Figura 2.1. A sottoinsieme di B

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1 G Sammito, ernardo, Formulario di matematia Insiemi F Cimolin, L arletta, L Lussardi Insiemi Generalità Un insieme è una ollezione distinguibile di oggetti, detti elementi dell'insieme Quando un elemento a appartiene ad un insieme si srive a Nel aso in ui a sia un elemento non appartenente all'insieme si srive a Gli insiemi finiti si possono rappresentare elenando uno per uno tutti gli elementi ontenuti d esempio se l'insieme è ostituito dagli interi ompresi fra e 5 si sriverà = {,,3,4,5} L'insieme he non ontiene nessun elemento si hiama insieme vuoto e si india on Si ha = {} Relazioni e operazioni tra insiemi La relazione di inlusione è una relazione he sussiste fra due insiemi quando ogni elemento del primo insieme appartiene anhe al seondo In simboli, se a a, allora si srive (o alternativamente ), e si die he è un sottoinsieme di Figura sottoinsieme di Si parla di inlusione stretta fra due insiemi quando ogni elemento del primo insieme appartiene anhe al seondo, ma i due insiemi sono diversi, ovvero esistono elementi del seondo insieme non appartenenti al primo Se a a e, ossia se b tale he b, allora si srive ( ), e si die he è un sottoinsieme proprio di Due insiemi e sono uguali se ontengono esattamente gli stessi elementi In formule = x( x x ) oppure = L'unione tra insiemi è un operatore fra due insiemi, e, he restituise l'insieme ontenente sia gli elementi di sia gli elementi di La definizione di unione insiemistia si appoggia sull'operatore logio OR (inlusivo), il ui simbolo è : = { a : a a } wwwmatematiamenteit

2 G Sammito, ernardo, Formulario di matematia Insiemi F Cimolin, L arletta, L Lussardi Figura In grigio unito L'intersezione tra insiemi è un operatore fra due insiemi, e, he restituise l'insieme degli elementi appartenenti ontemporaneamente sia ad he a L'operatore intersezione viene definito formalmente faendo uso dell'operatore logio ND, il ui simbolo è : = { a : a a } Figura 3 In grigio intersezione La differenza fra due insiemi e, restituise l'insieme ontenente gli elementi he appartengono ad e he ontemporaneamente non appartengono a \ = { a : a a } \ Figura 4 In grigio l insieme differenza tra e La differenza simmetria fra due insiemi oinide on l'insieme degli elementi appartenenti ad uno dei due insiemi di partenza ma non ad entrambi ontemporaneamente Pertanto la differenza simmetria è, per erti versi, analoga all'operatore OR eslusivo Δ = ( ) \ ( ) wwwmatematiamenteit

3 G Sammito, ernardo, Formulario di matematia Insiemi F Cimolin, L arletta, L Lussardi Δ Figura 5 In grigio la differenza simmetria tra e L'operazione di omplementare rihiede uno spazio ambiente, ovvero l'insieme a ui appartengono tutti gli elementi esistenti Se X è lo spazio ambiente e è un suo sottoinsieme ( X ) allora il omplementare di, rispetto a X, è l'insieme di tutti gli elementi (di X ) he non appartengono ad : = C = = X \ = { x : x X x } X Figura 6 In grigio il omplementare di rispetto all insieme ambiente X L'insieme potenza, o insieme delle parti, di un insieme è l'insieme he ha per elementi tutti i sottoinsiemi di ( )={ X : X } Nota he ( ) e ( ) Se l insieme è formato da n elementi, l insime delle parti ( ) è formato da n elementi Il prodotto artesiano fra due insiemi, e, restituise l'insieme di tutte le oppie ordinate, tali per ui il primo elemento della oppia appartiene ad ed il seondo a = {( a, b) : a b } Nota he se allora Si usa anhe la notazione = Proprietà degli operatori insiemistii = è l'elemento assorbente dell'intersezione = è l'elemento neutro rispetto all'unione \ = è l'elemento neutro (a destra) rispetto alla differenza insiemistia proprietà riflessiva dell inlusione C C proprietà transitiva dell inlusione wwwmatematiamenteit 3

