Corso PAS Anno ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi:

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1 Corso PAS Anno 2014 Matematica e didattica 3 Correzione esercizi 1. Definizione. Sia n un fissato intero maggiore di 1. Dati due interi a, b si dice che a è congruo a b modulo n, e si scrive a b (mod n), se n (a b), cioè se esiste un intero h tale che a b = h n. Esempio: 10 7 (mod 3); (mod 4); 5 9 (mod 7). La relazione così introdotta in Z si dice congruenza modulo n. Per ogni intero n > 1 la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza in Z. Le classi di equivalenza sono in numero di n e indicando con [a] n la classe che contiene l intero a sono precisamente le classi: [0] n, [1] n,, [n 1] n. Definizione. L insieme quoziente di Z rispetto alla relazione di congruenza modulo n si dice insieme delle classi di resto modulo n, e si denota con Z n. Osservazione. Il nome classi di resto è motivato dal fatto che, per ogni a Z, si ha [a] n = [r] n, dove r è il resto della divisione di a con n. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi: [0] 3 = {3h h Z} = { 6, 3, 0, 3, 6, } [1] 3 = {3h + 1 h Z} = { 5, 2, 1, 4, 7 } [2] 3 = {3h + 2 h Z} = { 4, 1, 2, 5, 8 } Il crittosistema a chiave pubblica più noto, utilizzato e studiato è sicuramente l RSA, che prende il nome dalle iniziali dei suoi inventori: Rivest, Shamir e Adleman. Tale crittosistema sfrutta il fatto che il problema della fattorizzazione, che consiste nel trovare i fattori primi di un numero n, viene considerato, al giorno d oggi, intrattabile; più precisamente si congettura che il problema di trovare il testo in chiaro avendo a disposizione il testo cifrato e la chiave pubblica sia equivalente al problema della fattorizzazione. Illustriamo il funzionamento di tale protocollo: si scelgano a caso due numeri p e q distinti e approssimativamente della stessa lunghezza l (per garantire la sicurezza del sistema si consiglia l 100). Si pone n = p q e si congettura, come detto poche righe sopra, che sia estremamente difficile risalire ai due fattori avendo a disposizione solo il numero n; il massimo della difficoltà si ha proprio quando p e q sono della stessa lunghezza. Proseguendo, calcoliamo la funzione di Eulero ϕ(n) che conta il numero di interi minori di n e primi con n : nel nostro caso ϕ(n) = (p 1)(q 1). A questo punto si sceglie un numero r (possibilmente 1

2 grande) tale che 1 < r < ϕ(n) e MCD(r, ϕ(n)) = 1, e utilizzando l algoritmo esteso di Euclide si calcola l unico intero s tale che 1 < s < ϕ(n) e rs 1 mod ϕ(n); s sarà l inverso di r modulo ϕ(n). Ora abbiamo una chiave pubblica k p del sistema, costituita dalla coppia (n, r), ed una chiave privata k s, costituita dal numero s; i valori di p, q, ϕ(n) vanno mantenuti segreti perché altrimenti, come si può dimostrare, è possibile rompere il crittosistema. Se Alice vuole mandare un messaggio a Bob, preleva la chiave pubblica k p = (n, r) di Bob, rappresenta il messaggio come un intero m compreso nell intervallo [0, n 1], calcola c = m r mod n e invia c a Bob. Per recuperare il messaggio di Alice, Bob non deve far altro che calcolare c s mod n, infatti c s mod n (m r ) s mod n m sr mod n m kϕ(n)+1 mod n m (m ϕ(n) ) k mod n m mod n, grazie all estensione del teorema di Eulero-Fermat. Teorema di Eulero-Fermat. Siano a e n due interi primi tra loro; allora a ϕ(n) 1 mod n. Estensione del teorema di Eulero-Fermat. Siano n un intero libero da quadrati (cioè prodotto di primi distinti) e sia a un numero intero; allora a ϕ(n)+1 a mod n. Per esempio data la chiave pubblica k p = (217, 11) in questo caso è facile rompere il crittosistema, in quanto si nota che 217 = 7 31 e quindi si calcola immediatamente ϕ(217) = ϕ(7) ϕ(31) = 6 30 = 180. A questo punto si deve trovare l unico intero s soluzione della congruenza 11s 1 (mod 180) e per farlo si sfrutta l algoritmo euclideo delle divisioni successive: 180 = = =

