Soluzioni della prova scritta di Fisica Generale

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1 Scienze e Tecnologie dell Ambiente Soluzioni della prova scritta di Fisica Generale 20 Settembre 2010 Parte 1 Esercizio 1 Una massa M, approssimabile ad un punto materiale, è attaccata all estremo di una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. L altro estremo della molla è attaccato alla parete di una stanza, in maniera da mantenere la molla orizzontale, mentre la massa puo scorrere sul pavimento. Il coefficiente di attrito statico tra massa e pavimento vale µ s. 1A) Se la molla viene allungata per quale estensione della molla la massa comincia a muoversi? Soluzione dell esercizio 1 1A) Prendiamo ad esempio l asse x lungo la direzione della molla, con verso positivo in allontanamento dalla parete (verso l esterno) e l asse y in direzione ortogonale verso l alto e scomponiamo le forze nelle due direzioni. Le forze presenti sono: la reazione vincolare del pavimento, ortogonale ad esso e diretta verso l alto, N, la forza peso, P, diretta verso il basso, la forza elastica, diretta lungo la molla verso l interno F el =-kx e la forza di attrito statico F s = µ s N diretta lungo la molla verso l esterno (si oppone al possibile moto della massa). La condizione per cui la massa inizia a muoversi è che la risultante delle forze sia diversa da zero. Siccome la massa non può muoversi lungo y si ha N=P=Mg. Consideriamo la risultante delle forze lungo l asse x, R x. R x = F s kx = µ s N kx = µ s Mg kx Quindi, la massa inizierà a muoversi per una estensione della molla pari a: x > µ s Mg k Esercizio 2 Un paracadutista si lancia da un aereo che viaggia parallelamente al suolo con una velocità v A ad un altezza d=800 m. Dopo un tempo t=4 s apre il paracadute e la sua caduta, frenata dalla resistenza dell aria, si stabilizza rapidamente ad una velocità v P =8 m/s (si può quindi assumere che immediatamente dopo l apertura del paracadute la velocità del paracadutista diventi v P ). 2A) Trascurando la resistenza dell aria, quanto vale la velocità verticale V del paracadutista subito prima dell apertura del paracadute (cioè dopo 4 s dal lancio)? 2B) Sapendo che paracadutista e paracadute hanno massa totale m=90 kg, quanto vale il lavoro fatto dalla forza di gravità fino a quel momento? (Trascurare, anche in questo caso, la resistenza dell aria). 2C) Quanto vale il lavoro fatto dalla forza di gravità fino al momento dell atterraggio? (Trascurare, anche in questo caso, la resistenza dell aria). Soluzione dell esercizio 2 2A) Prendiamo l asse z orientato verso l alto con lo zero in corrispondenza del punto in cui il paracadutista apre il paracadute. Il moto di caduta libera lungo la verticale in assenza di attrito è uniformemente accelerato con accelerazione gravitazionale di modulo g=9.8 m/s 2. Perciò, dopo 4 s la velocità verticale del paracadutista è: V = g t = 39 m/s.

