssegnt Definizione
DettagliIntegrale definito. Introduzione: il problema delle aree
Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,
DettagliCORSO DI CALCOLO E BIOSTATISTICA. A.A APPUNTI SUGLI INTEGRALI
CORSO DI CALCOLO E BIOSTATISTICA. A.A. 212-213. APPUNTI SUGLI INTEGRALI Il testo che segue contiene brevi ppunti reltivi lle lezioni svolte sull teori elementre dell integrzione di funzioni reli di un
DettagliCalcolo integrale in due e più variabili
Clcolo integrle in due e più vribili 9 dicembre 2010 1 Definizione di integrle Il primo psso st nell definizione e determinzione dell integrle per funzioni due vribili prticolrmente semplici: le funzioni
DettagliOrtogonalità di funzioni
Cpitolo 0 Ortogonlità di funzioni 01 Funzioni linermente indipendenti e funzioni ortogonli Si (, b) un intervllo dell sse rele Si dice le n + 1 funzioni φ 0 (x), φ 1 (x),, φ n (x), definite in (, b), sono
DettagliPNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1
www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre
DettagliIngegneria civile - ambientale - edile
Ingegneri civile - mbientle - edile Anlisi - Prove scritte dl 7 Prov scritt del 9 giugno 7 Esercizio Determinre i numeri complessi z che risolvono l equzione i z z z z i =. Esercizio (i) Posto n = n 3
DettagliIntegrale definito (p.204)
Integrle definito (p.4) Trttimo dei cenni sull teori dell integrzione nel cso di funzioni continue (integrle di Cuchy). Gli integrli si estendono l cso di funzioni limitte (integrle di Riemnn). Nel clcolo
Dettagli2 Generalità sulle matrici
2 Generlità sulle mtrici 21 Definizione e csi prticolri Definizione 21 Mtrice n m Un mtrice n m è un tbell rettngolre di n righe e m colonne i cui elementi sono numeri reli (o complessi) indicizzti con
DettagliIntegrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:
Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle
DettagliIntegrale definito (p.204)
Integrle definito (p.04) Trttimo dei cenni sull teori dell integrzione nel cso di funzioni continue (integrle di Cuchy). Gli integrli si estendono l cso di funzioni limitte (integrle di Riemnn). Nel clcolo
Dettagli1 Lavoro sperimentale (di Claudia Sortino)
1 Lvoro sperimentle (di Cludi Sortino) Prtendo d un nlisi epistemologic del prolem, ho preprto un test che ho successivmente proposto due quinte clssi di un istituto industrile. QUESTIONARIO SULL INTEGRAZIONE
DettagliCampi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n.
Cmpi Ultimo ggiornmento: 18 febbrio 217 Un funzione F di n vribili reli e vlori in R n è dett cmpo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A perto di R n. 1. Integrli curvilinei di second specie
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Economi Diprtimento di Scienze Economiche, Aziendli e Sttistiche Appunti del corso di Mtemtic 11 - Integrli Anno Accdemico 2015/2016 M. Tumminello, V. Lcgnin,
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 13
Geometri BAER Cnle I Esercizi Alcuni di questi esercizi forse sono un po difficili visto che bbimo ftto quest prte un po in frett, m si può sempre provre. Esercizio. Si scrivno le equzioni delle prbole
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria
Teoremi per l second prov. Dimostrzioni. Federico Lstri, Anlisi e Geometri Politecnico di Milno Corso di Anlisi e Geometri Federico Lstri federico.lstri@polimi.it Teoremi per l second prov. Dimostrzioni.
Dettagli11. I teoremi del calcolo differenziale, I
11. I teoremi del clcolo differenzile, I 11. Funzioni di clsse C 1 Abbimo visto, cfr Cpitolo 9, che l esistenz delle sole derivte przili non è sufficiente grntire l differenzibilit in un punto dto. Pero
Dettagli