3 3 = L ultimo resto non nullo dell algoritmo è il massimo comun divisore cercato, cioè 1. Andando a ritroso possiamo ora scrivere 1 come 180x + 11s, infatti dalla penultima riga dell algoritmo si ha: 1 = = 4 1 (11 2 4) 1 = = 3 ( ) 11 1 = quindi abbiamo trovato i numeri x = 3 e s = 49 tali che 1 = 180x + 11s, da cui segue che (mod 180) è la chiave privata s cercata. 2. Costruiamo i numeri interi: Sia N l insieme dei numeri naturali. Nel prodotto cartesiano N N si consideri la seguente relazione: R : (a, b)r(c, d) se e solo se a + d = b + c. Teorema. R è una relazione di equivalenza su N N. Dimostrazione. i) (a, b)r(a, b). Infatti a + b = b + a, per la proprietà commutativa della somma di numeri naturali. ii) Se (a, b)r(c, d), allora (c, d)r(a, b). Infatti, c + b = b + c = a + d = d + a. iii) Se (a, b)r(c, d) e (c, d)r(e, f) allora (a, b)r(e, f). Infatti: da a+d = b+c e c + f = d + e segue a + d + c + f = b + c + d + e. Ora per la legge di cancellazione in N si ottiene a + f = b + e che è la tesi. Possiamo allora introdurre la seguente: Definizione. L insieme quoziente (N N)/R si indica con Z. Gli elementi di Z, cioè le classi di equivalenza di N N rispetto a R, si dicono numeri interi. NOTAZIONE (poco usata): Un elemento (a, b) N N può anche esprimersi mediante il simbolo a b. Il numero intero [(a, b)] R può allora rappresentarsi mediante la differenza a b o mediante qualsiasi differenza equivalente ad a b (nella R). Se la coppia (a, b) è un numero intero, una qualsiasi differenza equivalente ad essa è della forma (a + h, b + h), con h N. Costruiamo i numeri razionali: sia Z l insieme dei numeri interi non nulli. Nel prodotto cartesiano Z Z si consideri la seguente relazione: R : (a, b)r(c, d) se e solo se ad = bc. 3

4 Teorema. R è una relazione di equivalenza su Z Z. Dimostrazione. i) (a, b)r(a, b). Infatti ab = ba, per la proprietà commutativa del prodotto di numeri interi. ii) Se (a, b)r(c, d), allora (c, d)r(a, b). Infatti, cb = bc = ad = da. iii) Se (a, b)r(c, d) e (c, d)r(e, f) allora (a, b)r(e, f). Infatti: da ad = bc e cf = de segue adcf = bcde. Essendo d 0, si ha poi acf = bce. Ora se c 0 si ottiene af = be che è la tesi. Se c = 0, da i) e ii) segue che ad = de = 0, cioè a = 0 e e = 0. Si conclude 0 = af = be. Possiamo allora introdurre la seguente: Definizione. L insieme quoziente (Z Z )/R si indica con Q. Gli elementi di Q, cioè le classi di equivalenza di Z Z rispetto a R, si dicono numeri razionali. NOTAZIONE: Un elemento (a, b) Z Z può anche esprimersi mediante il simbolo di frazione a. Il numero razionale [(a, b)] b R può allora rappresentarsi mediante la frazione a o mediante qualsiasi frazione equivalente ad a (nella R). Se b b la coppia (a, b) è ridotta ai minimi termini, una qualsiasi frazione equivalente ad essa è della forma (ah, bh), con h Z. Possiamo dimostrare che esistono numeri non razionali provando che 5 non appartiene a Q. Supponiamo infatti per assurdo che 5 = m con m, n coprimi. n Elevando al quadrato ambo i membri si avrebbe m 2 = 5n 2 da cui segue che m è multiplo di 5 perché m 2 lo è (lo si verifichi!). Allora m = 5k con k intero, da cui 5n 2 = (5k) 2 ovvero n 2 = 5k 2. Per quanto detto prima si deduce che n è multiplo di 5 ma ciò è contro l ipotesi che m, n fossero coprimi. 3. Definizione. Una relazione R su un insieme X si dice relazione di equivalenza, se: i) ara, per ogni a X (proprietà riflessiva); ii) arb implica bra (proprietà simmetrica); iii) arb e brc implica arc (proprietà transitiva). Per ogni a X indicheremo con [a] R l insieme degli elementi di X che sono in relazione con a; in simboli: [a] R = {x X xra}. Esempi. Sono relazioni di equivalenza il parallelismo fra rette (pur di considerare ogni retta parallela a se stessa), le familiari relazioni di congruenza, similitudine, e di equivalenza (= avere la stessa superficie) tra figure piane e la relazione di congruenza modulo n. Infatti ricordiamo che se n è un fissato intero maggiore di 1, dati due interi a, b si dice che a è congruo a b modulo n, e si scrive a b (mod n), se n (a b), cioè se esiste un intero h tale che a b = h n. 4

