(parte decimale) : (1 seguito da tanti zeri quanti i numeri della parte decimale) =(gradi secondi) : 3600.

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1 F1. Goniometria F1.1 Misura degli angoli GRADI Si è abituati a misurare gli angoli in gradi. Il grado si indica con il simbolo. Esistono due modi differenti per indicare i sottomultipli del grado: la notazione decimale e la notazione con i gradi primi e secondi, detta notazione sessagesimale. GRADI IN NTAZINE DECIMALE. Si può scrivere un angolo come 1,75, oppure 8,55. GRADI IN NTAZINE SESSAGESIMALE. Un grado si divide in sessanta gradi primi. Il grado primo si indica con il simbolo. Un primo si divide in sessanta gradi secondi. Il grado secondo si indica con il simbolo. Si può scrivere un angolo come , oppure E importante saper trasformare un angolo con sottomultipli in notazione decimale in un angolo con sottomultipli indicati con primi e secondi e viceversa. PASSAGGI DA NTAZINE DECIMALE A NTAZINE SESSAGESIMALE. Per passare da notazione decimale a notazione sessagesimale si utilizza la seguente proporzione: (parte decimale) : (1 seguito da tanti zeri quanti i numeri della parte decimale) (gradi secondi) : 600. per ottenere i gradi secondi e poi si deve scrivere il risultato in gradi primi e secondi. Esempio F1.1: Scrivere 1,75 in gradi primi e secondi. Si scrive la proporzione indicata precedentemente: 75:100:600. (600 75)/ secondi. Per scrivere 700 secondi in primi e secondi si divide per 60. Il quoziente della divisione indica i primi e il resto indica i gradi secondi. 700:6045 con il resto di 0. Quindi 1, Esempio F1.: Scrivere 8,55 in gradi primi e secondi. Si scrive la proporzione indicata precedentemente: 55:1000:600. (600 55)/ secondi. Per scrivere 178 secondi in primi e secondi si divide per 60. Il quoziente della divisione indica i primi e il resto indica i gradi secondi. 178:601 con il resto di 18. Quindi 8, PASSAGGI DA NTAZINE SESSAGESIMALE A NTAZINE DECIMALE Per trasformare gli angoli dalla notazione sessagesimale alla notazione decimale si determinano i gradi secondi e poi si utilizza la seguente formula: Esempio F1.: Scrivere in notazione decimale. 4 1 sono secondi. Utilizzando la formula precedente si ha: 05/6000,57. Quindi ,57. Esempio F1.4: Scrivere 54 4 in notazione decimale. parte decimalegradi secondi/600. Teoria F1-1

2 4 sono secondi. Utilizzando la formula precedente si ha: 1440/6000,4. Quindi ,4. RADIANTI Il radiante è una unità di misura degli angoli alternativa ai gradi. Un radiante vale poco meno di 60. Si consideri il raggio di una circonferenza e si riporti la misura del raggio sull arco di circonferenza. L angolo che ne risulta ha la misura di un radiante. Si ricorda che π (pi greco) vale circa,14. Fig. F1.1 Definizione di radiante. Il perimetro di una circonferenza è πr. Per ricoprire l intera circonferenza serve π volte la lunghezza del raggio. Per ricoprire metà circonferenza serve quindi esattamente π volte la lunghezza del raggio. Un angolo di 180 è dunque equivalente a π radianti. Fig. F1. Relazione tra gradi e radianti. Da questo si ricava la seguente relazione: 180 π rad ssia ci vogliono circa,14 radianti per ottenere 180. Per trasformare un angolo da gradi (con la virgola) a radianti, o viceversa, si usa la seguente proporzione: CME PASSARE DA GRADI A RADIANTI Esempio F1.5: Trasformare 10 in radianti. Si utilizza la proporzione gradi : 180 radianti : π. 10 :180 radianti: π. 10 π radianti π. 180 Esempio F1.6: Trasformare 67,5 in radianti. Si utilizza la proporzione gradi : 180 radianti : π. 67,5 :180 radianti: π. gradi : 180 radianti : Teoria F1-

