Fisica. Architettura

Transcript

1 Fisica Facoltà di Ingegneia, Achitettua e delle Scienze Motoie Lezione 15 apile 013 Achitettua (coso magistale a ciclo unico quinquennale) Pof. Lanzalone Gaetano

2 Sommaio Quantità di moto e Momento Angolae Moto di puo otolamento Cenni sulla stuttua micoscopica della mateia

3 La quantità di moto Data una paticella di massa m che si muove con velocità v mv q Definiamo quantità di moto il vettoe : q m v m v È un vettoe Podotto di uno scalae positivo, m, pe un vettoe,. Stessa diezione e veso di Il modulo è m volte quello di. Le dimensioni: [q][m][v][m][lt -1 ] Nel SI si misueà in kg m s -1 Se sul punto mateiale agisce una foza, la sua velocità cambieà, ma cambieà anche la sua quantità di moto dq dt Infatti pe m costante v v d( mv) dv m ma F dt dt v dq dt 3 F

4 Quando si conseva la quantità di moto? Data una paticella di massa m che si muove con velocità v La q. di moto si conseva quando essa non vaia nel tempo; matematicamente implica che la deivata ispetto al tempo della q. di moto deve essee nulla. Dal isultato pecedente icodiamo che d q dt F e quindi d q dt 0 alloa!!! F La q. di moto si conseva quando la isultante delle foze agenti sul punto è nulla. : F 3 F i 0 i1 F 1 v m F 3 F F 1 F N F i 0 i1 F 3

5 Esempio Calcolae l enegia e la quantità di moto di un automobile di massa M1000Kg e pe un volatile di massa m100g pe le velocità 10km/h, 0Km/h, 100Km/h. 10Km/h 0Km/h 100Km/ h Enegia (J) Q (kg m s -1 ) M m M m

6 Podotto vettoiale definizione Dati i vettoi a e b, si definisce podotto vettoiale il vettoe c così individuato: c a b Il modulo del vettoe c è dato da: c absenφ dove l angolo φ è l angolo (minoe di 180 ) compeso ta i due vettoi La diezione è pependicolae al piano individuato dai vettoi a e b. Il veso è deteminato con la egola della mano desta: I fomulazione: Si dispone il pollice della mano desta lungo il pimo vettoe Si dispone l indice della mano desta secondo il secondo vettoe Il veso del medio individua il veso del podotto vettoiale II fomulazione Si chiude a pugno la mano desta mantenendo sollevato il pollice Si dispone la mano desta in maniea che le dita chiuse a pugno indichino il veso in cui bisogna fa uotae il pimo vettoe pe sovappolo al secondo pecoendo l angolo φ minoe di 180 Il veso del pollice individua il veso del podotto vettoiale.

7 Podotto vettoiale popietà Il podotto vettoiale non è commutativo: Infatti: a b b a a b b a Intepetazione geometica del podotto vettoiale b θ a h b sin θ Aea ah absinθ a b Il modulo del podotto vettoiale è uguale all aea del paallelogamma fomato dai due vettoi. Vettoi paalleli o antipaalleli hanno un podotto vettoiale nullo 7

8 Ulteioi ichiami sulle popietà del podotto vettoiale Podotto vettoiale attaveso le componenti catesiane: a b i j k a x a y a z b x b y b z i i 0 i j k i k j i ( a y b z b y a z ) j( a x b z b x a z ) + k ( a x b y b x a y ) j j 0 j k i j i k k k 0 k i j k j i Vale la Popietà distibutiva a b + c ( ) a b + a c

9 Il momento di un vettoe geneico Dato un vettoe w qualsiasi ed il punto O, che in questa occasione si y V θ chiama polo, si definisce momento del vettoe V ispetto al polo O la quantità: MO w posizione ispetto ad O del punto di applicazione del vettoe w. Il cui modulo è M O wsenθ Posto bsenθ (baccio) O θ b senθ È impotante l odine! Pima poi V! x Si ha M O w(senϑ ) b w M O b w Il modulo del momento, M O, è uguale al modulo del vettoe w pe il baccio del vettoe w ispetto al polo O Il baccio è la distanza della etta di azione del vettoe w dal polo O Spostando il vettoe w sulla sua etta di azione il momento esta invaiato.

