= , 30 )

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1 0/2000 Una serie di 22 misurazioni del numero di ottano della benzina prodotta da varie compagnie ha rilevato una media di 93 ed uno scostamento quadratico medio corretto di 0.8. Qual è l intervallo di confidenza per la varianza al livello di significatività 0.025? Questi dati sono compatibili con quelli di un altra serie di 30 misurazioni effettuate direttamente dai produttori, indicanti una media di 92 ed uno scostamento quadratico medio corretto pari a 0.1? L esercizio richiede per prima cosa di trovare l intervallo di confidenza per la varianza. Poiché il campione è di 22 unità e la media dell universo non è nota, sarà necessario calcolare la massima varianza possibile (intervallo unilaterale) tramite s 2 e perciò utilizzare la tabella del χ 2 con 22 1 = 21 gradi di libertà al livello di significatività dato. max è determinata dall uguaglianza max = , da cui risulta max = Perciò l intervallo cercato è [0, 1.307]. Per rispondere alla seconda domanda occorre confrontare i due gruppi di rilevazioni. Perciò innanzitutto calcoliamo la varianza campionaria dell unione dei due gruppi: s 2 = = Quindi eseguiamo un test bilaterale confrontando la differenza standardizzata con il valore della tabella della t di Student con gradi di libertà ad un livello di significatività opportuno: = s 2 ( ) Ma il valore più ampio possibile adatto a questo problema è quello per 40 gradi di libertà ad un livello di significatività del che è pari a Poiché la differenza standardizzata è più grande di tale valore, affermiamo che al 99.5% i due gruppi di misurazioni sono incompatibili. 1/2000 Una macchina dovrebbe fabbricare chiodi la cui lunghezza media è µ = 10 cm e la cui varianza è 2 = 0.25 cm 2. Per verificare che questi parametri non si siano alterati viene esaminato un campione di 250 chiodi la cui lunghezza media risulta essere 9.89 cm. Che conclusioni puoi trarre? (Motiva la risposta) Si tratta di verificare i parametri di una distribuzione di cui conosciamo sia la media che la varianza. Il campione è costituito da 250 unità e quindi la differenza standardizzata tra la media teorica e quella campionaria è di =

2 Tale valore va confrontato con quello della tabella della distribuzione normale per un adeguato livello di significatività. Ma anche al livello α = 0.01 la tabella fornisce il valore 2.576, per cui dobbiamo concludere che la media delle lunghezze dei chiodi si è alterata. Per arrivare ad accettare la differenza dovremmo prendere un valore P pari a /2000 Il peso di una popolazione è distribuito in modo gaussiano con media µ = 61 Kg e scarto quadratico medio = 19 Kg. Qual è la probabilità che il peso complessivo di 16 persone sia maggiore di 1040 Kg? Se il peso complessivo di 16 persone è superiore a 1040 Kg, la media dei pesi su quel campione di 16 persone è pari a 1040/16 = 65 Kg. La differenza standardizzata è quindi = Dalla tabella della distribuzione normale sappiamo che la probabilità dell intervallo [0.8421, ) è = , quindi la risposta al quesito è 20.05%. 3/2000 Una scuderia motociclistica ha acquistato da un fornitore 67 scocche che pesano in totale 8107 kg e presentano uno scarto quadratico medio di 6 kg. Esaminando 15 scocche di una scuderia concorrente (che viene rifornita dalla stessa ditta) si trova un peso totale di 1725 kg con scarto quadratico medio di 7.2 kg. Si può affermare con probabilità 98% che il fornitore faccia preferenze? Si tratta di confrontare i due gruppi di dati. La media del primo è 8107/67 = 121 e la media del secondo è 1725/15 = 115. Dobbiamo correggere gli scarti quadratici medi per ottenere le varianze campionarie, che valgono rispettivamente = e = Ora calcoliamo la varianza dell unione dei due gruppi: = ottenendo = ( ) Ma al livello del α = 0.02 la tabella della t di Student con 80 gradi di libertà ci dà un valore massimo di : quindi possiamo affermare che i due gruppi sono (al 98%) diversi e quindi che il fornitore produce due differenti tipi di scocche per le due scuderie. 4/2000 2