3 67,5 π radianti π CME PASSARE DA RADIANTI A GRADI Esempio F1.7: Trasformare π in gradi. Si utilizza la proporzione gradi : 180 radianti : π. gradi:180 : π π. gradi 180 π : π 70. Esempio F1.8: Trasformare 1 π in gradi. 4 Si utilizza la proporzione gradi : 180 radianti : π. 1 gradi:180 : 4 π π. 1 gradi 180 π : π F1. Definizione delle funzioni goniometriche SEN e CSEN Si prende la circonferenza che ha centro l origine degli assi e raggio 1. Tale circonferenza viene indicata con il nome di circonferenza goniometrica, ed ha equazione + 1 Si traccia una semiretta che forma con l asse delle un angolo. Dal punto in cui tale semiretta incontra la circonferenza si traccia un segmento verticale fino a toccare l asse e un segmento orizzontale fino a toccare l asse. Il seno è la lunghezza del segmento verticale, il coseno è la lunghezza del segmento orizzontale. quadrante 1 quadrante cos sen quadrante 4 quadrante Fig. F1. Definizione di seno e coseno. Al variare dell angolo varia anche la lunghezza di questi segmenti. Per ogni angolo compreso tra 0 e 60 è possibile trovare la lunghezza del seno e del coseno. Per comprendere il significato di seno e coseno vengono adesso presentati alcuni esempi per il calcolo di seno e coseno per gli angoli 0, 0, 45, 60, 90, Se 0 il segmento verticale ha lunghezza 0, il segmento orizzontale è lungo come il raggio, ossia 1. Quindi sen(0 )0 e cos(0 )1. Teoria F1-

4 cos sen Fig. F1.4 Seno e coseno per Se l angolo è 90 il segmento verticale è lungo come il raggio, ossia 1 e il segmento orizzontale ha lunghezza 0. Quindi sen(90 )1 e cos(90 )0. cos sen Fig. F1.5 Seno e coseno per Se l angolo è 0 allora il triangolo PP in figura F1.6 è equilatero, in quanto ha tutti gli angoli di 60. Anche i lati sono tutti uguali, ed essendo lunghi come il raggio hanno lunghezza 1. Il seno è la metà del lato del triangolo equilatero, ossia la metà di 1. Da ciò segue che sen(0 ) 1. Per trovare il coseno si può applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PA. cos 0 0 P sen 0 A P cos 0 A P PA Pertanto si ha: Fig. F1.6 Seno e coseno per 0.. Teoria F1-4

5 1 sen 0 cos 0 45 Se l angolo è 45 allora PAPBAB. ssia sen(45 )cos(45 ). Si indica con PAPBAB. Si sa che Praggio1. Si applichi il teorema di Pitagora al triangolo PA. cos 45 A P 45 B sen 45 Fig. F1.7 Seno e coseno per Pertanto si ha: sen 45 cos Se l angolo è 60 allora il triangolo tracciato PP è equilatero, in quanto ha tutti gli angoli uguali di 60. Anche i lati sono tutti uguali, ed essendo lunghi come il raggio hanno lunghezza 1. Il coseno è la metà del lato del triangolo equilatero, ossia la metà di 1. Da ciò segue che cos(60 ) 1. Per trovare il seno si può applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PA. P A cos 60 P 60 sen 60 Fig. F1.8 Seno e coseno per 60. sen60 A P PA Pertanto si ha: sen 60 1 cos 60 Teoria F1-5