10 Momento della quantità di moto o momento angolae y p θ Data la paticella di massa m, la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettoe posizione, che al tempo t si muove con velocità v E quindi possiede una quantità di moto qmv Si definisce momento della quantità di moto della paticella ispetto al polo O, la gandezza: O b senθ x b θ O q Il modulo vale: Le dimensioni: O mv senθ bmv [ O ] [ ] [ m] [ v] [ senθ ] " LMLT 1 # $ % " # ML T 1 $ % Le unità di misua: kgm s -1

11 Momento della foza y O b F θ m x Le dimensioni: Data la paticella di massa m, la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettoe posizione, che al tempo t subisce l azione della foza F Si definisce momento della foza F ispetto al polo O, la gandezza: M O F Il modulo vale: M O Fsenθ bf dove b senθ sen( 180 θ) [ M O ] [ ] [ F] [ sen θ] [ LMLT ] [ ML T ] Le unità di misua: kg m s - Da non confondee con il lavoo che ha le stesse dimensioni (il lavoo è uno scalae, il momento della foza un vettoe: sono due gandezze completamente divese) 11

12 Relazione ta il momento della quantità di moto ed il momento della foza Duante il moto di una paticella, sia la sua posizione che la sua velocità cambiano con il tempo, È lecito aspettasi che anche il momento della quantità di moto della paticella ispetto al polo O vai con il tempo. Valutiamo a quanto è uguale la sua vaiazione (calcoliamo la deivata): dt d O d( q) d dq q + dt dt dt Attenzione a non cambiae il posto dei vettoi, il podotto vettoiale non commuta. Il pimo temine è nullo: i due vettoi sono paalleli d dt q v q v mv 0 d O dt d q dt F M O La vaiazione del momento della quantità di moto della paticella ispetto al polo O è uguale al momento della foza applicata valutato ispetto allo stesso polo! (è una dietta conseguenza della II legge di Newton)

13 Quando si conseva la quantità di moto? Data una paticella di massa m che si muove con velocità v, ispetto al polo O Il momento della q. di moto si conseva quando esso non vaia nel tempo; matematicamente implica che la deivata ispetto al tempo del momento della q. di moto deve essee nulla. Dal isultato pecedente icodiamo si ottiene : d l 0 dt 0 alloa!!! M O 0 Il momento della q. di moto si conseva quando la isultante dei momenti delle foze agenti sul punto è nulla. : N M M i 0 i1

14 Foze centali Si definisce foza centale una foza agente in una ceta egione dello spazio con le seguenti popietà: la diezione della foza agente su P passa sempe pe un punto fisso dello spazio, detto cento della foza centale, e il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto mateiale P dal cento stesso (saà FF() ). la foza di gavitazione univesale. Esempi di foza centale: F G mm u G mm la foza di Coulomb è centale F 1 q 1 q 4πε o u F la foza elastica (lungo l asse x) F kxî Le foze centali sono consevative

15 Moto di puo otolamento

16 Moto di puo otolamento Con questo moto si intende il moto caatteistico delle uote Quando un veicolo si muove, anche le uote si muovono. Natualmente il moto delle uote non è di pua taslazione Né una semplice otazione attono ad un asse fisso Può essee immaginato come un moto di ototaslazione t 1 à t Qual è la peculiaità di questo moto? I punti della uota a contatto con l asfalto sono femi ispetto all asfalto (non scoono, non stisciano sull asfalto) Pe cui si dice otolamento senza stisciamento (oppue puo otolamento ). Consideiamo due istanti successivi t 1 e t. Lo spostamento subito dal cento della uota Δx è pai alla distanza ta i punti di contatto della uota agli istanti t 1 e t. Nello stesso tempo la uota avà subito anche uno otazione e quindi uno spostamento angolae Δθ. Se il moto è di puo otolamento esiste una elazione SEMPLICE ta questi due spostamenti: Δx RΔθ Condizione di puo otolamento