3 Una macchina che riempie barattoli di caffè funziona correttamente se la distribuzione del peso dei pacchi ha varianza uguale a 15 g 2. Su un campione di 25 pacchi si rileva una varianza di 25 g 2. Vi è l evidenza di un non corretto funzionamento della macchina? Dobbiamo effettuare un test sulla varianza del campione esaminato. La varianza corretta è = 26.04; si ha quindi che il valore di χ2 è = 41, 66. Poiché la media dell universo è ignota, usiamo la tabella del χ 2 con 24 gradi di libertà da cui si deduce che la risposta dipende dal livello di significatività scelto: infatti i valori sono per α = 0.05, per α = e per α = Di conseguenza possiamo affermare che volendo una sicurezza del 95% o del 97.5% non vi è evidenza di un malfunzionamento, ma se pretendiamo una sicurezza del 99% allora dobbiamo dedurre che la macchina non funziona più correttamente. 5/2000 E necessario misurare il periodo medio di oscillazione delle molle di un modello di orologio in modo da compiere un errore massimo di 1 µs con probabilità Sapendo che lo scarto quadratico medio della distribuzione dei periodi è di 7 µs, calcolare la numerosità campionaria necessaria. Poiché il quantile della distribuzione normale riferito al 95% è 1.96, la numerosità necessaria a compiere un errore massimo di 1µs è almeno = Quindi dobbiamo prendere un campione di almeno 189 unità. 6/2000 Uno strumento per le misurazioni del trattamento superficiale di un pezzo meccanico presenta una precisione misurata da una varianza pari a 0.1. Dopo un guasto e relative riparazioni lo strumento viene reinserito sulla linea di produzione, ma il suo funzionamento viene sottoposto a verifica su un campione di 20 misurazioni che dà luogo ad una varianza pari a Lo strumento funziona ancora correttamente o va sostituito? Considerando che dobbiamo correggere lo scarto quadratico medio, otteniamo un valore di χ 2 pari a = 32. La media dell a distribuzione dell universo è ignota, quindi usiamo la tabella del χ 2 con 19 gradi di libertà. Otteniamo che volendo un livello di significatività α = 3

4 0.05 possiamo assumere che lo strumento funzioni ancora correttamente, mentre se scegliamo una significatività più alta (α = o α = 0.01) deduciamo che non funziona più correttamente. 7/2000 Un azienda produce una componente meccanica la cui durata di funzionamento corretto è distribuita come una variabile normale con media pari a 1255 ore e scarto quadratico medio pari a 275 ore. Nel processo di produzione viene apportato un cambiamento che promette una durata media delle componenti meccaniche portata a 1600 ore e che lascia inalterato lo scarto quadratico medio. Sottoponendo ad un test un campione di 9 elementi si trova una media campionaria x = 1500 ore. a) Con un livello di significatività α = 0.01 si verifichi il miglioramento del processo di produzione. b) Si considerino le seguenti regole: 1. Se x > 1345: si accetta l ipotesi del miglioramento del processo di produzione. 2. Se x 1345: si rifiuta la suddetta ipotesi. La regola è accettabile dal punto di vista statistico? (Si consiglia di calcolare gli errori di...). Poiché la differenza standardizzata = è maggiore del quantile di riferimento per α = 0.01 (pari a per questo test unilaterale) deduciamo che la media non è più 1255; d altra parte = è invece inferiore al citato quantile, quindi è possibile che ora la media sia La regola enunciata corrisponderebbe a rifiutare un ipotesi corrispondente alla differenza standardizzata = mentre accettare la media 1600 corrisponde ad ammettere una differenza standardizzata pari a = , 3 4

5 il che non è statisticamente corretto. 8/2000 Un industria produce su commissione sbarre di acciaio cilindriche per cui la misura x dei diametri segue una distribuzione Gaussiana N(µ, ). Sono accettabili sbarre con un diametro x con < x < Un cliente, nel controllare le sbarre fornite, constata che il 5% ha il diametro x < 3.99 e il 12% ha il diametro x > a) Calcolare µ e. b) Calcolare quanto deve valere (con µ calcolato in a)) affinché P (x > 4.005) = a) Per calcolare media e varianza, imponiamo che le differenze standardizzate siano corrispondenti ai valori dei quantili della distribuzione normale rispettivamente per 0.05 e per 0.88, cioè e 3.99 µ µ = = Sottraendo si ottiene = = ; sostituendo poi si ricava µ = b) Per imporre che P (x > 4.005) = 0.02 prendiamo dalla tabella il quantile relativo a 0.98, che risulta essere 2.06, e risolviamo = 2.06 da cui si ottiene = /2001 Un azienda produce un prodotto inscatolato il cui peso si distribuisce come una variabile normale con media pari a 22 kg e varianza pari a kg. Si sospetta che il meccanismo di inscatolamento sia guasto, per cui pur rimanendo le varianze le stesse, vengono prodotte scatole con peso medio maggiore del prodotto. Per controllare la correttezza del suddetto meccanismo viene estratto un campione di 16 scatole su cui viene osservata una media pari a kg. Vi è evidenza di guasto nel sistema di inscatolamento? Si tratta di verificare la media dell universo utilizzando quella del campione e conoscendo la varianza dell universo. Calcoliamo la differenza standardizzata: =