4 G Sammito, ernardo, Formulario di matematia Insiemi F Cimolin, L arletta, L Lussardi = proprietà ommutativa dell'intersezione = proprietà ommutativa dell'unione ( = ( ) C proprietà assoiativa dell'intersezione ( = ( ) C proprietà assoiativa dell'unione ( = ( ) ( proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione ( = ( ) ( proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione Se X è l'insieme universo, allora X =, = X, =, = X (leggi di omplementazione) = \ proprietà del omplementare rispetto all'intersezione \ = proprietà del omplementare rispetto alla differenza ( = ( ) ( proprietà distributiva del prodotto artesiano rispetto all'unione ( = ( ) ( proprietà distributiva del prodotto artesiano rispetto all'intersezione ( \ ) C = ( \ ( proprietà distributività del prodotto artesiano rispetto alla differenza insiemistia ( ) =, ( ) = leggi di De Morgan Una relazione fra n insiemi, X, X,, X n è un sottoinsieme del prodotto artesiano X X X n Una relazione di questo genere è detta anhe n -aria Una relazione binaria fra due insiemi e è un sottoinsieme del prodotto artesiano Se aade he =, si die he una relazione binaria su è un sottoinsieme del prodotto artesiano Relazione iniettiva Sia R una relazione binaria fra due insiemi Si die he R è iniettiva se e soltanto se elementi distinti di orrispondono a elementi distinti di seondo la relazione R, ioè se e soltanto se dati ( a, b) R e ( a, b) R risulta a, a, b = b a = a Relazione suriettiva Sia R una relazione binaria fra due insiemi Si die he R è suriettiva b a : a, b R se e soltanto se ( ) Relazione biunivoa Sia R una relazione binaria fra due insiemi Si die he R è una relazione biunivoa se e soltanto se è ontestualmente iniettiva e suriettiva Proprietà delle relazioni Sia R una relazione binaria su Proprietà riflessiva La relazione R si die riflessiva se e soltanto se ( aa, ) R a Proprietà transitiva La relazione R si die transitiva se e soltanto se per ogni terna a, b, vale ( ab, ) R ( b, ) R ( a, ) R Proprietà simmetria La relazione R si die simmetria se e soltanto se per ogni oppia a, b vale ( ab, ) R ( ba, ) R Proprietà antisimmetria La relazione R si die antisimmetria se e soltanto se per ogni oppia a, b vale ( a, b) R ( b, a) R a = b Una relazione di equivalenza è una relazione binaria R su un insieme he rispetta le proprietà riflessiva, simmetria e transitiva Esempio: la relazione di uguaglianza = su R (insieme dei numeri reali) è una relazione di equivalenza wwwmatematiamenteit 4

5 G Sammito, ernardo, Formulario di matematia Insiemi F Cimolin, L arletta, L Lussardi Una relazione d ordine è una relazione binaria R su un insieme se e soltanto se rispetta le proprietà riflessiva, antisimmetria e transitiva Esempio: la relazione su R (Insieme dei numeri reali) è una relazione d'ordine Una partizione di un insieme X è una suddivisione di X in sottoinsiemi X, X, X n tali he: - l'unione di tutti i sottoinsiemi è l'insieme X stesso, ioè X X Xn = X ; - due qualsiasi sottoinsiemi della partizione sono disgiunti, ioè Xi X j = i, j {,, n}, on i j; - nessun sottoinsime è vuoto, ioè Xi i {,,, n} Ogni relazione di equivalenza R su un insieme determina una partizione di, ostituita da sottoinsiemi formati da elementi equivalenti fra di loro seondo la relazione R Ognuno di questi sottoinsiemi prende il nome di lasse di equivalenza; l insieme delle lassi di equivalenza forma l insieme quoziente, he si india on il rimbolo / R 3 Funzione Funzione Una orrispondenza univoa, o appliazione, o anhe funzione, f da in, assoia a ogni elemento a uno, e uno solo, elemento b Per indiare una funzione si usa il simbolo f : f Figura 7 Rapresentazione di una funzione o orrispondenza univoa; a ogni elemento di è assoiato un solo elemento di b= f a si die Il dominio della funzione f è l insieme ; il odominio è l insieme L elemento ( ) immagine di a, mentre a si die ontroimmagine di b L insieme immagine di f è l insieme { } ( ) : / ( ) f = b a f a = b Funzione suriettiva Una funzione si die suriettiva quando f ( ) = Funzione iniettiva Una funzione si die iniettiva se ad elementi distinti di assoia elementi distinti x x f x f x di, in simboli ( ) ( ) Esempio : = {,, 3}, = {,,3, 4,5,6,7,8,9}, f : quadrato Questa funzione non è sureittiva poihé ( ) {, 4,9} assoia a un elemento di il suo f = La funzione f è iniettiva perhé ad elementi distinti di assoia elementi distinti in, 0,, D = 0,,,3, 4, g : C D assoia a un elemento di C il suo Esempio : C = { + + }, { } wwwmatematiamenteit 5