17 Le condizioni di puo otolamento Abbiamo stabilito che in condizioni di puo otolamento vale la seguente elazione ta i moduli dello spostamento angolae e quello lineae. (1) Con il sistema di ifeimento scelto osseviamo che se Δx è positivo, come in figua, alloa Δθ è negativo (otazione oaia) Tenendo conto dei segni la condizione di puo otolamento diventa: Δx RΔθ Dividendo pe Δt, e valutando il limite pe Δt che tende a zeo: () La velocità lungo l asse x del cento della uota (CM) è uguale all opposto del podotto del aggio della uota pe la sua velocità angolae. Con una seconda deivazione, si ottiene (3) L acceleazione lungo l asse x del cento della uota (CM) è uguale all opposto del podotto del aggio della uota pe la sua acceleazione angolae. Queste te condizioni (1,,3) sono veificate contempoaneamente (dipendono l una dall alta) Esse vengono indicate come condizioni di puo otolamento N.B.:Il segno meno pesente nelle condizioni di puo otolamento dipende dal sistema di ifeimento usato. Una divesa scelta del SR potebbe non ichiedee tale segno

18 Ruolo della foza di attito nel moto di puo otolamento Nel moto di puo otolamento il punto di contatto della uota con l asfalto è femo ispetto all asfalto. Il compito di mantenee femo ispetto al piano di appoggio il punto (o i punti) di contatto è affidato alla foza di attito Natualmente si tatta di una foza di attito statica popio peché il punto di contatto non scivola sulla supeficie di appoggio Senza attito questo tipo di moto non è ealizzabile (al massimo è possibile un moto unifome: velocità del cento di massa costante e velocità angolae costante, non appena si vuole cambiae una delle due velocità e fae in modo che il moto continui ad essee di puo otolamento è necessaia la pesenza della foza di attito) Natualmente, poiché la foza di attito statico è limitata supeiomente, non sempe è gaantito il moto di puo otolamento. Si pensi alle fenate busche fatte con l automobile in cui si bloccano le uote che scivolano sull asfalto Oppue alle acceleazioni busche in cui le uote giano, ma slittano sull asfalto e non poducono l avanzamento dell automobile. Occoe veificae caso pe caso se la foza di attito statico sia sufficiente pe gaantie il moto di puo otolamento Si ossevi infine che la foza di attito statico compie lavoo nullo (punto di applicazione femo). (Lo stesso vale anche pe la Nomale).

19 Risoluzione del moto di otolamento : 1) pua otazione attono ai punti di contatto ) sovapposizione del moto del cento di massa più una otazione attono al cento di massa N.B. : Entambi devono condue al medesimo isultato

20 Moto di puo otolamento di un cilindo Consideiamo un cilindo di massa M e aggio R che si può muovee su di un piano oizzontale sotto l azione di una foza F applicata nel suo cento di massa. Le alte foze agenti sul cilindo sono La foza peso applicata al cento di massa La nomale N applicata nel punto di contatto La foza di attito anch essa applicata nel punto di contatto. y N F as P F x Sia la nomale N che la foza di attito statico sono distibuite su tutti i punti della geneatice del cilindo a contatto con il piano Facendo icoso a questioni di simmetia possiamo endeci conto che l insieme di queste foze è equivalente ad un unica foza applicata nel punto di mezzo del segmento costituito dai punti di contatto ta cilindo e piano oizzontale Nella figua le foze isultanti, sia pe quanto iguada la Nomale che pe la foza di attito statico, sono state applicate popio nel punto pecedentemente deteminato (esso si tova infatti sulla sezione del cilindo che contiene il cento di massa). NB: in geneale non si può stabilie a pioi il veso della foza di attito statico Ragioni di simmetia ci dicono che deve essee paallela alla foza applicata F, peò potebbe andae veso desta o veso sinista. In figua abbiamo scelto a caso (quasi) uno dei due vesi: se isolvendo il poblema deteminiamo un modulo negativo, non vuol die che abbiamo aggiunto un isultato assudo, solo che abbiamo sbagliato la scelta del veso che, petanto, andà coetta.