5 (a) a a (mod n) perché n 0. (b) se a b (mod n) allora b a (mod n) in quanto se n (a b) allora divide anche il suo opposto b a. (c) se a b (mod n) e b c (mod n) ciò significa che a b = kn e b c = hn con h e k interi; sommando membro a membro le due equazioni si ha che a c = (h+)n cioè a c (mod n). Pertanto la relazione di congruenza modulo n è una relazione di equivalenza. Dobbiamo ora dimostrare che Z 10 = {[1] 10 ; [ 5] 10 ; [22] 10 ; [ 23] 10 ; [33] 10 ; [ 69090] 10 ; [ 31] 10 ; [ 46] 10 ; [6] 10 ; [ 22] 10 ; }. Facendo le opportune riduzioni si nota che [ 5] 10 = [5] 10, [22] 10 = [2] 10, [ 23] 10 = [7] 10, [33] 10 = [3] 10, [ 69090] 10 = [0] 10, [ 31] 10 = [9] 10, [ 46] 10 = [4] 10, [ 22] 10 = [8] 10 e quindi l insieme dato è effettivamente Z 10. Un metodo per ridurre la classe [a] n in modo che il suo rappresentante a sia intero minore di n può essere quello della divisione; sappiamo infatti che l insieme Z n è detto insieme delle classi di resto modulo n in quanto i suoi elementi sono tutti i possibili resti della divisione per n, ossia Z n = {[0] n, [1] n,...[n 1] n }. Teorema Siano a, b interi con b 0. Esistono, e sono univocamente determinati due interi q e r tali che (a) a = bq + r; (b) 0 r < b. Rimandiamo a qualche testo di algebra per la dimostrazione (per induzione su a) dell effettiva esistenza degli interi q e r e concentriamoci sull unicità: sia a = qb + r con 0 r < b e a = qb + r con 0 r < b. Senza ledere la generalità possiamo supporre r r, cioè 0 r r < b. Da qb + r = qb + r segue r r = (q q)b. Passando ai valori assoluti (q q)b = (q q) b = r r < b. Ciò implica q q < 1 cioè q q = 0, e quindi anche r r = 0. Si conclude q = q e r = r. 4. Si dimostri per induzione che 7 10h 1 è divisibile per 11 per ogni h intero positivo. SI consideri h = 1: l affermazione è vera in quanto = che è divisibile per 11. Dimostriamola per h + 1, dopo aver supposto che l affermazione sia vera per h, cioè 7 10h = a per qualche a intero positivo. 7 10(h+1) 1 = h 1 = = 7 10 (11a + 1) 1 per ipotesi induttiva = 11a = = 11a b perché affermazione vera se h = 1 = 11[a b] h

6 Una dimostrazione alternativa del risultato precedente può essere data utilizzando il teorema di Eulero-Fermat. Provare che 7 10h 1 sia divisibile per 11 per ogni h intero positivo è equivalente a risolvere l equazione 7 10h = a ossia la congruenza 7 10h 1 (mod 11). Si noti che 7 è coprimo con 11 e ϕ(11) = 10, pertanto per il teorema di Eulero-Fermat [7 10 ] h 1 (mod 11). Completiamo l esercizio introducendo il principio di induzione partendo dagli assiomi di Peano. Sia N un insieme non vuoto e si fissi in N un elemento detto zero che indichiamo con 0; viene inoltre fissata una funzione + da N in N. Indicata con a + l immagine di a tramite + al variare di a N, a + si dice elemento successivo di a. Si assume che nell insieme N valgano i seguenti assiomi, detti appunto Assiomi di Peano: (a) 0 a + a N (b) la funzione + è iniettiva; (c) se S è un sottoinsieme di N che contiene lo 0 e tale che per ogni s S, s + S, allora S = N. L insieme N è per definizione l insieme dei numeri naturali. Il terzo assioma è alla base del principio di induzione, nonché delle definizioni per ricorrenza. L assioma di Peano c) viene anche chiamato principio di induzione nella prima forma (l unico che ci limitiamo a ricordare, rimandando per la seconda forma, a qualunque testo di algebra). Si supponga che, per ogni n N, E(n) sia una affermazione. Si assuma inoltre che E(0) sia vera e che, per ogni n N, si possa dimostrare che se E(n) è vera allora E(n + ) è vera. Allora E(n) è vera per ogni n N. Usiamolo per dimostrare, per esempio, che se X è un insieme di cardinalità n, l insieme delle parti P (X) ha cardinalità 2 n. Se X è vuoto, n = 0 e P ( ) = 1 = 2 0. Supponiamo l enunciato vero per un insieme X di n 1 elementi e siano X = {x 1, x 2,..., x n } e X = {x 1, x 2,..., x n 1 }: i sottoinsiemi di X sono i sottoinsiemi di X, e quelli che si ottengono da questi aggiungendo a ciascuno l elemento x n. Poiché P (X ) = 2 n 1 ne segue che P (X) = 2 n n 1 = 2 n. 5. Per i primi due punti si rimanda all esercizio 3. L insieme quoziente Z 5 rispetto alla congruenza modulo 5 è formato da tutti i possibili resti della divisione di un intero per 5, ossia Z 5 = {[0] 5 ; [1] 5 ; [2] 5 ; [3] 5 ; [4] 5 }. In generale, dato un insieme A indicheremo per ogni a A indicheremo con [a] R l insieme degli elementi di A che sono in relazione con a; in simboli: [a] R = {x A xra}. Dimostriamo che l insieme quoziente formato dalle classi di equivalenza costituisce una partizione per A: (a) [a] R perché contiene almeno l elemento a; (b) Se x [a] R [b] R allora arx e xrb e quindi per la proprietà transitiva arb cioè [a] R = [b] R. Pertanto due classi di equivalenza o coincidono o sono disgiunte. 6