6 G Sammito, ernardo, Formulario di matematia Insiemi F Cimolin, L arletta, L Lussardi f = f + = quadrato Questa funzione non è iniettiva poihé ( ) ( ) 3 f C g 0 4 D Figura 8 La funzione f : è iniettiva; la funzione g : C D non è iniettiva Funzione biettiva Una funzione si die biettiva se è iniettiva e suriettiva Funzione inversa Si die funzione inversa di una funzione biettiva f : on f he assoia a ogni elemento b l unia ontroimmagine a tale he f ( a) la funzione, indiata Funzione omposta Date due funzioni f : e g : C risulta definita una terza funzione h: C he ad un elemento di assoia un elemento di C ottenuto appliando f ad a e poi appliando g ad f ( a ) Questa funzione si die funzione omposta di f e g e si india on h = g f, oppure h = g f ( x) ( ) = b f g C a b h Figura 9 La funzione omposta La funzione identia o identità è l appliazione f : he lasia inalterati gli elementi di e ioè tale he f ( a) a a =, solitamente indiata on I ( ) oppure ( ) id 4 Strutture algebrihe Una legge di omposizione interna binaria è un appliazione he assoia ad ogni oppia ordinata di elementi ab, di uno e un solo elemento di In simboli f : ( ab, ) oppure a b= Una struttura algebria è un insieme sul quale è definito una legge di omposizione interna Una struttura algebria si india ome una oppia (, ), dove è l insieme, l operazione interna Un semigruppo è una struttura algebria (, ) in ui l operazione è assoiativa, ioè wwwmatematiamenteit 6

7 G Sammito, ernardo, Formulario di matematia Insiemi F Cimolin, L arletta, L Lussardi ( a b) = a ( b ) a, b, Un semigruppo abeliano è un semigruppo nel quale l operazione interna è anhe ommutativa, ioè a b= b a, a, b Un monoide è un semigruppo he ha un elemento neutro u, tale he u a= a u = a, a Un gruppo è una struttura algebria (, ) in ui l operazione è - assoiativa: ( a b) = a ( b ) a, b, - dotata di elemento neutro u: u a= a u = a, a - ogni elemento ammette un simmetrio tale he a a = a a= u, a a Un grupppo abeliano è un gruppo la ui operazione è anhe ommutativa: a b= b a, a, b Esempi: ( + ) forma un gruppo ( + ) Un anello è una struttura algebria on due operazioni (,, ) per la quale - (, ) è un gruppo abeliano - (, ) è un semigruppo non è un gruppo poihé non i sono gli elementi simmetrii - vale la proprietà distributiva dell operazione rispetto all operazione, ioè: a ( b ) = ( a b a ), ab,, Un anello ommutativo è un anello nel quale tutte e due le operazioni sono ommutative +, è un anello ommutativo Esempio: ( ) Un anello unitario è un anello (,, ) nel quale è un elemento neutro per l operazione, ioe (, ) è un monoide Un orpo è un anello (,, ) nel quale { u}, dove u è l elemento neutro di, è un gruppo rispetto all operazione,, nel quale l operazione è ommutativa Un ampo è un orpo ( ) Esempi: ( +, ), ( +, ) sono ampi wwwmatematiamenteit 7