6 Ma anche al livello α = 0.01 la differenza massima accettabile è 2.58, perciò deduciamo che il sistema è guasto. 2/2001 In un processo industriale viene utilizzato uno strumento di alta precisione misurata da una variabile aleatoria gaussiana di varianza uguale a 0.1. Viene proposto per le stesse misurazioni un nuovo strumento con ipotesi di maggiore precisione. In un campione di 25 misure con il nuovo strumento si rileva una varianza campionaria uguale a Fissato il livello di significatività α = 0.05 si può accettare l ipotesi di un miglioramento della precisione delle misurazioni con il nuovo strumento? Con i dati a disposizione calcoliamo un valore di χ 2 pari a = 9.6; d altra parte il χ 2 minimo accettabile con α = 0.05 e 24 gradi di libertà (test unilaterale) è pari a , quindi non si può accettare l ipotesi che la varianza sia rimasta la stessa, mentre si deve accettare che sia diminuita. 3/2001 Supponiamo che in un certo anna accademico il voto in Matematica II si distribuisca come una variabile gaussiana con media µ = 24 e varianza 2 = 9. a) Calcolare la probabilità che uno studente abbia preso un voto compreso tra 22 e 26. b) Consideriamo l anno seguente lo stesso voto, che si distribuisce sempre come una variabile gaussiana con varianza 2 = 9. Scelto un campione di numerosità n = 100 e media m = ci chiediamo, al livello di significatività α = 0.05, se qualcosa è cambiato. a) Se X è la variabile voto, dobbiamo calcolare P ({22 < X < 26}), che risulta uguale alla probabilità dell intervallo [ 22 24, ] = [ 2/3, 2/3] per la distribuzione gaussiana standard. Otteniamo il risultato ad esempio come 2N(2/3) 1 = b) Calcoliamo la differenza standardizzata = = Poiché il quantile della distribuzione gaussiana corrispondente a 0.95 è 1.96 e 1, 9 < 1, 96, non possiamo affermare che sia cambiato alcunché. 4/2001 6

7 Siano X e Y le variabili casuali che rappresentano il reddito percepito da neolaureati di sesso maschile e femminile al primo impiego. In seguito ad una indagine su due campioni di numerosità n X = 23 per X e n Y = 19 per Y si ottengono per la media e lo scarto quadratico medio rispettivamente di X e di Y i seguenti valori: { mx = 1520 s X = 186 { my = 1400 s Y = 127 (quantità espresse in migliaia di lire). Ipotizzando che X e Y si distribuiscano come variabili casuali normali, si dica se l ipotesi di un diverso trattamento economico tra laureati di sesso differente è statisticamente significativa al livello dell 1%. Si tratta di confrontare i due gruppi di rilevazioni; per prima cosa, calcoliamo la varianza campionaria della loro unione: s 2 = = Ora effettuiamo un test utilizzando il valore della tabella della t di Student con 40 gradi di libertà, che per α = 0.01 è : = < s 2 ( ) Perciò non possiamo affermare a questo livello di significatività che il trattamento economico sia diverso, 5/2001 a) Calcolare la probabilità che sia X 2 2, con X variabile aleatoria gaussiana con µ = 2 = 2. b) Sia X una variabile aleatoria gaussiana con media µ e varianza 2, dove 2 è funzione di µ: 2 = f(µ). Individuare una funzione f tale che P (X < 0) non dipenda da µ con µ > 0. c) Sia X una variabile aleatoria gaussiana con µ = e 2 = 36 e supponiamo che la media campionaria relativa ad un campione di numerosità n = 25 sia uguale a 65. Calcolare il valore di significatività P migliore possibile rispetto al quale il test di verifica per media dà esito favorevole. a) Calcoliamo la probabilità secondo la distribuzione gaussiana standard dell intervallo corrispondente [ 2/ 2, 2/ 2]. Approssimando gli estremi alla seconda cifra decimale, tale probabilità è 2N(1.41) 1 =

