TRAVI SU SUOLO ALLA WINKLER, INTERAZIONE TERRENO-FONDAZIONE

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1 Università degli Studi di Palermo Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica TRAVI SU SUOO AA WINKER, INTERAZIONE TERRENO-FONDAZIONE Prof.. Cavaleri Ing. F. Di Trapani

2 TRAVI SU SUOO AA WINKER, INTERAZIONE TERRENO-FONDAZIONE Si supponga di voler valutare la risposta di una trave, comunque caricata, poggiante su un terreno di fondazione. Il problema risulta di difficile soluzione analitica, per via delle numerose incertezze che nascono all atto della caratterizzazione meccanica del sistema terreno-fondazione. Specialmente sui terreni è difficile fare valutazioni di una certa precisione nei riguardi del modello costitutivo, poiché numerosi sono i fenomeni da tenere in considerazione. In particolare le caratteristiche di un terreno non dipendono soltanto dalla sua caratterizzazione geologica, ma anche dal suo stato di addensamento, dalla presenza o meno di pressioni interstiziali dovute alla presenza di acqua, dalla profondità del banco e da numerosi altri fattori più o meno influenti che sono solitamente rimandati a valutazioni specialistiche del settore geotecnico. Il modello di Winkler, (Winkler, 1867; Hetenyi, 196) con notevole semplificazione, e al solo fine del calcolo delle sollecitazioni sugli elementi strutturali, caratterizza il sottosuolo attraverso una relazione lineare tra il cedimento di un punto dell interfaccia terrenofondazione, e la pressione σt (x) agente nello stesso punto. a relazione è del tipo: σ T ( x ) kw( x ) Dove k [F/³] è detta costante di sottofondo o coefficiente di reazione del terreno ed è valutabile in funzione del tipo di terreno e w(x) è la funzione abbassamento della trave. Tale modello dunque equivale ad una trave poggiante su un letto di molle, sulla quale agiscono le azioni dovute al peso proprio, quelle provenienti dalla sovrastruttura ed infine le reazioni del terreno che, come detto in precedenza, sono proporzionali agli abbassamenti. In particolare la reazione del terreno, sotto forma di carico lineare, si esprime come: qr ( x ) σ T ( x )B kbw( x ) avendo indicato con B la larghezza della trave nella zona a contatto con il terreno.

3 N N qe(x) w(x) qr(x)kbw(x) a funzione abbassamento a questo punto può essere valutata attraverso l espressione generica dell equazione della linea elastica: d w( x ) q( x ) EI nella quale il carico q(x) rappresenta il carico netto agente sulla fondazione, cioè: q( x ) q E ( x ) q R ( x ) q E ( x ) kbw( x ) essendo q E(x)qualunque carico distribuito non proveniente dal terreno. Si ha quindi: dalla quale si ottiene: d w( x ) q d w( x ) + E ( x ) kbw( x ) EI kbw( x ) EI qe ( x ) EI che rappresenta l equazione di governo della trave elastica su suolo elastico. a soluzione di questa fornisce la funzione abbassamento, dalla quale una volta nota possono ricavarsi tutte le grandezze meccaniche e cinematiche Se poniamo:

4 α kb EI l equazione di governo diventa: d w( x ) qe ( x ) + α w( x ) EI Per una trave su suolo elastico di lunghezza si dimostra che: se α π / la trave si può considerare rigida su un suolo elastico, e la funzione abbassamento coincide con una retta, di conseguenza anche le pressioni del terreno varieranno con legge lineare. Il problema è risolvibile semplicemente applicando le espressioni di Navier per le sezioni pressoinflesse a tutta l area di impronta della fondazione (trapezio delle tensioni). se α > π / la trave si considera deformabile e si analizza come una trave elastica su un suolo elastico, per cui è necessario risolvere l equazione differenziale sopra riportata per valutare la risposta. In realtà il problema non dipende dalla sola rigidezza della trave, ma dall interazione mutua che hanno terreno e trave di fondazione. E di fatto quindi un problema di rigidezza relativa, per cui la stessa trave poggiante su due terreni con caratteristiche diverse potrebbe essere considerata sia rigida che deformabile. Il termine a è proprio il discriminante di questi due modelli alternativi poiché tiene conto sia delle caratteristiche elastiche e geometriche della trave (E,I,B,), che delle caratteristiche del terreno sottostante (k).