6 PER MLTI ALTRI ANGLI BASTA RIFERIRSI AGLI ESEMPI APPENA VISTI. A titolo esemplificativo si calcolano seno e coseno di 40, ma i ragionamenti appena visti permettono di calcolare seno e coseno per tutti gli angoli multipli di 0 e Se l angolo è 40 allora la lunghezza del seno è uguale a quella del seno di 60, e anche la lunghezza del coseno è uguale a quella del coseno di 60, però il segmento verticale è STT l asse, quindi va considerato negativo. Il segmento orizzontale è A SINISTRA dell asse, quindi è considerato negativo. 40 sen 40 P cos 40 Fig. F1.9 Seno e coseno per 40. sen 60 1 cos 60 da cui sen 40-1 cos 40 - SI CNCLUDE CN LE SEGUENTI IMPRTANTI SSERVAZINI: SSERVAZINE 1: Il triangolo formato da seno, coseno e raggio è un triangolo rettangolo, quindi si può applicare ad esso il teorema di Pitagora. I cateti sono il seno e il coseno. L ipotenusa è il raggio della circonferenza che ha lunghezza 1. Da ciò si ottiene la PRIMA RELAZINE FNDAMENTALE DELLA GNIMETRIA. sen + cos 1 SSERVAZINE : Il segno del seno è positivo se il segmento si trova sopra l asse, negativo se si trova sotto l asse. Il segno del coseno è positivo se il segmento si trova a destra dell asse, negativo se si trova a sinistra dell asse. seno coseno Fig. F1.10 Segno di seno e coseno. TANGENTE e CTANGENTE Ci si riferisce sempre alla circonferenza di centro l origine degli assi e raggio 1. Si tracciano la retta verticale 1 e la retta orizzontale 1. La semiretta che delimita l angolo incontra queste due rette rispettivamente in due punti P e P. Il segmento AP è la tangente. Il segmento BP è la cotangente. N.B.: LA TANGENTE è SEMPRE SULLA RETTA VERTICALE 1. LA CTANGENTE è SEMPRE SULLA RETTA RIZZNTALE 1. NN SN MAI SULLA RETTA -1 o -1!! Teoria F1-6

7 1 B cotg P P tg A 1 Fig. F1.11 Definizione di tangente e cotangente. Per calcolare la tangente si utilizza il seguente ragionamento: Siano Ccos, DCsen, PAtg, A1. I triangoli DC e PA sono simili, quindi hanno i lati in proporzione tra loro. Quindi PA:ADC:C. ssia tg:1sen:cos. D P sen tg cos C A 1 Fig. F1.1 Calcolo della tangente. Per calcolare la cotangente il ragionamento è analogo: Siano DEcos, Esen, P Btg, B1. I triangoli DE e P B sono simili, quindi hanno i lati in proporzione tra loro. Quindi P B:BDE:E. ssia cotg:1cos:sen. 1 cotg B P E sen cos D Fig. F1.1 Calcolo della cotangente. Teoria F1-7

8 Si è ottenuta lin questo modo la SECNDA RELAZINE FNDAMENTALE DELLA GNIMETRIA: tg sen cos cotg cos sen da cui si ha tg 1 1 cotg e cotg tg I segni per tangente e cotangente sono i seguenti: tangente cotangente Fig. F1.14 Segni di tangente e cotangente. ra si calcolano i valori di tangente e cotangente per gli angoli 0, 0, 45, 60, 90, Se l angolo è 0 il segmento verticale ha lunghezza 0. La tangente è quindi 0. La retta dell angolo è parallela alla retta 1 e quindi non si riesce a trovare il punto P. La cotangente quindi non esiste. tg0 sen0 0 0 Infatti, utilizzando la seconda relazione fondamentale si ha: cos0 1 cotg0 cos0 1? la cotangente non esiste. sen0 0 1 B cotg? 0 tg A P 1 Fig. F1.15 Tangente e cotangente di Se l angolo è 90 il segmento orizzontale ha lunghezza 0. La cotangente è quindi 0. La retta dell angolo è parallela alla retta 1 e quindi non si riesce a trovare il punto P. La tangente quindi non esiste. tg90 sen90 1? la tangente non esiste Infatti cos90 0 cotg90 cos sen B P cotg 90 A tg? Teoria F1-8 1 Fig. F1.16 Tangente e cotangente di 90.

9 0 1 B cotg P 0 P tg A 1 Fig. F1.17 Tangente e cotangente di 0. Utilizzando la seconda relazione fondamentale della trigonometria si ottiene: 1 tg0 sen0 1 1 cotg0 cos0 cos0 sen B cotg P P tg 60 A 1 Fig. F1.18 Tangente e cotangente di tg60 sen60 cotg60 cos cos sen B cotg P P tg 45 A 1 Fig. F1.19 Tangente e cotangente di 45. tg45 sen45 1 cotg45 cos45 1 cos45 sen45 Teoria F1-9