2 2B) Per calcolare il lavoro fatto dalla forza di gravità è necessario calcolare lo spazio di caduta percorso, h. Dato che abbiamo trascurato le forze di attrito possiamo utilizzare la conservazione dell energia meccanica tra il momento del lancio e quello immediatamente prima dell apertura del paracadute: E i cin + U i = E f cin + U f 1 2 mv 2 i + mgz i = 1 2 mv 2 f + mgz f. Per come abbiamo contato le altezze, z f = 0, mentre z i =h rappresenta il dislivello percorso dal paracadutista fino all apertura del paracadute. Nel momento del lancio il paracadutista ha la velocità orizzontale dell aereo da cui si lancia di modulo (v i =v A ), mentre immediatamente prima dell apertura del paracadute il paracadutista ha la velocità data dalla somma vettoriale della velocità orizzontale (che è ancora v A, dato che non viene influenzata dalla forza di gravità) e di quella verticale di caduta ( v = V + v A ). La velocità orizzontale può quindi essere trascurata perchè compare identica in entrambi i membri. Quindi: mgh = 1 2 mv 2 h = V 2 2g = 78 m. La gravità agisce in direzione verticale verso il basso, con una forza costante pari a mg. Nel calcolo del lavoro ci interessa quindi solo lo spostamento verticale del paracadutista che ha lo stesso verso della forza gravitazionale. Il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale prima dell apertura del paracadute è quindi: L = mgh = J. 2C) Il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale nella distanza d verticale percorsa dal paracadutista fino all atterraggio, è: L = mgd = J. Parte 2 Esercizio 3 Una mole di gas perfetto monoatomico occupa un volume V 1 =20 l alla temperatura T 1 =300 K. Il gas viene sottoposto ad un ciclo termodinamico composto dalle seguenti tre trasformazioni reversibili: (i) una trasformazione isobara che dimezza il volume; (ii) una trasformazione isocora che raddoppia la pressione; (iii) una trasformazione isoterma che riporta il gas alle condizioni iniziali. 3A) Calcolare il calore, Q, scambiato dal gas con l ambiente esterno durante il ciclo. 3B) Calcolare il calore scambiato dal gas con l ambiente esterno durante la trasformazione (iii). Soluzione dell esercizio 3 3A) In un ciclo la variazione di energia interna è nulla. Possiamo quindi calcolare il lavoro complessivo, L, svolto dal gas durante il ciclo e poi calcolare Q dal primo principio della termodinamica: Q=L. Il lavoro complessivo è la somma dei lavori per le tre trasformazioni. Per la prima trasformazione (isobara) si ha: L (i) = P 1 V = P 1 (V 2 V 1 ). Detto V 2 il volume alla fine della prima trasformazione si ha: V 2 =1/2 V 1 e quindi V = - 1/2 V 1 = -10 l. La pressione lungo l isobara è data da: P 1 = RT 1 V 1 = 1.23 atm. 2

3 Il lavoro lungo la trasformazione (i) vale, quindi, L (i) = J. Inoltre, poichè la pressione è costante ed il volume si dimezza anche la temperatura si dimezza: T 2 =150 K. Durante la trasformazione (ii), che è isocora, non viene compiuto lavoro: L (ii) =0. La trasformazione (ii) porta il gas in uno stato in cui: P 3 =2 P 2 =2 P 1, V 3 =V 2 =1/2 V 1. La temperatura vale quindi: T 3 = P 3V 3 R = 2P 1 1/2V 1 R = P 1V 1 R = T 1 e ritorna quindi al valore iniziale. La trasformazione (iii) è isoterma ed il lavoro è quindi: L (iii) = RT 1 log V 1 1/2V 1 = RT 1 log2 = 1728 J. Il lavoro complessivo è dunque: E quindi: L = L (i) + L (iii) = 482 J. Q = L = 482 J. 3C) La trasformazione (iii) è isoterma e quindi la variazione di energia interna è nulla. Perciò: Q (iii) = L (iii) = 1728 J. Esercizio 4 Una massa m=200 g di un gas perfetto monoatomico subisce una trasformazione isoterma reversibile durante la quale l entropia subisce una variazione S=7 cal/k ed il volume raddoppia. Si calcolino: 4A) i) il peso molecolare, µ, del gas; 4B) ii) la quantità di calore scambiata dal gas durante la trasformazione. Soluzione dell esercizio 4 4A) La variazione di entropia durante una trasformazione isoterma reversibile è (chiamando n il numero di moli): S = nrlog V f V i n = S Rlog V f V i = 3.64 moli. Il peso molecolare µ si ottiene dividendo la massa, espressa in grammi, per il numero di moli: µ = m n = 54.9 g/mole. 4B) Dato che la trasformazione è isoterma la variazione di energia interna è nulla e, per il primo principio della termodinamica, la quantità di calore assorbita uguaglia il lavoro svolto dal gas. Q = L = nrtlog V f V i = cal. 3