21 1) Risoluzione del moto di otolamento come pua otazione attono ai punti di contatto L equazione del moto è: Mi z Iα y I è il momento di inezia ispetto all asse di otazione M z è il momento assiale isultante delle foze applicate. F P N F Nel nosto caso (il polo è il punto di contatto): as M M M M 1z z 3z 4 z FR FR Iα con N F as I I *+Mh 1 MR + MR 3 MR Steine P F x Utilizzando la condizione di puo otolamento a x Rα FR I a x R a x FR I a x FR I FR 3 MR NB:In questo caso non abbiamo avuto alcuna infomazione sulla foza di attito. F 3M F a x 3M

22 ) Risoluzione del moto di otolamento come sovapposizione del moto del cento di massa più una otazione attono al cento di massa. y F + P + N + F as Ma CM x : y : F F L equazione del moto di otazione attono ad un asse fisso nel SR del CM: F : P : N : Fas : F as I * a CMx R as N Mg M M M M Fz Pz Nz z F Ma Ma as R CMx CMy 0 Sostituendo in (*) x : y : I * 1 MR F as R I * α F F F I * a CMx R Ma CMx a CMx a F F F F CMx * I 1 1 MR M M M M R M + R F as I * a CMx R 1 F MR 3MR F NB :Info sul puo otol. 3 N as Mg Ma CMx Taslazione Rotazione condizione di puo otolamento N F as P F M z * I * α F F F a F as CMx M + I* R F 3 as R I Ma * α Rα µ N x CMx s µ s (*) Mg

23 Dove è finita l enegia? F as N P F a x F 3M Con attito Moto di puo otolamento N P F Senza attito Pua taslazione Se la foza opea pe un tatto Δx: v f v o a x Δx F v+ f Δx 3M Solo i due tezi del quadato della velocità del caso senza attito Si considei anche l enegia cinetica del moto di otazione v v f + f 3 v f F M a x F M Δx ΔK K f K 1 i Mv + f 1 Mv + f M R ω + f v + f + 1 I * ω + f 1 M F 3M Δx # 1+ 1 & % ( FΔx L F $ ' ΔK 1 K M f K i F M 0 Δx 1 Mv f FΔx L F

24 Esecizio: Un copo di massa m e aggio R otola senza stisciae a velocità v su un piano oizzontale. Posegue otolando su pe una ampa fino ad una altezza massima h3v /(4g). Qual è il momento di inezia del copo ispetto all asse passante pe il cento di massa? Di che tipo di copo si tatta? Le foze agenti sono: il peso, la nomale e la foza di attito. Possiamo applicae la consevazione dell enegia K i + U 1 * Mv + I ω i 1 K + f + U 0 0 f + mgh v h Da cui: 1 mv + 1 v I* R mg 3v 4g m + I * 1 R m 3 I * m 3 1 R 1 mr Si tatta di un cilindo!

25 ESERCIZIO: Una foza oizzontale costante di 10 N è applicata a una uota di massa M10kg e aggio R0.30 m, nel modo come indicato in figua. La uota otola senza stisciae sulla supeficie oizzontale, e l acceleazione del suo cento di massa è 0.60 m/s. Quali sono l intensità ed il veso della foza di attito sulla uota? Qual è il momento di inezia della uota intono all asse di otazione passante pe il suo cento? Dal teoema del cento di massa: R F + P + N + F as Ma CM x : y : F F as N Mg Ma Ma CMx CMy 0 N Mg Fas F MaCMx N pe la otazione I * M z * I * α R F a CMx F as 4. 0N F P N F as M M M M as z z z z F as R 0.60kgm y x F as R I * α F as * I 0.60kgm N P F a x Rα F as I * a CMx R

