Soluzioni I anno FisMat

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1 Soluzioni I anno FisMat ) La velocitá delle formiche puó essere separata in una componente tangenziale, v t e una radiale, v r Poiché ad ogni istante le formiche sono poste sul vertice del N-gono, esse si muovono sempre lungo lo stesso angolo relativo ad un moto circolare, quindi i valori di v t e v r rimangono costanti L angolo tra la direzione di moto e quella di moto circolare é pari a π/n, quindi abbiamo che v r = v sin(π/n) Semplici considerazioni geometriche mostrano che il raggio iniziale del N-gono vale R 0 = L/( sin(π/n)) Il tempo necessario alle formiche per raggiungere il centro é dunque t = R 0 /v R = (L/v)/( sin (π/n)) La distanza R(φ) dal centro in funzione dell angolo φ percorso si calcola ricordando che la variazione del raggio dr rispetto alla lunghezza dell arco percorso, Rdφ, uguale a dr/rdφ = tan(π/n), dato che π/n é l angolo tra la direzione di moto della formica e quella di moto circolare Integrando si ottiene che R(φ) = R 0 e φ tan(π/n), ossia ci vogliono un numero di rivoluzioni infinite per arrivare al centro ) Per motivi di simmetria, il campo elettrostatico E(x, y, z) dovuto allo strato carico dipende solo dalla coordinata x, é diretto lungo x (con verso positivo per x > 0 e negativo per x < 0), e si ha E(x, y, z) = E x (x) ˆx, con E x ( x) = E x (x) ; applicando la legge di Gauss ad un cilindro retto con asse lungo x avente una base passante per l origine e l altra per il punto (0 < x < a, 0, 0), si ottiene quindi E x (x) = ρ x/ɛ o Il valore minimo di v o si determina imponendo che l energia cinetica iniziale sia pari alla differenza di energia potenziale tra l origine (dove il potenziale elettrostatico V (x) é massimo) e il punto iniziale: m v min = q (V (x = 0) V (x = a)) Poiché per 0 < x < a il campo elettrico aumenta linearmente con x, il potenziale dipende da x quadraticamente (similmente a quello di una molla, ma repulsivo) e ponendolo uguale a zero in x = 0 vale V (0 x a) = ɛ o ρ x

2 Il valor minimo di v o é quindi dato da q ρ v min = ɛ o m a 3) Sia P b il calore per unitá di tempo sottratto all interno del frigo e P a il calore per unitá di tempo ceduto all esterno quando il frigorifero é acceso Abbiamo quindi P a = P b +W e, poiché si tratta di un ciclo reversibile di Carnot, P a /T a = P b /T b Segue quindi P b W = T b T a T b All equilibrio, se il frigo rimane acceso per una frazione f del tempo, si ha che la media temporale di P b coincide con P e α (T a T b ) = T b f W T a T b T a T b = Tb f W α In particolare, si sa che T a T b = 0 0 C per f = /4 D altro canto col frigo sempre acceso all equilibrio si ha Tb W T M T b = α = (T a T b )/ f = C T M = 44 0 C 4) Consideriamo un orbita circolare di raggio r > 0 descritta dalla legge oraria x(t) = r cos(ωt) e y(t) = r sin(ωt), ove il segno di ω positivo o negativo corrisponde rispettivamente a rotazioni in senso antiorario od orario nel piano xy Fissando senza perdita di generalitá q > 0 e B o > 0, affinché tale orbita sia una possibile soluzione delle equazioni del moto é necessario e sufficiente che da cui r r o = m ω r = k (r r o ) q ω r B o ; k/m ω (k/m) + (q B o /m) ω = ω o ω o ω c ω ω, ove si é posto ω o = k/m e ω c = q B o /m Ponendo quindi x = ω/ω o, y = r o /r > 0, e β = ω c /ω o > 0, tale relazione puó essere riscritta come y = β x x,