4 Figura 1: Figura problema 5 Parte 3 Esercizio 5 Due cariche positive Q 1 e Q 2, approssimabili a puntiformi e di valore pari a q=10 10 C, poste nei punti x 1 e x 2, si trovano a d=20 cm di distanza. 5A) Determinare il vettore campo elettrico in un punto generico dell asse r del segmento che unisce le due cariche (vedi figura 1). 5B) Determinare il valore numerico del campo elettrico sull asse r ad una distanza h=1 m dalla retta che contiene le due cariche (asse x). α α Figura 2: Figura soluzione problema 5 Soluzione dell esercizio 5 5A) Scegliamo l asse y del sistema cartesiano coincidente con l asse r e positivo verso l alto e lo zero dell asse x nel mezzo tra le due cariche di modo che le due cariche occupino i punti di coordinate (d/2,0) e (-d/2,0) (vedi figura 2). Per simmetria si ha che le componenti x del campo elettrico generato da ciascuna delle due cariche si annullano l uno con l altro: E 2x =-E 1x, mentre le componenti y sono uguali in modulo e verso: E 2y =E 1y. Quindi il campo elettrico complessivo è diretto lungo l asse y, nel verso positivo dell asse ed è uguale in modulo al doppio della componente y del campo generato da ciascuna delle due cariche: E tot x =0; E tot y = 2 E 1y = 2 E 2y. Ma E 1y =E 1 cosα, con: q E 1 = k (d/2) 2 + y 2 y cosα =. (d/2) 2 + y 2 e quindi: 4

5 Ex tot = 0; Ey tot qy = k ((d/2) 2 + y 2 ) 3/2. 5B) Il valore numerico richiesto è: E tot x = 0; E tot y qh = k ((d/2) 2 + h 2 = 1.77 V /m. ) 3/2 Esercizio 6 Un conduttore sferico di raggio R, isolato presenta una carica elettrica Q. 6A) Si determini il potenziale elettrostatico V 0 del conduttore (descrivendo il ragionamento fatto per giungere al risultato), assumendo nullo il potenziale all infinito. 6B) Si calcoli la capacità del conduttore. Soluzione dell esercizio 6 6A) La carica elettrica Q si distribuisce sulla superficie del conduttore in modo che il campo elettrico da essa generato internamente al conduttore sia nullo; in tal caso viene verificato che la superficie del conduttore è equipotenziale. Le cariche devono quindi disporsi a simmetria sferica sulla superficie del conduttore di raggio R, con densità superficiale di carica σ=q/4πr 2. Applicando il teorema di Gauss ed utilizzando la simmetria sferica del sistema, si trova che il campo elettrico è radiale, vale zero all interno del conduttore, mentre fuori dal conduttore è identico a quello di una carica puntiforme Q posta nel centro del conduttore sferico. Il potenziale elettrostatico della sfera, assumendo zero il potenziale all infinito, è quindi: V 0 = R 1 E r (r)dr = kq R r 2 dr = k Q R. 6B) La capacità del conduttore è data dalla relazione: C=Q/V o, quindi: C = Q V 0 = R k. Parte 4 Esercizio 7 Si consideri il circuito in figura. Quando l interruttore S viene chiuso sul contatto di sinistra, i piatti del condensatore C 1 = 20µF si portano alla differenza di potenziale V = 100V. Gli altri due condensatori C 2 = 10µF e C 3 = 14µF sono inizialmente scarichi. Successivamente l interruttore viene portato sul contatto di destra, escludendo il generatore e chiudendo il circuito formato dai tre condensatori. 7A) Quali saranno le cariche finali Q 1, Q 2 e Q 3 sui rispettivi condensatori? 7B) Quanta energia viene dissipata nel processo? Soluzione dell esercizio 7 7A) Quando l interruttore viene chiuso a destra, parte della carica accumulata sul condensatore C 1 si distribuisce sugli altri due inizialmente scarichi. L equazione per la maglia destra del circuito è: q 1 C 1 q 2 C 2 q 3 C 3 = 0. 5