26 Una foza oizzontale costante di 10 N è applicata a un cilindo di massa M10kg e aggio R0.0 m, attaveso una coda avvolta sul cilindo nel modo come indicato in figua. Il cilindo otola senza stisciae sulla supeficie oizzontale. Deteminae: l acceleazione del suo cento di massa. l intensità ed il veso della foza di attito necessaio pe assicuae il moto di puo otolamento il minimo coefficiente di attito ta il cilindo e il piano oizzontale. Supponiamo che la foza di attito statico sia dietta in veso opposto alla foza applicata F, salvo icedeci se isolvendo il poblema ci isultasse una componente negativa. Dal teoema del cento di massa: F + P + N + F as M x : F Fas MaCMx N Mg y : N Mg MaCMy 0 La otazione attono al cento di massa: M * z I * α F P N F as M M M M z z z z FR 0 0 F as R FR F as R I * α a CM Taslazione Rotazione condizione di y I * 1 MR puo otolamento x F as F F N FR F a CMx as P Ma as Rα CMx * R I α F a CMx Rα 0. ( 33.3) 6.66 m s F as F + MRα ( 33.3) 3.3N Fas µ sn µ s F N as Fas Mg

27 Esecizio: Un cilindo pieno di aggio 10 cm e massa 1 Kg, patendo da femo, otola senza stisciae pe una distanza di 6 m giù pe il tetto di una casa inclinato di di 30 Quando lascia il bodo del tetto, qual è la sua velocità angolae ispetto ad un asse passante pe il suo cento di massa? La paete estena della casa è alta 5 m, a che distanza dal bodo del tetto atteeà sul teeno piano? Consideiamo dappima il moto di puo otolamento sul tetto Le foze agenti sono la foza peso, la Nomale, la foza di attito statico. Possiamo tovae la velocità finale utilizzando la consevazione dell enegia meccanica totale U0 L i ΔE L i nc f LN + LF a 0 appl.punto femo i i 0 E E K + U K + U f f f K 1 * f K f MvCM + K MvCM + pe il T.di Konig 1 1 * I ω

28 La condizione di puo otolamento: v CM R ω K i + U i K f + U f 0 + MgLsen 30 1 Mv CM v CM R ω + 1 I* ω + 0 U0 v y L Il momento di inezia del Cilindo: I * 1 MR ω MgLsen30 1 MR ω + 1 4gLsen 30 3R 1 MR ω ad s x v CM Rω m s Affontiamo oa la seconda pate del poblema. Dobbiamo innanzitutto calcolaci il modulo della velocità del CM; Usiamo la condizione di puo otolamento: La velocità è dietta come mostato in figua. Quando il cilindo abbandona il tetto, il moto del suo cento di massa è come il moto del poiettile. Facendo ipatie l oologio al momento del distacco,le condizioni iniziali sono: x o 0m y o 5m v xo 6.6cos m s v yo 6.6sen m s x v xo t y y o + v yo t 1 gt

29 Deteminiamo l istante di impatto al suolo imponendo che y sia nulla: y o + v yo t 1 gt t t 5 0 t 1, b ± b 4ac a 3.13 ± ± y La soluzione negativa è da scatae. v La distanza a cui atteeà: x v xo t m x Si ossevi che la velocità di otazione attono all asse passante pe il cento di massa imane costante dal momento del distacco fino all impatto al suolo. L unica foza estena agente, la foza peso, essendo applicata al CM, ha momento assiale nullo ispetto all asse di otazione.

