Soluzione di circuiti RC ed RL del primo ordine

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Giorgio Salvi
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1 Principi di ingegneria elettrica Lezione 11 a parte 2 Soluzione di circuiti RC ed RL del primo ordine Metodo sistematico Costante di tempo Rappresentazione del transitorio

2 Metodo sistematico per ricavare una generica grandezza x(t) per t>0 in un circuito RC 1. Se v C (0) è incognita, si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola v C (0 - ) sostituendo il condensatore con un circuito aperto. Si ha: v C (0 - ) v C (0 + ) v C (0). 2. Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola v C ( ) sostituendo il condensatore con un circuito aperto. 3. Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito vista dai morsetti del condensatore t>0. 4. Si calcola la costante di tempo τ ReqC. 5. Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell andamento dinamico di v C (t). 6. Si sostituisce il condensatore con un generatore indipendente di tensione di valore v C (t) oppure con un generatore indipendente di corrente di valore i C (t) C dv C (t)/dt. 7. Si ricava la grandezza desiderata x(t).

3 Metodo sistematico per ricavare una generica grandezza x(t) per t>0 in un circuito RL 1. Se i L (0) è incognita, si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola i L (0 - ) sostituendo l induttore con un corto circuito. Si ha: i L (0 - ) i L (0 + ) i L (0). 2. Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola i L ( ) sostituendo l induttore con un corto circuito. 3. Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito vista dai morsetti dell induttore per t>0. 4. Si calcola la costante di tempo τ L/Req. 5. Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell andamento dinamico di i L (t). 6. Si sostituisce l induttore con un generatore indipendente di corrente di valore i L (t) oppure con un generatore indipendente di tensione di valore v L (t) L di L (t)/dt. 7. Si ricava la grandezza desiderata x(t).

4 Con il metodo sistematico si considerano circuiti resistivi in regime stazionario evitando la risoluzione di equazioni differenziali.

5 esempio 1 - Transitorio RC L interruttore è chiuso per t<0 e si apre in t0. Ricavare i(t) per t>0. Metodo sistematico, punto (1) Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola v C (0 - ) sostituendo il condensatore con un circuito aperto. Si ha: v C (0 - ) v C (0 + ) v C (0).

6 esempio 1 metodo sistematico, punto (1) t 0 - I due resistori sono in parallelo, il loro equivalente è 1,5 kω v C (0 - ) 1, ,5 V v C (0 + )

7 esempio 1 metodo sistematico, punto (2) Metodo sistematico, punto (2) Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola v C ( ) sostituendo il condensatore con un circuito aperto. t v C ( ) V

8 esempio 1 metodo sistematico, punti (3), (4) Metodo sistematico, punti (3), (4) Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito vista dai morsetti del condensatore t>0. Si calcola la costante di tempo τ ReqC t Req 2 kω τ ReqC ms

9 esempio 1 metodo sistematico, punti (5), (6), (7) Metodo sistematico, punti (5), (6), (7) Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell andamento dinamico di v C (t) Si sostituisce il condensatore con un generatore indipendente di corrente di valore i C (t) C dv C (t)/dt Si ricava la grandezza desiderata i(t) v C (t) [ v ( 0) v ( ) ] C C e t/ τ + v C ( ) 500t 500t [ 1, 5 2] e , 5 e V i C (t) C vc(t) dt e A 0,25 e 6 500t 500t ma i(t) 1 i C (t) 1 0,25 e 500t ma LKC i(t) + 500t 500t 500t [ i( 0 ) i( ) ] e + i( ) [ 0, 75 1] e ,25 e ma

10 esempio 2 - Transitorio RC L interruttore si apre in t0. Ricavare la corrente i(t) per t>0. Metodo sistematico, punto (1) Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola v C (0 - ) sostituendo il condensatore con un circuito aperto. Si ha: v C (0 - ) v C (0 + ) v C (0).