10 10 (è importante capire il disegno) 1 cotg B P 1 10 A tg P Fig. F1.0 Tangente e cotangente di tg10 sen cotg10 cos cos sen10 PRIMA DI PRSEGUIRE CMPLETARE LA SEGUENTE TABELLA: Utilizzare i metodi visti fin qui. Per le celle (1) usare la calcolatrice scientifica. Per le celle () usare le formule dei prossimi paragrafi di bisezione e duplicazione. Le celle * sono state svolte come esempi nelle pagine precedenti. ANGL IN GRADI ANGL IN RADIANTI SEN CSEN TANGENTE CTANGENTE 0 * * * * 10 (1) (1) (1) (1) simmetria di 7 0 metà di () () () () () () 0 * * * * * * * * 50 (1) (1) (1) (1) 54 simmetria da 6 60 * * * * 7 doppio di 6 75 simmetria da * * * * 10 * * (1) (1) (1) (1) Teoria F1-10

11 (1) (1) (1) (1) * * * * * * F1. Archi associati Utilizzando le simmetrie è possibile trovare il valore di seno, coseno, tangente e cotangente anche per angoli che non si trovano nel primo quadrante. - cotg(-) cotg cos sen -sen(-) tg(-) cos(-) tg Fig. F1.1 Archi associati: -. Si vede in figura F1.1 che la lunghezza dei segmenti sen e sen(-) sono uguali, e così anche cos e cos(-), tg e tg(-) e cotg e cotg(-). Prestando attenzione ai segni si ottiene: sen(-) -sen cos(-) cos tg(-) -tg cotg(-) -cotg cotg(180 -) cotg cos(180 -) cos sen(180 -) sen tg tg(180 -) Fig. F1. Archi associati: Teoria F1-11

12 Si vede in figura F1. che la lunghezza dei segmenti sen e sen(180 -) sono uguali, e così anche cos e cos(180 ), tg e tg(180 -) e cotg e cotg(180 -). Prestando attenzione ai segni si ha: sen(180 -) sen cos(180 --) -cos tg(180 --) -tg cotg(180 --) -cotg cotg cotg(180 +) sen(180 +) cos sen tg tg(180 +) cos(180 +) Fig. F1. Archi associati: Si vede in figura F1. che la lunghezza dei segmenti sen e sen(180 +) sono uguali, e così anche cos e cos(180 +), tg e tg(180 +) e cotg e cotg(180 +). Prestando attenzione ai segni si ha: sen(180 +) -sen cos(180 +) -cos tg(180 +) tg cotg(180 +) cotg 60 - cotg(60 -) cotg cos sen sen(60 -) cos(60 -) tg tg(60 -) 60 - Fig. F1.4 Archi associati: Si vede in figura F1.4 che la lunghezza dei segmenti sen e sen(60 -) sono uguali, e così anche cos e cos(60 ), tg e tg(60 -) e cotg e cotg(60 -). Prestando attenzione ai segni si ha: sen(60 -) -sen cos(60 -) cos tg(60 -) -tg cotg(60 -) -cotg Fig. F1.5 Archi associati: Teoria F1-1

13 Si vede in figura F1.5 che la lunghezza dei segmenti sen e cos(90 -) sono uguali, e così anche cos e sen(90 -), tg e cotg(90 -) e cotg e tg(90 -). Prestando attenzione ai segni si ha: sen(90 -) cos cos(90 -) sen tg(90 -) cotg cotg(90 -) tg Fig. F1.6 Archi associati: Si vede in figura F1.6 che la lunghezza dei segmenti sen e cos(90 +) sono uguali, e così anche cos e sen(90 +), tg e cotg(90 +) e cotg e tg(90 +). Prestando attenzione ai segni si ha: sen(90 +) cos cos(90 +) -sen tg(90 +) -cotg cotg(90 +) -tg Fig. F1.7 Archi associati: Si vede in figura F1.7 che la lunghezza dei segmenti sen e cos(70 -) sono uguali, e così anche cos e sen(70 ), tg e cotg(70 -) e cotg e tg(70 -). Prestando attenzione ai segni si ha: sen(70 -) -cos cos(70 -) -sen tg(70 -) cotg cotg(70 -) tg Fig. F1.8 Archi associati: Teoria F1-1