30 Cenni sulla stuttua micoscopica della mateia

31 Di cosa siamo fatti Gli oggetti che ci cicondano si pesentano come se fosseo costituiti da mattoni elementai (atomi o molecole)

32 La stuttua dell atomo! Modello di Thomson: gli atomi sono sfee pemeabili complessivamente neute, in cui le paticelle di caica negativa (elettoni) eano immese in una massa gelatinosa di caica positiva (modello dell uva passa nel panettone). Espeimento di Ruthefod:

33 Evoluzione del Modello Atomico Thomson ATOMO Z elettoni con caica Ze m Nucleo /m Ze 4000 Nucleo con caica +Ze Nucleo / e 10-4

34 Consideazioni sulla stuttua atomica L atomo è essenzialmente vuoto. Ci sono 4-5 odini di gandezza ta le dimensioni dell atomo (il aggio del volume occupato dagli elettoni) e le dimensioni del nucleo atomico. L elettone è estemamente piccolo (fose elementae) La massa dell atomo è concentata nel nucleo Gli elettoni hanno una massa cica 000 volte più piccola di quella dei potoni ( o dei neutoni) Il nucleo atomico è costituito da potoni (caichi positivamente) e da neutoni (paticelle neute). In ogni atomo ci sono tanti elettoni quanti potoni in maniea tale che l atomo sia complessivamente neuto.

35 Stati di aggegazione della mateia Solido atomi e molecole sono legati da foze sufficientemente intense tali che il moto temico, sempe pesente, salvo che allo zeo assoluto, non è in gado di modificae pemanentemente le mutue posizioni. La foma ed il volume sono paticamente definiti; Liquido i legami inteatomici e intemolecolai hanno una minoe intensità, pemettendo così una ceta mobilità di atomi e molecole, ma non l'allontanamento definitivo. il volume esta peciò paticamente definito, mente non lo è più la foma; Gassoso: le paticelle, avendo una enegia temica molto supeioe all'enegia di inteazione inteatomica e intemolecolae, tendono ad allontanasi l'una dall'alta e paticamente non si influenzano ta loo. si ha peciò la massima espansione nello spazio disponibile.

36 Cenni sulle popietà dei copi solidi Copo solido ç è copo igido In ealtà i solidi sottoposti a sollecitazione subiscono delle piccole defomazioni Il fatto che le defomazioni siano piccole dipende dalla stuttua cistallina e dalle foze molto intense che mantengono gli atomi nella loo posizione all inteno del eticolo L intensità elevatissima ta gli atomi fa assomigliae i solidi a copi igidi. Gli atomi sono in continua oscillazione attono alla posizione di equilibio Con una ampiezza che dipende dalla tempeatua

37 I divesi tipi di sollecitazione F F F L a) Tazione a) Poduce un allungamento del campione b) Compessione a) Poduce una accociamento del campione c) Taglio a) Poduce lo scoimento di una sezione del campione sull alta d) Compessione idostatica a) La foza in questo caso agisce su tutta la supeficie del campione ed è pependicolae alla supeficie stessa b) Poduce una diminuzione del volume del campione a) F F F b) c) Sfozo Foza applicata diviso la sezione del campione Defomazione elativa La defomazione podotta diviso pe il valoe della gandezza oiginaia Φ F A ΔL L d)

38 Il compotamento dei mateiali Speimentalmente si ottiene Φ ΔL/L sfozo modulo di elaticità defomazione elativa Φ F A E ΔL L Φ F A G ΔL L E modulo di Young (tazioni o compessioni) G modulo di taglio (pe sollecitazioni di taglio) I moduli di elasticità, E e G, si misuano in N/m

39 Il compotamento dei mateiali

40 Esecizio: Un tondino di acciaio da costuzione ha aggio R9.5 mm e lunghezza L81 cm. Una foza di modulo 6. x10 4 N lo tia longitudinalmente. Qual è lo sfozo nel tondino? Quanto l allungamento e la sua defomazione? La sezione del tondino è data da: 3 6 ( ) A πr m Lo sfozo: Φ F A N m ΔL L La defomazione: Φ E 8 9 L allungamento: 8 Φ. 10 ΔL L m 0. 89mm 9 E 00 10

41 Compessione Tazione Δh h E F S Foza esecitata dal mateiale veso l esteno f h è uguale ed opposta a F su di esso applicata f h ES h Δh KΔh Legge di Hooke Nota: Micoscopicamente si hanno le foze atomiche di ichiamo.