11 esempio 2 metodo sistematico, punto (1) t 0 - La tensione v C (0 - ) corrisponde alla caduta di tensione sul resistore da 5 Ω. v C (0 - ) V

12 esempio 2 metodo sistematico, punto (2) Metodo sistematico, punto (2) Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola v C ( ) sostituendo il condensatore con un circuito aperto. t La corrente nel resistore da 15 Ω è nulla. v C ( ) (5+5) 1 10 V

13 esempio 2 metodo sistematico, punti (3), (4) Metodo sistematico, punti (3), (4) Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito vista dai morsetti del condensatore t>0. Si calcola la costante di tempo τ ReqC t Req Ω τ ReqC ms 1/τ 1000/25 40 s 1

14 esempio 2 metodo sistematico, punti (5), (6), (7) Metodo sistematico, punti (5), (6), (7) Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell andamento dinamico di v C (t) Si sostituisce il condensatore con un generatore indipendente di corrente di valore i C (t) C dv C (t)/dt Si ricava la grandezza desiderata i(t) v C (t) [ v ( 0) v ( ) ] C C e t/ τ + v C ( ) 40t 40t [ 5 10] e e V i C (t) C vc(t) dt e A 0,2 e 3 40t 40t A i(t) 1 i C (t) 1 0,2 e 40t A LKC i(t) + 40t 40t 40t [ i( 0 ) i( ) ] e + i( ) [ 0, 8 1] e ,2 e A

15 esempio 2

16 esempio 3 - Transitorio RL Il circuito è in regime stazionario in t0. L interruttore si apre in t0. Calcolare la corrente i(t) per t>0. Metodo sistematico, punto (1) Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola i L (0 - ) sostituendo l induttore con un corto circuito. Si ha: i L (0 - ) i L (0 + ) i L (0).

17 esempio 3 metodo sistematico, punto (1) t 0 - Si applica la LKC. i L (0 - ) i L + i L (20/4) + (3/3) 6 A

18 esempio 3 metodo sistematico, punto (2) Metodo sistematico, punto (2) Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola i L ( ) sostituendo l induttore con un cortocircuito. t i L ( ) 20/4 5 A

19 esempio 3 metodo sistematico, punti (3), (4) Metodo sistematico, punti (3), (4) Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito vista dai morsetti dell induttore per t>0. Si calcola la costante di tempo τ ReqC t Req 4 Ω τ L/Req 2/4 0,5 s 1/τ 2 s 1

20 esempio 3 metodo sistematico, punto (5) Metodo sistematico, punto (5) Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell andamento dinamico di i L (t) [ ] [ ] A t t L / t L L L e e ) ( i e ) ( i ) ( i (t) i τ

21 esempio 4- Transitorio RL Calcolare la corrente i x (t) Metodo sistematico, punto (1) Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola i L (0 - ) sostituendo l induttore con un corto circuito. Si ha: i L (0 - ) i L (0 + ) i L (0).

22 esempio 4 metodo sistematico, punto (1) t 0 - Si applica la legge di Ohm i L (0 - ) 30/10 3 A

23 esempio 4 metodo sistematico, punto (2) Metodo sistematico, punto (2) Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione posttransitorio e si calcola i L ( ) sostituendo l induttore con un cortocircuito. t La corrente i 1 è nulla Il parallelo 30//10 7,5 Ω i L ( ) 30/7,5 4 A

24 esempio 4 metodo sistematico, punti (3), (4) Metodo sistematico, punti (3), (4) Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito vista dai morsetti dell induttore per t>0. Si calcola la costante di tempo τ ReqC t Req 30//30//10 6 Ω τ L/Req 0,5/6 1/12 s 1/τ 12 s 1

25 esempio 4 metodo sistematico, punti (5), (6), (7) Metodo sistematico, punti (5), (6), (7) Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell andamento dinamico di i L (t) Si sostituisce l induttore con un generatore indipendente di tensione di valore v L (t) L di L (t)/dt Si ricava la grandezza desiderata i(t) [ ] [ ] A t t L / t L L L e e ) ( i e ) ( i ) ( i (t) i + + τ V 6 V t t L L e e, dt (t) i L (t) v LKT e, (t) v (t) i t L x A Ω v L (t) [ ] [ ] A 0, t t x t x x x e e, ) ( i e ) ( i ) ( i (t) i + + +

26 esempio 4

27 esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine Il condensatore è carico in t0 con v(0)5 V. Applichiamo il metodo sistematico e la sovrapposizione degli effetti.

28 esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine v C ( ) 9V

29 esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine Il condensatore è carico in t0 con v(0)5 V. Applichiamo il metodo sistematico e la sovrapposizione degli effetti. R eq 3kΩ τ 1ms

30 esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine v(t) t e V

31 esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine v t (t) 61 ( e )V

32 esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine v 3 (t) 1000t 31 ( e )V v C (t) v(t) + v 1 2 (t) + v 3 (t) 5e 1000t t 1000t 1000t ( e ) + 61 ( e ) 9 4e V

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