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1 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II Margini di stabilità Introduzione... Margine di ampiezza... Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di ode... 6 Introduzione Consideriamo un sistema del quale si stia studiando la stabilità ad anello chiuso mediante l applicazione del criterio di stabilità di Nyquist. bbiamo visto, nei paragrafi precedenti, che l applicazione di questo criterio presuppone la conoscenza del diagramma polare della funzione G(j) di risposta armonica del sistema stesso in anello aperto: quando tale diagramma polare presenta alcune particolari caratteristiche che tra un attimo saranno enunciate, è possibile dedurre da esso informazioni non solo sulla stabilità in anello chiuso, ma anche sulla sua maggiore o minore tendenza all instabilità. I ragionamenti che ci accingiamo a fare valgono rigorosamente per sistemi detti a stabilità regolare. Un sistema si dice a stabilità regolare se presenta due caratteristiche fondamentali: in primo luogo, è un sistema stabile in anello aperto ed a fase minima, ossia tale che la funzione di trasferimento in anello aperto G(s) non abbia né poli né zeri a parte reale positiva; in secondo luogo, il diagramma di ode delle ampiezze della funzione G(s), nell intorno della frequenza di crossover (ossia di quella frequenza in corrispondenza della quale il diagramma interseca l asse delle ascisse), presenta una fascia di circa 0 0 d in cui l ampiezza decresce con continuità. Per sistemi che godano di queste proprietà è possibile definire a pieno titolo i concetti di margine di ampiezza e di margine di fase che saranno esposti nei prossimi paragrafi.

2 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II Margine di ampiezza Per comprendere il concetto di margine di ampiezza, conviene rifarci subito ad un esempio concreto. Consideriamo, perciò, un sistema avente la seguente funzione di trasferimento in anello aperto: G(s),T,T >0 s( + T s)( T s) + Questa funzione di trasferimento è, ad esempio, quella tipica di un servomotore comandato in posizione. La corrispondente funzione di risposta armonica si ottiene ponendo sj: G(j ) j( + jt )( + jt ) Il sistema è a fase minima (nessuno zero a parte reale positiva) ed è asintoticamente stabile in anello aperto (tutti i poli sono a parte reale negativa, tranne un polo semplice nell origine), per cui è candidato ad essere un sistema a stabilità regolare: se andassimo a tracciare il suo diagramma di ode delle ampiezze, troveremmo che esso verifica anche la seconda condizione per la stabilità regolare, per cui deduciamo che per questo sistema ha senso definire un margine di ampiezza nel modo che vedremo adesso. La prima cosa che vogliamo fare è studiare la stabilità ad anello chiuso di questo sistema mediante l applicazione del criterio di Nyquist. Lo abbiamo già fatto in uno dei precedenti esempi ed abbiamo trovato che la stabilità ad anello chiuso dipende dalla posizione del diagramma polare rispetto al punto critico s-: 0 - Im{ G} raggio vettore - + Re { G } 0 + Se il punto critico s- si trova, come in figura, a sinistra del punto del diagramma indicato con, il sistema è stabile ad anello chiuso. Se, invece, il punto critico si trova a destra del punto, il sistema è instabile ad anello chiuso. Supponiamo, allora, che il sistema sia stabile ad anello chiuso, per cui la situazione è proprio quella indicata nella figura. Ci chiediamo, così come abbiamo già fatto in precedenza, cosa succede aumentando il valore del guadagno. Succede che il diagramma polare, pur conservando immutata la propria forma, si espande linearmente all aumentare di, il che significa che il punto si avvicina progressivamente al punto -. Si arriva, allora, ad un valore critico C del guadagno in corrispondenza del quale il punto viene a coincidere con il punto critico.