14 Si vede in figura F1.8 che la lunghezza dei segmenti sen e cos(70 +) sono uguali, e così anche cos e sen(70 +), tg e cotg(70 +) e cotg e tg(70 +). Prestando attenzione ai segni si ha: sen(70 +) -cos cos(70 +) sen tg(70 +) -cotg cotg(70 +) -tg F1.4 Grafici delle funzioni goniometriche Si può vedere il seno come una FUNZINE, ossia come una regola che ad ogni angolo associa un numero. Possiamo considerare la come angolo e la come il valore del seno e si ha, utilizzando la calcolatrice: (gradi) sen (gradi) sen (gradi) sen (gradi) sen 0 0, , , , ,98 0 0, , ,4 90-0,94 0 0, , , , , ,77 0-0, , , ,64 0-0,77 0-0, , , ,87 0-0, , ,4 50-0, ,4 80 0, , , , , , , ,00 Tutti queste coppie di valori possono essere viste come punti sul piano cartesiano, ossia (0;0), (10;0,17), (0;0,4) ecc. Si ottiene il grafico in figura F1.9. In realtà il grafico continua indefinitamente sia verso destra che verso sinistra. sen 1,50 1,00 0,50 sen 0,00-0,50-1,00-1, gradi Fig. F1.9 Grafico di sen. E possibile fare la stessa cosa anche per le funzioni coseno, tangente e cotangente, e si lascia ciò per esercizio. F1.5 Formule ltre alle relazioni fondamentali della goniometria esistono molte altre formule di cui non viene data la dimostrazione. FRMULE DI ADDIZINE E STTRAZINE: sen(+β)sen cos β + sen β cos sen(-β)sen cos β - sen β cos cos(+β)cos cos β - sen sen β cos(-β)cos cos β + sen sen β tg + tgβ tg( + β ) 1 tg tgβ tg tgβ tg( β ) 1 + tg tgβ Teoria F1-14

15 Esempio F1.9: Trovare il seno dell angolo 105 sapendo che e conoscendo il seno e il coseno di 60 e 45. sen + β sen cos β + sen β cos sen( ) sen( ) sen60 cos 45 + sen45 cos FRMULE DI DUPLICAZINE: sen()sen cos cos()cos -sen 1-sen cos -1 tg tg( ) 1 tg Esempio F1.10: Trovare il coseno dell angolo 7 sapendo che è il doppio di 6 e conoscendo sen(6 ) cos(6 ) e ( ) cos cos sen cos 7 cos 6 sen 6 ( + ) FRMULE DI BISEZINE: sen ± 1 cos cos ± 1 + cos tg ± 1 cos ± sen 1 + cos 1 + cos Esempio F1.11: Trovare la tangente dell angolo 15 sapendo che è la metà di 0 e sapendo che cos(0 ). 1 tg ± 1 cos tg 1 cos0 ( 15 ) 1 + cos 1 + cos (si è utilizzata la formula dei radicali doppi). FRMULE PARAMETRICHE (si usano per la risoluzione delle equazioni lineari come si vedrà più avanti) sen t 1 + t cos 1 t 1 + t tg t 1 t in cui t tg FRMULE DI PRSTAFERESI p + q p q senp + senq sen cos p + q p q senp senq cos sen p + q p q cosp + cos q cos cos p + q p q cosp cos q sen sen FRMULE DI WERNER Teoria F1-15