7 (c) E immediato notare che l unione di tutte le classi [a] R costituisce l insieme A. Infatti se un elemento c non è in relazione con nessuno degli altri elementi dell insieme costituisce lui stesso una nuova classe [c] R. Viene lasciato per esercizio dimostrare che Z 5 costituisce un partizione per Z. 6. Dato un insieme X, un operazione : X 2 X si dice operazione binaria su X. In altre parole, un operazione binaria su X è una regola per associare ad ogni coppia ordinata (a, b) di elementi di X un elemento di X, univocamente determinato dalla coppia (a, b). Tale elemento si indicherà con a b. Somma e Prodotto in Q. Nell insieme Z Z somma e prodotto così definite: Somma: (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd); Prodotto (a, b) (c, d) = (ac, bd). si considerino le operazioni si Vale allora il seguente risultato: Teorema. La relazione di equivalenza R introdotta nell esercizio 1 è compatibile con le operazioni di somma e prodotto sopra definite, ossia tali operazioni sono ben poste. Ciò significa che le operazioni appena descritte in Z Z inducono sull insieme Q dei numeri razionali le operazioni di somma e prodotto: [a, b] R + [c, d] R = [ad + bc, bd] R [a, b] R [c, d] R = [ac, b] R (Si riconosce immediatamente che queste operazioni coincidono con le abituali operazioni sulle frazioni ). Dimostrazione. Siano [a, b]r[a, b] e [c, d]r[c, d]. Dobbiamo dimostrare che [ad + bc, bd]r[ad + bc, bd]. Infatti partendo da quest ultima relazione si dovrebbe avere, ricordando la relazione introdotta, (ad + bc) bd = bd (ad + bc) adbd + bcbd = bdad + bdbc bdad + bdbc = bdad + bdbc che è un identità, poiché ab = ba e cd = dc e in Z vale la proprietà commutativa del prodotto. La dimostrazione del prodotto viene lasciata come esercizio. 7