3 Margini di stabilità Con riferimento al luogo delle radici di questo sistema, sappiamo che, in corrispondenza di C, i due poli del sistema risultano essere immaginari puri: partire da questo valore del guadagno, poi, i due poli passano nel semipiano destro di Gauss ed il sistema diventa instabile ad anello chiuso. Con riferimento al diagramma polare, la situazione diventa quella per cui il punto viene adesso a trovarsi a sinistra del punto critico -, per cui un qualsiasi raggio vettore mandato dal punto - ha un numero non nullo di intersezioni con il diagramma. La situazione critica è dunque quella che si ha per C. llora, il problema che ci poniamo è il seguente: il modello matematico (cioè la funzione di trasferimento) che abbiamo utilizzato per descrivere il nostro sistema è inevitabilmente frutto di una schematizzazione del sistema stesso, per cui sicuramente non rispecchia perfettamente la realtà fisica del sistema; per esempio, è possibile che il sistema reale (ad anello aperto) sia stato modellato con polo nell origine e poli a parte reale negativa in virtù dell ipotesi che questi ultimi due poli siano dominanti su altri poli fisicamente presenti; in altre parole, pur sapendo che il sistema reale è di ordine maggiore di 3, si è ritenuto, osservando un comportamento dinamico simile a quello di un sistema del 3 ordine, che i termini del transitorio corrispondenti agli altri poli, più lontani dall asse immaginario, fossero trascurabili (perché di minore ampiezza e più rapidamente smorzati rispetto agli altri). E stata dunque compiuta una approssimazione, per cui non possiamo essere certi che il sistema rispetti perfettamente le conclusioni teoriche cui siamo pervenuti con il criterio di Nyquist; non solo, ma, anche ammesso che il sistema si comporti esattamente come è stato previsto teoricamente, non è detto che questo comportamento si mantenga costante nel tempo, in quanto il sistema reale è sempre soggetto ad invecchiamento e degradazione, i quali possono contribuire a variarne anche pesantemente il comportamento. In base a queste considerazioni, diventa quindi importante definire dei margini di stabilità. Per la definizione del margine di ampiezza, facciamo riferimento al diagramma polare prima tracciato per il sistema in esame e calcoliamo le coordinate del punto : tale punto non è altro che l intersezione del diagramma polare con l asse delle ascisse, per cui ci basta calcolare il valore della pulsazione in corrispondenza della quale la funzione G(j) risulta essere reale e poi calcolare quanto vale la quantità G(j ). Cominciamo allora ad esprimere G(j) in termini di parte reale e parte immaginaria: 3

4 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II G(j ) j( + jt )( + jt ) ( T + T ) + j( T ) T In base a questa espressione, l equazione Im { G(j )} 0 ( T T ) 0, la cui soluzione è T T della pulsazione, la funzione di risposta armonica vale G(j T T ) T + T corrisponde all equazione. In corrispondenza di questo valore T T per cui deduciamo che il punto ha coordinate,0. T + T Come era ovvio che fosse, la posizione del punto dipende dal valore del guadagno, oltre che da quello delle due costanti di tempo, che però si ritengono assegnate. Possiamo anche calcolare il valore (valore critico) del guadagno necessario affinché il punto venga esattamente a coincidere con il punto -: deve risultare T T G(j ), da cui ricaviamo che T + T T + T. T T Definiamo allora margine di ampiezza (simbolo: mg) il reciproco della lunghezza del segmento O : mg a G(j T + T ) T T Più in generale, si definisce margine di ampiezza il reciproco del modulo della funzione G(j) calcolata per la pulsazione corrispondente al punto del diagramma polare avente fase -π (cioè il punto in cui il suddetto diagramma interseca l asse orizzontale). questo punto, l esempio che stiamo considerando mostra in modo evidente la principale proprietà del margine di ampiezza: si osserva, infatti, che il sistema sarà stabile in anello chiuso se e solo se il margine di ampiezza risulta maggiore di : infatti, la condizione mg> equivale alla condizione G(j ) <, ossia alla condizione per cui il punto si trova a destra del punto critico s-. Normalmente, il margine di ampiezza viene fornito in d: in questo caso, affinché il sistema sia stabile ad anello chiuso, il margine di ampiezza deve risultare maggiore di 0 d. 4

5 Margini di stabilità Margine di fase Mentre nel paragrafo precedente abbiamo definito il margine di ampiezza, definiamo adesso il cosiddetto margine di fase. Per farlo, facciamo riferimento allo stesso esempio considerato nel paragrafo precedente, per cui consideriamo nuovamente il diagramma polare del sistema in esame: Im{ G} - Re{ G} circonferenza di raggio Su tale diagramma, abbiamo già tracciato una circonferenza centrata nell origine e di raggio pari ad : questa circonferenza è tale che ogni suo punto corrisponda ad un numero complesso di modulo unitario. llora, ogni eventuale punto di intersezione del diagramma polare con questa circonferenza rappresenta un punto in cui la G(j) ha modulo unitario: Im{ G} - mf Φ Re{ G} G ( j) Con riferimento alla figura appena riportata, il punto è dunque un punto in cui la G(j) ha modulo unitario. Indichiamo allora con la pulsazione corrispondente a quel valore della G(j), (ossia la pulsazione di crossover con riferimento ai diagrammi di ode delle ampiezze). Indicata inoltre con Φ la fase di G(j) in quel punto, possiamo scrivere che 5

