Laboratorio di Didattica dell analisi: Analisi a priori sulla funzione valore assoluto

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1 Laboratorio di Didattica dell analisi: Analisi a priori sulla funzione valore assoluto Sissis Palermo, 14 Novembre 2007 Prof. Spagnolo Nadia Giovino - (nadiagiovino@libero.it) Giovanni Lo Iacono - (gi.loiacono@virgilio.it) Antonella Sgarito - (antonellasgarito@libero.it) Maurizio Spallino-(maurizio.spallino@inwind.it) Francesca D Amore - (francescadamore@inwind.it)

2 Devo dire che questo grafico a primo impatto mi spiazza completamente, infatti sono sempre stato abituato ad avere la funzione (implicita o esplicita) per poi trovare i dati che porteranno al grafico

3 Il grafico seguente mostra la funzione y = x 2-3x Il vertice ha coordinate (3/2, -9/4) Quale funzione rappresenta il seguente grafico? Spiega i ragionamenti che fai per dare la soluzione e, se proprio non la trovi, spiega comunque la strada che seguiresti per trovarla.

4 Analisi a priori S1: Il ragazzo individua le simmetrie e scrive le equazioni delle due parabole: y= x^2-3*x ; y=x^2+3*x, ma non sa andare oltre (considerazioni grafiche senza cercare una convalida algebrica) S2(a): Il ragazzo nota che dal grafico di y= x^2-3*x si è tolto il pezzo di valori che avevano l ascissa negativa, e scrive: y= x^2-3*x per x>=0; da questa osservazione si accorge poi che l altra parabola è simmetrica e scrive: y=x^2+3*x, e che da questa si tolgono i valori con ascissa positiva. y=x^2+3*x per x<0 S2(b): Il ragazzo nota che dal grafico di y= x^2-3*x si è tolto il pezzo di valori che avevano l ascissa negativa, e scrive: y= x^2-3*x per x>=0; da questa osservazione si accorge poi che l altra parabola è simmetrica, ed esplicita tale condizione con f(x)=f(-x) e scrive: y=x^2+3*x, e che da questa si tolgono i valori con ascissa positiva. y=x^2+3*x per x<0 S3: S2 => da y=x^2-3*x la funzioni nel grafico si ottiene sostituendo alla variabile x il valore assoluto di x. Se y=f(x) è y=x^2-3*x, il grafico mostra y= f(abs(x)), cioè y= (ABS(x))^2-3*ABS(x), che si può scrivere come y= x^2-3*abs(x)

5 Razionale della scelta fatta L argomento relativo alle funzioni con valore assoluto a volte, risulta poco attenzionato nei programmi della scuola secondaria di secondo grado, tanto che si usa come trappola quando si vuole mettere in difficoltà l allievo. Noi riteniamo fondamentale trattare adeguatamente l argomento funzioni con valore assoluto per due motivi: consentono di riflettere sulle simmetrie delle funzioni consentono di verificare i procedimenti riguardanti l individuazione del dominio di una funzione. Inoltre, l importanza del sapere invertire i procedimenti matematici, ci ha condotto a decidere di sperimentare il processo che dal grafico conduce all espressione analitica dalla funzione, piuttosto che il procedimento, più consueto, dall espressione analitica al grafico.

6 Cosa avresti fatto al loro posto? Riflessioni metacognitive dal grafico di y= x 2-3*x noto che manca il pezzo di valori che avevano ascissa negativa, e scrivo: y= x 2-3*x per x>=0; a questo pezzo di grafico, si deve aggiungere un pezzo di parabola simmetrica. Poichè la simmetria rispetto all asse y si esprime con f(x)=f(-x), l altro pezzo è y=x 2 +3*x ma da tale parabola si devono escludere i punti con ascissa positiva. y=x 2 +3*x per x<0. Mettendo insieme y= x 2-3*x per x>=0 con y=x 2 +3*x per x<0 e notando la somiglianza con la definizione della funzione valore assoluto scrivo y= x 2-3*ABS(x)