8 Una dimostrazione alternativa potrebbe essere quella di considerare i generici numeri razionali [ah, bh] e [ch, dh]. Allora sommandoli [ah, bh] + [ch, dh] = [adh 2 + bch 2, bdh 2 ] che è il generico elemento della classe [ad + bc, bd]. Per quanto riguarda la legge di cancellazione in Z dobbiamo dimostrare che se ax = bx con a, b, x Z, x 0, allora a = b. Infatti ax bx = 0 da cui segue (a b)x = 0. Poiché in Z vale la legge di annullamento del prodotto (fare per esercizio!) e x 0 deve essere necessariamente a = b. 7. Per i primi due punti si veda l esercizio 3. Dimostriamo il criterio di divisibilità per 9 dei numri interi lasciando per esercizio l analoga dimostrazione del criterio di divisibilità per 3. Notiamo prima di tutto che 10 1 (mod 9) e poi se scriviamo un generico numero intero a in notazione decimale si ha: a = r h 10 h + r h 1 10 h r r 0 r h + r h r 1 + r 0 (mod 9) da cui segue immediatamente che 9 a 9 (r h + r h r 1 + r 0 ). 8. Proviamo che somma e prodotto in Z n sono ben definite: sia a a (mod n) e b b (mod n). Allora a + b = a + hn + b + kn = a + b + (h + k)n per qualche intero h, k, cioè a + b a + b (mod n). Per quanto riguarda il prodotto si ha: a b = (a + hn) (b + kn) = a b + (ak + bh + hkn)n per qualche intero h, k, cioè a b a b (mod n). 9. Per la definizione di operazione binaria si rimanda all esercizio 6. Proviamo che in Z 12 l operazione M.C.D.([a] 12 [b] 12 ) = [M.C.D.(a, b)] 12 non è ben definita. Basta prendere come esempio a = 14 e b = 7, infatti M.C.D.([14] 12 [7] 12 ) = M.C.D.([2] 12 [7] 12 ) = [1] 12 [7] 12 = [M.C.D.(14, 7)] 12. Si lascia per esercizio l estensione della dimostrazione in Z n. 10. Definizione. Siano a, b Z, diversi da zero. Si dice massimo comun divisore fra a e b, e si indica con MCD(a, b), ogni intero d tale che (a) d a e d b; (b) se c Z e c a e c b, allora c d. Teorema. Per ogni a, b Z, a > 0, b > 0, esiste un massimo comun divisore d fra a e b. Esistono inoltre due interi x e y tali che d = ax + by. Dimostrazione. Tale prova è di tipo costruttivo: si supponga a > b e si eseguano le divisioni successive a = bq 1 + r 1 0 r 1 < b; b = r 1 q 2 + r 2 0 r 2 < r 1 ; r 1 = r 2 q 3 + r 3 0 r 3 < r 2 ; 8

9 e così via fino a quando r k = 0 per un certo k. Infatti la sequenza dei resti delle successive divisioni è strettamente decrescente e dopo un numero finito di passi si ottiene un resto r k = 0. Se k = 1, cioè r 1 = 0, b a e in tal caso d = b. Se k > 1 sia a = bq 1 + r 1 r 1 0 b = r 1 q 2 + r 2 r 2 0 r 1 = r 2 q 3 + r 3 r r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1 r k 1 0 r k 2 = r k 1 q k la sequenza di divisioni che porta ad un resto r k = 0. Dimostriamo che r k 1 è un massimo comun divisore fra a e b. Sostituendo l ultima equazione nella penultima si ha che r k 1 r k 3 ; sostituendo questa relazione nella terz ultima equazione segue che r k 1 r k 4, e così procedendo, cioè risalendo nelle varie divisioni si riconosce che r k 1 b. Infine dalla prima divisione r k 1 a. Dobbiamo ora provare che se un intero c divide sia a che b allora divide anche r k 1. Sia a = ca e b = cb. Dalla prima equazione si ricava che r 1 = ca cbq 1 = c(a bq 1 ), quindi c r 1. Posto r 1 = cr 1 dalla seconda divisione della sequenza si ha: r 2 = cb cr 1 q 2 = c(b r 1 q 2 ), quindi c r 2. Iterando il procedimento con tutte le divisione successive si arriva a dire che c r k 1 e che quindi r k 1 è un massimo comun divisore fra a e b. Inoltre la prima divisione permette di scrivere r 1 in funzione di a e b e sostituendo nella seconda divisione anche r 2 ecc... Così procedendo si esprime ciascun resto successivo come combinazione lineare a coefficienti interi di a e b, ossia d = ax + by per qualche intero x, y. Un esempio dell algoritmo è già stato presentato nell esercizio Per la descrizione generale del sistema RSA di veda l esercizio 1. Supponiamo che Alice abbia pubblicato la chiave (93, 7) e abbia calcolato la propria chiave privata s = 43 risolvendo la congruenza 7s 1 (mod 60) (infatti 60 = ϕ(93)). Allora se Bob vuole mandare il messaggio in chiaro 5 ad Alice preleva la sua chiave pubblica e cifra il proprio messaggio calcolando 5 7 (mod 93) = 5 perché (mod 93). Alice quindi riceve il messaggio cifrato 5 da Bob e per decifrarlo deve calcolare 5 43 (mod 93) = (5 6 ) (mod 93). Se invece Alice ricevesse da Bob il messaggio cifrato 11, per decifrarlo deve ancora calcolare = (mod 93) 83 (mod 93). Per esercizio si verifichi che 11 è la cifratura di 83 con chiave pubblica 7. 9