6 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II G(j ) Φ arg G(j ) Si definisce allora margine di fase (simbolo: mf) l angolo che occorre sottrarre alla fase Φ (in genere negativa) per ottenere una fase pari a -π: con riferimento alla figura appena riportata, il margine di fase deve cioè essere tale che Φ mf π, da cui deduciamo che esso vale mf Φ + π arg G(j ) + π Detto in termini più concreti, il margine di fase si ottiene nel modo seguente: per prima cosa, si individua (o sul diagramma polare o, con maggiore comodità, sul diagramma di ode delle fasi) la pulsazione in corrispondenza della quale il modulo di G(j) ha valore unitario; successivamente, si calcola la fase Φ di G(j) per ; infine, si calcola mf Φ + π. E evidente, con riferimento sempre all esempio che stiamo considerando, che il sistema sarà stabile in anello chiuso se e solo se il margine di fase risulta maggiore di 0, in quanto questa condizione equivale alla condizione per cui il punto si trova a destra del punto critico s-. Osservaziione questo punto, è importante capire il motivo per cui, per definire i margini di ampiezza e di fase, è necessario considerare solo sistemi a stabilità regolare. Il motivo è il seguente: abbiamo capito che il margine di ampiezza ed il margine di fase forniscono informazioni circa la bontà del comportamento dinamico del sistema ad anello chiuso quando il diagramma polare del sistema ad anello aperto si avvicina al punto critico -; quanto maggiori sono tali margini, tanto maggiore è la garanzia che il sistema reale rispetti le conclusioni teoriche dedotte dalla applicazione del criterio di Nyquist; allora, non è detto che i due margini forniscano informazioni congruenti tra di loro: è cioè possibile che il margine di ampiezza sia elevato, mentre quello di fase sia basso (o viceversa), il che non aiuta certo a capire quanto i risultati teorici rispettano la realtà. Questo non accade, invece, per i sistemi a stabilità regolare: per un sistema a stabilità regolare, il margine di ampiezza ed il margine di fase sono tra loro complementari, nel senso che sono o entrambi buoni o entrambi cattivi, per cui è sufficiente conoscere uno solo di tali margini per trarre conclusioni circa la stabilità del sistema reale. Margini di stabilità e diagrammi di ode Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto i margini di stabilità mediante i diagrammi polari, giustificando il loro significato sulla base del criterio di stabilità di Nyquist. E possibile individuare tali margini anche facendo uso dei diagrammi di ode della funzione G(j) in esame. 6

7 Margini di stabilità Per capire questo, facciamo un esempio pratico, considerando un sistema del ordine avente una funzione di risposta armonica del tipo seguente: G (j) ( + jt )( + ) jt Indicate con p e p le frequenze associate ai due poli del T T sistema (supposti entrambi reali e negativi), è immediato tracciare i diagrammi di ode di questo sistema: G ( j) d frequenza di transizione log 0 arg G ( j) log Φ mf Cominciamo a capire come si fa a individuare il margine di fase: intanto, per definizione, il margine di fase va calcolato con riferimento alla frequenza (detta frequenza di transizione o frequenza di crossover) alla quale il modulo di G(j) diventa unitario; allora, sul diagramma dei moduli è immediato individuare questa pulsazione, in quanto è quella in corrispondenza della quale il diagramma interseca l asse reale; nota, serve conoscere la fase Φ di G(j) in corrispondenza di tale frequenza ed anche questa informazione si ricava immediatamente, usando il diagramma delle fasi; allora, il margine di fase corrisponde, sul diagramma delle fasi, alla distanza tra il punto corrispondente al valore Φ e la retta orizzontale corrispondente a -80. Per quanto riguarda, invece, l individuazione del margine di ampiezza (detto anche margine di guadagno), la costruzione da seguire è inversa alla precedente: 7

8 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II G ( j) d 80 mg log 0 arg G ( j) log Si procede nel modo seguente: in primo luogo, usando il diagramma delle fasi, si individua la pulsazione 80 in corrispondenza della quale la fase di G(j) vale -80 ; passando allora sul diagramma dei moduli, si individua il valore di G(j ) in corrispondenza di tale pulsazione 80: cambiando di segno la d quantità G(j, si ottiene il margine di ampiezza espresso in d. 80 ) d sito personale: 8

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