7 Descrizione dell esperienza in classe

8 Materiale occorrente Una classe di 5 liceo Un numero di schede anonime con il testo del problema proposto Un gruppo di studenti Sissis Una scuola compiacente Una insegnante che ci da un ora a disposizione Foglio di calcolo elettronico per elaborazione dati

9 Descrizione dell esperienza in classe: L esperienza si svolge in una v classe del liceo scientifico B. Croce di Palermo. L attività si svolge in 45 minuti I ragazzi mostrano: -disponibilità a svolgere l attività -paura per una eventuale valutazione -interesse -motivazione -curiosità nel conoscere la soluzione

10 Analisi dei dati

11 Analisi dei dati L analisi dei dati è stata condotta dando una serie di giudizi sulle attitudini a sfruttare determinate aree metacognitive raggruppabili in quattro grandi aree che sintetizzano le varie strategie adottate nella risoluzione del problema proposto. Il campione nonostante sia piccolo supera comunque il numero minimo di 20 unità costituenti notoriamente la soglia per una popolazione sulla quale venga condotta una forma di analisi statistica che permetta di fare delle inferenze.

12 area metacognitiva n. sotto strategie individua il vertice individua le intersezioni con gli assi osserva il passaggio per l'origine punti caratteristici parabola 4 4. trova a, b e c vi si rifà formule canoniche 6 6. le utilizza individua individua i dominii individua e formalizza su un dominio individua e formalizza su due domini simmetria individua e formalizza sinteticamente strumento di aiuto unico strumento analisi grafica non interpretabile varie nota copia 2 copia 1

13 Analisi dei dati I giudizi sulle attitudini a sfruttare determinate aree metacognitive sono chiaramente soggettivi, sebbene concordati all interno del gruppo di lavoro. Tuttavia, incrociando i dati in un matching in cui si diagrammi una attitudine in funzione di un altra che sia stata ordinata in senso crescente, l influenza del giudizio soggettivo viene ad essere eliminata, la qual cosa permette di ottenere delle correlazioni tra le attitudini ad utilizzare le varie strategie.

14 Analisi dei dati area metacognitiva => punti formule caratteristici canoniche parabola simmetria analisi grafica totali totali normalizzati Vengono riportati solo I giudizi cumulativi delle Varie aree- strategie

15 Analisi dei dati Confronto esiti strategie punti caratteristici parabola formule canoniche simmetria analisi grafica Vengono confrontati i giudizi cumulativi delle Varie aree- strategie in forma normalizzata

16 Analisi dei dati 5 Fornule canoniche y = 0,4x - 0,6818 R 2 = 0,5473 formule canoniche Lineare (formule canoniche) Punti caratteristici parabola Buona correlazione Le due strategie sono complementari

17 Analisi dei dati Simmetria simmetria y = -0,1313x + 4,7017 Lineare (simmetria) R 2 = 0, Punti caratteristici parabola Correlazione pressochè inesistente Non sembra esserci correlazione

18 Analisi dei dati Analisi grafica c y = -0,2125x + 2,8807 R 2 = 0, Punti caratteristici parabola analisi grafica Lineare (analisi grafica) Discreta correlazione Le due strategie sono poco accoppiabili

19 Analisi dei dati 10 Simmetria y = 0,2498x + 3,7162 R 2 = 0,0204 simmetria Lineare (simmetria) Formule canoniche Correlazione pressochè inesistente Non sembra esserci correlazione

20 Analisi dei dati Analisi grafica 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 analisi grafica y = -0,2293x + 2,1205 R 2 Lineare (analisi grafica) = 0, Formule canoniche Scarsa correlazione Le due strategie sono poco accoppiabili

21 Analisi dei dati analisi grafica Analisi grafica 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 y = 0,1831x + 1,0773 R 2 = 0, Simmetria Lineare (analisi grafica) Discreta correlazione Le due strategie sono complementari

22 Conclusioni dall analisi si evidenzia inoltre - difficoltà nel leggere e formalizzare le informazioni del grafico -uso del termine somma anziché unione -uso del termine retta anziché parabola Sembra che i ragazzi mostrino attitudini esclusive di impiego dell area Grafico Visiva (simmetrie) oppure del registro analitico (forme canoniche e punti notevoli)

23 Grazie per l attenzione