3 il valore massimo di y, corrispondente all orbita di raggio minimo, si ha quindi per x = β/, ovvero ω = q B o /(m), ed il raggio minimo vale r min = r 0 r o = y max + (β /4) = + q Bo 4 k m r o Si noti che per r min < r < r o ad ogni raggio corrispondono due distinte frequenze negative (verso di rotazione orario), per r > r o ad ogni raggio corrispondono una frequenza negativa ed una positiva (verso di rotazione antiorario), mentre per r = r o oltre all orbita di ciclotrone (ω = ω c ) si ottiene l orbita degenere (ω = 0) corrispondente alla particella ferma a distanza r o dall origine Si noti infine che l intervallo ammissibile di frequenze angolari é compreso tra ω min < 0 ed ω max > 0, con ω min > ω max, soluzioni dell equazione y = 0 (corrispondente a r r o ) 5) Nell urto si conserva l energia e il momento angolare rispetto all asse di rotazione passante per il punto a cui l asta é incernierata (ma non la quantitá di moto a causa della reazione vincolare), si ha quindi E = m g a = m g a+ m v o + 8 m v o = m g a+ m v + 8 m v + M V = = 4 m g a m g a + M V, L = m v o a + 4 m v o a = M V a m v a 4 m v a, ove si sono indicate con v o e v le velocitá di traslazione (in modulo) dell estremo libero dell asta subito prima e subito dopo l urto, e con V la velocitá della massa M dopo l urto Dall equazione per L segue v o + v = 4 M 5 m V, e dalle prime due equazioni per E seguono poi vo = 5 g a ; v o v = 4 M 5 m V = 4 M 5 m V (v o v) Si ottiene v = (/) ( 4 M 5 m ) V, il che implica (M/m) > (5/4) Eliminando quindi v ed aggiungendo l ultima equazione per E si ha il sistema da cui segue v o = ( + 4 M 5 m ) V, 5 g a = v o, ( 64 M 5 m = + 4 M ), e infine 5 m g a = M m V M m = 5 4,

4 ove la seconda soluzione é da scartare perché non soddisfa la disuguaglianza (M/m) > (5/4) 6) Una volta salito sullo scalino n-esimo la ruota si muove rotolando senza strisciare Indicando quindi con v n la sua velocita e con ω n la sua velocita angolare rispetto al centro di massa, si ha v n = ω n R (per n = 0 queste espressioni si riferiscono alle velocita iniziali del problema) Ne segue quindi che l energia totale della ruota dopo l urto n-esimo e prima dell urto (n + )-esimo vale E n = mv n + Iω n + mg(nh + R) = m + I/R v n + mg(nh + R), dove I = mr e il momento di inerzia del cerchio calcolato rispetto all asse passante per il suo centro di massa e dove abbiamo posto lo zero dell energia potenziale sul piano su cui si erge la gradinata Causa l urto con gli scalini, l energia del sistema non necessariemente si conserva e quindi E n E n+ Essa tuttavia si conserva tra due urti consecutivi In particolare, immediatamente dopo l urto con lo scalino n-esimo la ruota inizia a ruotare attorno al punto di contatto O n con velocita angolare Ω n La sua energia in quell istante vale mr Ω n + IΩ n + mg[(n )h + R] = m + I/R Ω nr + mg[(n )h + R], e deve eguagliare l energia E n che la ruota avra una volta salita sul gradino, cioe E n = m + I/R Ω nr + mg[(n )h + R] v n = Ω n R mgh m + I/R () Si consideri ora l urto n-simo analizzando l istante in cui la ruota tocca il gradino n-esimo Immediatamente prima di tale istante le forze agenti sulla ruota sono la forza di gravita e le reazioni vincolari agenti nel punto di contatto con il suolo e responsabili per il moto di rotolamento Immediatamente dopo l urto invece le uniche forze in gioco sono la gravita e la reazione vincolare nel punto di contatto O n (siccome la sfera si solleva le reazioni vincolari agenti in precedenza si annullano) Nel breve intervallo in cui la sfera inizia a sollevarsi da terra quindi possiamo assumere che il momento angolare P calcoltato rispetto al punto di contatto O n con lo scalino n-esimo si conserva (l unica forza di intensita rilevante e infatti quella d urto che tuttavia ha momento nullo rispetto a O n ) Questo ci consente di scrivere < = >, dove < e il momento angolare del cerchio immediatamente prima dell urto e > quello immediatamente dopo Questi valgono < = m(r h) v n + Iω n = [m(r h) + I/R] v n, 4

5 dove I = mr e il momento di inerzia del cerchio calcolato rispetto all asse passante per il suo centro di massa Viceversa immediatamente dopo l urto il cerchio inizia a ruotare attorno al punto di contatto con velocita anogolare Ω n acquisendo un momento angolare da cui deriva la condizione > = mr Ω n + IΩ n = [mr + I] Ω n, Ω n = m(r h) + I/R mr + I v n = γ v n /R, () con γ = m(r h)+i/r mr+i/r < Sostituendo questa espressione in Eq () si ottiene infine la seguente relazione ricorsiva per le velocita di propagazione sugli scalini che ammette soluzione v n = γ v n v n = γ n v 0 mgh m + I/R, (3) mgh m + I/R γ n γ (4) Il valore minimo di v 0 che consente alla ruota di raggiungere l N-esimo scalino si ottiene quindi imponendo la condizione v N = 0, ossia mgh γ v N = 0 v 0 = N m + I/R γ (5) In particolare per N = questo diventa mghr (mr v 0 = + I) mr(r h) + I 5