16 sen sen β 1 cos cos β + β cos cos β 1 cos cos + β + β sen cos β 1 sen sen + β + β F1.6 Equazioni goniometriche Si dicono equazioni goniometriche le equazioni contenenti funzioni goniometriche nelle quali l incognita è l angolo. IDENTITA GNIMETRICHE Una identità goniometrica è una uguaglianza sempre verificata per qualunque valore degli angoli. Per verificare una identità si deve mostrare che primo e secondo membro sono uguali. Esempio F1.1: sen + cos 1 tg 1 tg cos Verificare la seguente identità: Prima si razionalizza, poi si sostituisce al posto di ( cos sen ) ( 1 + tg) tg sen e poi ci sono da svolgere alcuni passaggi algebrici. cos ( cos sen )( 1 + tg) ( cos sen ) ( 1 + tg) cos sen 1 + tg 1 tg 1 tg 1 tg sen + 1 cos cos cos sen 1 tg 1 tg cos cos sen + cos sen + cos Non tutti gli esercizi si svolgono nello stesso modo, spesso bisogna trovare la strada giusta. E necessario spesso usare le relazioni fondamentali della goniometria: sen + cos 1, tg sen cos e cotg cos sen EQUAZINI GNIMETRICHE ELEMENTARI Sono le equazioni del tipo: sena, cosa, tga, cotga. Esempio F1.1 Risolvere l equazione goniometrica sen Fig. F1.0 Risoluzione dell equazione sen. Si devono trovare tutti gli angoli per cui il seno vale cercati sono 45 e 15. Però anche altri infiniti angoli hanno seno che vale. Consultando la tabella si trova che i valori degli angoli Ad esempio 5, -15, 405, 495, ecc. In pratica a partire da una delle due soluzioni facendo un numero arbitrario di giri troviamo tutte le altre soluzioni. Per trovare TUTTE le soluzioni si scrive: una soluzione +k periodo Nel nostro caso le soluzioni sono due e il periodo del seno è 60, quindi si ha: 145 +k k60 Esempio F1.14: Risolvere l equazione goniometrica cos 0.. Teoria F1-16

17 90 Si devono trovare tutti gli angoli per cui il coseno vale 0. Consultando la tabella si trova che i valori degli angoli sono 90 e 70. Però anche altri angoli, infiniti, hanno coseno che vale 0. Ad esempio 70, -90, 450, 60, 810, 990, ecc. A partire da una delle due soluzioni facendo un numero arbitrario di giri troviamo tutte le altre soluzioni. Nel nostro caso la soluzione è una ed ha periodo 180, quindi si ha: 90 +k Fig. F1.1 Risoluzione dell equazione cos0. Esempio F1.15: Risolvere l equazione tg Fig. F1. Risoluzione dell equazione tg. Si devono trovare gli angoli per cui la tangente vale. Consultando la tabella si trova che i valori degli angoli sono 0 e 10. Però anche altri angoli hanno tangente che vale +, come 90, 570 eccetera. Nel nostro caso la soluzione è una e ha periodo 180, quindi si ha: 0 +k180. Esempio F1.16: Risolvere l equazione sen 0, ,4,58 Fig. F1. Risoluzione dell equazione sen 0, 4. Teoria F1-17

18 Si devono trovare gli angoli per cui il seno vale 0,4. Non essendoci nella tabella angoli con seno 0,4 si deve usare la calcolatrice (tasto sen -1 ). Si ottiene,58. Le soluzioni sono due (per simmetria), ossia 1,58 e 156,4, entrambe con periodo 60. Si ottengono le due soluzioni seguenti: 1,58 +k60 e 156,4 +k60. EQUAZINI RICNDUCIBILI AD ELEMENTARI Utilizzando dei passaggi algebrici, oppure utilizzando le formule dei paragrafi precedenti è possibile trasformare in equazioni elementari delle equazioni che elementari non sono. Esempio F1.17: Risolvere l equazione sen sen ( π ) π/ π- Fig. F1.4. Risoluzione dell equazione sen sen ( π ) π/ Il seno di un angolo è uguale al seno dell angolo π-, come già si è visto negli angoli associati. Quindi ci sono due possibilità: il primo angolo è uguale al secondo oppure il primo angolo è uguale a π meno il secondo. 1) π π ) π + π π π Quindi la soluzione è π + kπ. Esempio F1.18: Risolvere l equazione sen()1. Il seno vale 1 se l angolo è 90 +k60, da cui: 90 +k60 0 +k10. Esempio F1.19: Risolvere l equazione sen-cos. Il sen è uguale a -cos (dalla tabella) se glia angoli sono 15 e 15. La soluzione è quindi 15 +k180. Esempio F1.0: Risolvere l equazione tg cotg( π 4 ) π/- π/- La tangente tg è uguale alla cotangente di β cotgβ se βπ/-+kπ. Nel nostro caso si ha: π π + k π + π + π + k π π + k π π + k π Teoria F1-18 Fig. F1.5 Risoluzione dell equazione tg cotg( π 4 ).