5 Analisi della trave elastica su suolo elastico a soluzione dell equazione della linea elastica nel caso di trave elastica si ottiene come somma dell integrale w O (x) della equazione omogenea associata all equazione di governo e di un integrale particolare dunque: w P (x)dipendente dal carico q E (x). In generale w(x) w (x) + w (x) equazione omogenea associata all equazione di governo è: e l integrale relativo ha espressione: O d w( x ) + α w( x ) 0 P α x α + x α w + x α + x O( x ) A1e sen( αx ) Ae cos( αx ) A3e sen( αx ) A e cos( αx ) ed è definito a meno delle quatto costanti A 1, A, A 3 e A che si ottengono imponendo le opportune condizioni al contorno. Nel caso in cui nella trave siano presenti discontinuità (carichi concentrati, variazioni di sezione, etc) l equazione viene integrata per tratti, calcolando di volta in volta le quattro costanti per ciascun tratto imponendo le condizioni di equilibrio e congruenza. integrale particolare dipende invece dalla tipologia del carico esterno distribuito, se quest ultimo infatti può essere espresso in forma generica come: q E ( x ) cx n (con n 3 ) l espressione di w P (x) è: w ( x ) P qe( x ) kb a soluzione è valida quindi per carichi distribuiti esterni con espressioni costanti, lineari, paraboliche e cubiche.

6 Ovviamente se il carico distribuito è assente l integrale particolare si annulla e la soluzione coincide con quella dell omogenea associata. Nota la funzione abbassamento w(x) è possibile ricavare tutte le caratteristiche meccaniche e cinematiche e procedere alle successive operazioni di progetto e verifica: pressione sul terreno σ ( x ) kw( x ) T rotazione dw( x ) ϕ ( x ) d w( x ) momento flettente ( x ) EI 3 d w( x ) taglio T( x ) EI 3 Esempio (Trave elastica su suolo elastico) Si vuole determinare la risposta del sistema riportato in figura 1 l1 P l q 0 x 0 x Sono noti i carichi P, e q, le lunghezze l 1, l, dei tratti di trave che precedono e seguono il punto di applicazione dei carichi P ed, e quelle della sezione della trave di fondazione, il momento di inerzia I, il modulo di elasticità E e la costante di sottofondo k. Il sistema presenta una discontinuità meccanica e pertanto dovrà essere suddiviso in due tratti studiati separatamente ai quali verranno infine imposte le condizioni di congruenza.

7 Per il tratto 1 (0 x l 1 ) e il tratto (0 x l ) la risposta si otterrà integrando le equazioni omogenee associate all equazione di governo generale: d ) (1 ) ( ) w ( x ) (1 d w ( x ) ( ) + α w ( x ) 0 + α w ( x ) 0 con soluzioni rispettivamente: w ( x ) A e sen( αx ) A e cos( αx ) A e sen( αx ) A e cos( αx ) ( 1 ) α x α + x α + x α + x O 1 3 w ( x ) B e sen( αx ) B e cos( αx ) B e sen( αx ) B e cos( αx ) ( ) α x α + x α + x α + x O 1 3 alle quali per ogni x dovrà essere sommata la soluzione dell integrale particolare. In questo caso essendo costante il carico esterno ripartito, l integrale particolare vale: w P ( x ) Come si può notare le funzioni abbassamento dei due tratti di trave sono definite ciascuna a meno di costanti che dovranno essere determinate assegnando le condizioni al contorno tramite equazioni di equilibrio e di congruenza. e prime condizioni sull equilibrio consistono nell imporre che siano nulli i tagli e i momenti alle estremità della trave. q kb 3 ( 1) ( 1) dw (x) T ( 0) EI 0 3 x 0 3 ( ) ( ) dw (x) T (l ) EI 3 0 x l ( 1) ( 1) dw (x) ( 0) EI 0 x 0 ( ) ( ) dw (x) (l ) EI 0 x l Altre due condizioni di equilibrio devono essere imposte per i tagli e i momenti nella sezione in cui è presente la discontinuità di carico.