8 b) P ({X < 0}) = N( µ/); perciò µ/ (f(µ) deve essere una costante, il che si verifica se f(µ) = a µ 2. c) Con i dati del quesito otteniamo una differenza standardizzata pari a = Il valore P da determinare è il valore di α corrispondente alla probabilità dell intervallo [ 2.8, 2.8], cioè = , da cui P = /2001 Trovare un intervallo di confidenza al 90% per la media di una distribuzione normale con 2 = 16 dato il campione Quale sarebbe l intervallo di confidenza se 2 fosse incognito? A partire dai dati, calcoliamo che la media campionaria è m = = Poiché il quantile della distribuzione gaussiana standard corrispondente a 0.95 è 1.645, l intervallo di confidenza risulta [ ] , = [0.08, 4.46]. 9 9 Se 2 fosse incognito, dovremmo calcolare la varianza campionaria s 2 = 1 8 [( )2 +( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 + +( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 ] = = Poiché abbiamo calcolato la media con i dati del campione, dobbiamo usare la tabella della t di Student con 8 gradi di libertà, che ci dà un quantile di = 1.86, da cui il nuovo intervallo di confidenza [ ] , = [1.40, 3.14] /2002 La nota industria automobilistica Piat commissiona a due società di ricerca un indagine sulla variabilità dei prezzi al dettaglio del modello Virgola, da essa prodotto. 8

9 1. La prima società rileva su un campione di 20 città che la varianza campionaria risulta pari a In quale intervallo dedurrà che si trovi la varianza della distribuzione dei prezzi, ad un livello di significatività del 95%? 2. La seconda società dispone del prezzo medio del modello Virgola in tutta Italia e considera un campione di 15 città trovando che al 97.5% la varianza si trovi nell intervallo [0, ]. Quale deve essere stato lo scarto quadratico medio relativo alla media, s µ, che la società ha calcolato su questo campione? 1) Poiché la variabile (n 1)s2 ha distribuzione con legge χ 2 (n 1) e la tabella 2 dà un quantile di (relativo a 0.05 e n = 19), otteniamo la condizione che corrisponde all intervallo > [0, ]. 2) Disponendo del prezzo medio, la seconda società ha potuto usare la variabile ns2 µ che ha distribuzione con legge χ 2 (n). Poiché in questo caso il quantile 2 è , si ottiene da cui = 15 s2 µ s m u = /2002 Nell edizione 1998 della Coppa Romet di calcio in 51 partite disputate si è verificata una media di 28 falli con una varianza pari a 6. Nell edizione successiva (2002) viene rilevata una media di 30 falli a partita su 63 partite, con varianza pari a 5. Verificare al 95% se è possibile che le due edizioni si inquadrino in un medesimo stile di gioco (e metro arbitrale), o se si deve ritenere che ci sia stato un cambiamento tra le due edizioni. Innanzitutto calcoliamo la varianza campionaria complessiva: s 2 = = Confrontiamo ora la differenza standardizzata con il quantile della t di Student con 112 gradi di libertà, prendendo dalla tabella il valore corrispondente a 80 o a 120 (rispettivamente pari a e a ): = > , s 2 ( ) 9

10 perciò con probabilità 95% si è verificato un cambiamento tra le due edizioni. 3/2002 La nota scuderia automobilistica Metallari vuole testare l affidabilità dei suoi motori alle massime prestazioni. Nella stagione 2001 i 21 motori utilizzati dal pilota Rembrandt hanno avuto regime massimo di giri con media µ = e varianza s 2 µ = Qual è l intervallo di confidenza per la varianza del regime massimo di giri, calcolato al 95%? Il pilota Calzolaio invece ha utilizzato 21 motori con varianza s 2 = (ma per le sue caratteristiche di guida non è stato possibile calcolare la media). Quale risulta allo stesso livello di significatività l intervallo per la varianza del regime massimo di giri dei suoi motori? Per il primo quesito utilizziamo il valore tratto dalla tabella del χ 2 con 21 gradi di libertà (test unilaterale con α = 0.05) e otteniamo [ 0, ] = [0, 76137]. Per il secondo invece dobbiamo utilizzare il valore , perchè abbiamo ora solo 20 gradi di libertà. L intervallo in questo secondo caso risulta quindi [ ] , = [0, 28800]