19 EQUAZINI ALGEBRICHE Una equazione è detta algebrica se vi appare solo una funzione goniometrica e, mettendo al posto di essa una incognita, si ottiene un equazione di secondo, terzo grado, eccetera, risolvibile con i metodi già visti. Esempio F1.1: Risolvere l equazione cos -cos0. Si raccoglie cos. cos (cos-1)0 Si devono risolvere quindi le equazioni elementari cos0 e cos-10 1) cos k180 ) cos 1 0 +k Fig. F1.6 Risoluzione dell equazione cos -cos0. Esempio F1.: Risolvere l equazione sen -sen+10. E una equazione di secondo grado con incognita sen. ± sen , ± Si devono quindi risolvere le due equazioni sen1 e 1) sen k60 ) sen1/ 0 +k60 e 150 +k60 sen Fig. F1.7 Risoluzione dell equazione sen -sen+10. Esempio F1.: Risolvere l equazione cos -cos-0. E un equazione di secondo grado con incognita cos. 1 ± cos , ± Si devono risolvere le due equazioni cos e cos-1 E impossibile che il coseno valga! L unica soluzione si trova quindi da cos k60 Teoria F1-19

20 180 EQUAZINI LINEARI IN SEN E CSEN Fig. F1.8 Risoluzione dell equazione cos -cos-0. Le equazioni lineari sono equazioni di primo grado; ciò significa che seno e coseno avranno solo esponente 1. Saranno quindi equazioni del tipo: asen+bcosc N.B. il procedimento descritto nei prossimi esempi non permette di trovare le soluzioni 180 +k60 che vanno quindi verificate a parte. Per risolverle si utilizzano le formule parametriche: t sen cos 1 t tg t 1 + t 1 + t 1 t in cui t tg. Esempio F1.4: Risolvere l equazione sen cos 1. Si sostituiscono al posto di seno e coseno le espressioni delle formule parametriche e si risolve trovando la t. t 1 t 1 t + t 1 + t t t + t t + t t 1 + t 1 + t a 1 b c 1 ± ± 1 ± ± ± ± t1, t ( ) t Si tratta quindi di risolvere le due equazioni: 1) tg k k60 - Si vede dalla tabella che la tangente è 1 se l angolo è 45 - ) tg k k60 - Nella tabella c è scritto che la tangente vale + se l angolo è 75. Per simmetria vale, come si vede in figura F1.9, se l angolo è 75, ossia se è Fig. F Risoluzione dell equazione sen cos 1. Teoria F1-0

21 EQUAZINI MGENEE IN SEN E CSEN Una equazione è detta omogenea in seno e coseno se tutti i termini vi appaiono sempre con lo stesso esponente. Si vedranno tre esempi. Nel primo esempio vedremo una equazione omogenea di primo grado, nel secondo una equazione omogenea di secondo grado e nel terzo un equazione riconducibile ad una omogenea di secondo grado. Il procedimento è il seguente: SE SI PU SCMPRRE IN FATTRI lo si fa, e ci si riconduce ad equazioni elementari. SE NN SI PU SCMPRRE IN FATTRI si divide tutto per cos (se è di primo grado) o per cos (se è di secondo grado), ecc. In questo modo rimane come unica incognita la tangente. N.B. il procedimento non permette di trovare i risultati 90 +k60 e 70 +k60 che vanno quindi verificati a parte. Esempio F1.5: Risolvere l equazione sen+cos0. E omogenea perché tutti i termini sono di primo grado. Si noti che sen+cos1 non è omogenea perché 1 è un termine di grado zero e non di grado 1! sen + cos 0 tg tg k180. cos cos Esempio F1.6: Risolvere l equazione sen + sencos cos 0. E omogenea perché tutti i termini sono di secondo grado. Si divide tutto per cos e si ottiene una equazione di secondo grado con incognita tg. sen + ( sencos cos ) 0 cos cos cos tg + tg 0 + ± 4 + ± tg1, + ± + + ± ± tg k ( + ) tg k Esempio F1.7: sen + 1 sencos cos 1. Risolvere l equazione Non è omogenea perché 1 non è di secondo grado! Al posto di 1 possiamo però scrivere, per la prima relazione fondamentale della goniometria, sen +cos. Poi si deve riscrivere l equazione e riordinarla, dividere tutto per cos e così si ottiene una equazione di secondo grado con incognita tg. + ( ) + ( + ) + ( ) + + ( 1) + 0 sen 1 sencos 1 cos 1 sen + 1 sencos cos sen + cos sen sen + 1 sencos cos cos 0 sen 1 sencos cos 0 sen sencos cos cos cos cos tg + 1 tg ± ± tg1, ± ± ± ( 1) tg k ( 1) tg k180 Teoria F1-1