6 Figura 3: figura 1 Inoltre le cariche q 2 e q 3 sui due condensatori C 2 e C 3 sono uguali, perché questi ultimi sono in serie, percio : ( q 1 1 q ) = 0. C 1 C 2 C 3 Si noti che questa equazione esprime l uguaglianza della differenza di potenziale ai capi del condensatore C 1, e ai capi del condensatore formato dal parallelo di C 2 e C 3. La carica totale che si distribuisce sulle armature dei condensatori C 1, e su quello formato dalla serie di C 2 e C 3 si deve conservare, e deve essere uguale a quella iniziale che è q 0 = C 1 V Si ha quindi il sistema di due equazioni: q 1 ( 1 q ) = 0, C 1 C 2 C 3 q 1 + q 2 = C 1 V. Questo sistema ha come soluzione: q 2 = q 3 = V V, q 1 = VC 1. 1/C 1 + 1/C 2 + 1/C 3 1/C 1 + 1/C 2 + 1/C 3 7B) L energia dissipata è pari alla differenza tra l energia immagazzinata inizialmente nel conduttore 1 e quella immagazzinata nei conduttori 1,2 e 3 al termine del processo di ridistribuzione della carica: E = 1 2 (q2 0/C 1 q 2 1/C 1 q 2 2/C 2 q 2 3/C 3 ) Esercizio 8 Un elettrone, inizialmente fermo, viene accelerato da una differenza di potenziale di 350V. Al termine dell accelerazione esso entra in un semispazio in cui vi e un campo magnetico uniforme perpendicolare alla sua velocita, di intensita pari a 100mT. 6

7 8A) Calcolare la velocita dell elettrone 8B) Calcolare dopo quanto tempo l elettrone torna indietro, con velocita opposta a quella con cui era entrato nel semispazio. Soluzione dell esercizio 8 8A) La velocità dell elettrone si ottiene imponendo che l energia cinetica dello stesso sia pari alla d.d.p. accelerante per la sua carica: 1 2 mv 2 2q V = q V v = m 8B) Nello spazio in cui è presente il campo magnetico l elettrone percorre un semicerchio di moto circolare uniforme, con velocità v trovata al punto precedente. Il raggio della circonferenza è dato dalla relazione: mv 2 R mv = qvb R = qb Il tempo impiegato è dunque metà del periodo, t=t/2= πr v, ovvero: t = πm qb Esercizio 9 Una lamina conduttrice di lunghezza L, sezione A e resistività ρ è immersa in un campo magnetico B = ^z T. In essa scorre una corrente i = 1 A uniformemente distribuita, come illustrato in figura. Figura 4: Figura problema 1 La densità dei portatori di carica, che sono elettroni e quindi hanno carica e = C, è n = m 3. 9A) Quanto vale il rapporto tra il campo elettrico che genera la corrente e il campo elettrico dovuto all effetto Hall? 9B) A che differenza di potenziale occorre mantenere le due estremità della lamina perché la corrente si mantenga? 9C) Quanto vale la potenza dissipata in watt? Soluzione dell esercizio 9 9A) Sappiamo che in una lamina conduttrice il modulo del campo di Hall è dato dal prodotto tra la velocita di deriva e il campo magnetico: E H = v d B. A sua volta la velocità di deriva si ottiene invertendo la relazione che dà la densitàdi corrente: J = nev d : Mettendo insieme le due otteniamo E H = JB ne Il campo che genera la corrente (un campo esterno) è invece legato alla densita di corrente tramite la resistività: E C =ρ*j. Il rapporto tra i due campi risulta dunque: 7

8 E H /E C = B n eρ 9B) Per mantenere la corrente occorre che i capi del conduttore siano a una differenza di potenziale data da: V = Ri = iρl A 9C) La resistenza totale della lamina è, per la seconda legge di Ohm: La potenza dissipata è dunque: R = ρl S W = Ri 2 8