22 F1.7 Disequazioni goniometriche Le disequazioni goniometriche sono quelle in cui l incognita è argomento di una funzione goniometrica. Ecco qui di seguito alcuni esempi su come si risolvono i vari tipi di disequazioni. DISEQUAZINI ELEMENTARI Le equazioni e le disequazioni elementari sono quelle in cui del tipo sen>numero, cos numero, tg numero, ecc. Esempio F1.6: Risolvere la disequazione sen < 1. Il seno di vale 1 per gli angoli di 0 e di 150, come si vede in figura. Sarà minore di 1 nella parte di circonferenza colorata, quindi per 0 +k60 <<0 +k60 e per 150 +k60 <<60 +k Fig. F1.40 Risoluzione della disequazione sen < 1. Esempio F1.7: Risolvere la disequazione tg. La tangente di vale per 150 +k180. Le soluzioni sono gli angoli per cui la tangente è maggiore o uguale di, ossia la parte di circonferenza colorata. Sono quindi gli angoli tra 150, compreso, e 70, escluso perché per 70 la tangente non esiste. La soluzione è quindi 150 +k180 <70 +k Fig. F1.41 Risoluzione della disequazione tg. DISEQUAZINI RICNDUCIBILI AD ELEMENTARI Esempio F1.8: Risolvere la disequazione cos π 1 <. 4 Teoria F1-

23 cos t Per iniziare si risolve la disequazione 1 <. Il coseno vale 1 per gli angoli 60 e 00. Il coseno è minore di 1 per gli angoli t compresi tra 60 e kπ<t<00 +kπ. ra si sostituisce al posto di t il valore dell angolo dell esercizio Fig. F1.4 Risoluzione della disequazione cos π 1 < k180 < 45 < 00 + k k < < 00 + k k180 < < 45 + k ' + k90 < < 17 0' + k90 Esempio F1.9: Risolvere la disequazione 1 sen tg + 0. Si risolvono indipendentemente le due disequazioni 1 sen 0 e tg + 0. La prima delle due disequazioni, come visto nell esempio F1.6, ha soluzioni 0 +k60 0 +k60 e 150 +k k60. La seconda delle due disequazioni, come visto nell esempio F1.7, ha soluzione 150 +k180 <70 +k180, che nell intervallo da 0 a 60 si può esprimere così: 0 +k60 <90 +k60, 150 +k60 <70 +k60, 0 +k k180. Si possono esprimere tali due soluzioni nel solito modo con le linee continue e tratteggiate Fig. F1.4 Risoluzione della disequazione 1 sen tg + 0. La linea interna rappresenta il segno della prima disequazione, la linea mediana il segno della seconda disequazione, la linea esterna è la linea del totale. Le soluzioni sono gli intervalli in cui la linea esterna è continua, poiché è richiesto maggiore o uguale di zero nel testo della disequazione. La soluzione è dunque 0 +k60 0 +k60, 90 +k60 <<70 +k60, 0 +k k60. Sono esclusi i valori in cui la tangente non esiste. Teoria F1-

24 E possibile rappresentare le righe anche in orizzontale, come si è abituati finora. vviamente il risultato è il medesimo tot Fig. F1.44 Risoluzione della disequazione 1 sen tg + 0. Adesso si prendono come soluzioni gli intervalli che nella linea del totale hanno la linea continua o il pallino, visto che si chiedevano gli angoli per cui (1/-sen )(tg + /) era maggiore o uguale a zero. Le soluzioni sono quindi: 0 +k60 0 +k60, 90 +k60 <<70 +k60, 0 +k k60. Teoria F1-4