8 P T1(l1) 1(l1) (0) T(0) Con riferimento alla figura precedente si ha infatti per l equilibrio alla traslazione verticale: e per l equilibrio alla rotazione: T (1 ) (1 ) (l (l 1 1 ) P + T ) + ( ) ( ) (0 ) 0 (0 ) 0 Tenendo conto del legame tra funzione taglio e funzione abbassamento e tra funzione momento e funzione abbassamento queste due equazioni diventano: 3 (1 ) 3 ( ) d w (l ) 1 d w (0 ) EI P EI (1) ( ) d w (l ) 1 d w (0 ) EI EI e ultime due condizioni sono le equazioni di congruenza tra i due tratti, in particolare abbassamenti e rotazioni nella sezione in cui si ha la discontinuità devono essere coincidenti. w (1 ) ( (l ) w 1 ) (0 ) ( 1) ( ) dw ( x ) dw ( x ) x l1 x 0 Il sistema delle 8 equazioni così scritte consente di determinare le 8 costanti, delle soluzioni generali dei due tratti e che sommate all integrale particolare definiscono univocamente la risposta.

9 Trave rigida su suolo elastico In queste condizioni, come accennato in precedenza, la trave si comporta come un traverso infinitamente rigido rispetto al terreno, che viene schematizzato sempre con un letto di molle. Essendo nulla la deformabilità della trave quest ultima potrà essere solo soggetta ad un abbassamento e ad una rotazione rigida, pertanto la funzione abbassamento w(x) coinciderà con l equazione di una retta. N N qe(x) 0 x w(x) T(x)kw(x) e pressioni di contatto saranno proporzionali attraverso il coefficiente k e per la loro valutazione sarà sufficiente fare riferimento ad una sezione pressoinflessa (l area di impronta della fondazione) su cui agisce il risultante delle azioni esterne R. R N q i i + Nel caso di carico ripartito uniformemente: 0 E R N q i i + ( x ) E

10 0 X e R B G C /3 /3 /3 Tmin Tmax Rispetto all origine del sistema di riferimento la posizione di R è tale che (teorema di Varignon): per cui: R x ( 0 ) x R ( 0 ) l eccentricità del baricentro geometrico vale quindi: e x In generale risulta verificato che il risultante delle azioni ricade all interno del nocciolo centrale di inerzia della sezione (e</6), e quindi questa risulterà interamente compressa. E possibile dunque applicare le formule di Navier per la valutazione della tensione massima e minima ai bordi della sezione. Si avrà allora: σ T,AX σ T,IN R R e R 6 Re R 6e B B B B B 1 R R e R 6 Re R 6e 1 3 B B B B B 1

11 a funzione abbassamento si ottiene semplicemente dividendo per k i valori della tensione di contatto in ciascun punto, mentre per il calcolo delle sollecitazioni è necessario valutare la reazione del terreno in termini di carico, per cui: q ( x ) Bσ ( x ) R a risposta si ottiene a questo punto risolvendo un sistema labile in equilibro per condizioni di carico, come mostra la figura seguente. T 1 3 N1 N N3 qe(x) qr(x)b T(x) T N N3 N1 3 1 Questo modello è in genere utilizzato in fase di dimensionamento preliminare della trave di fondazione poiché prescinde dalla conoscenza dell altezza ed è di facile risoluzione. Va ricordato però che l analisi finale del sistema terreno fondazione dovrà essere effettuata con la teoria della trave elastica su suolo elastico, a meno che le dimensioni della trave di fondazione e le caratteristiche del terreno siano tali da poterla considerare rigida (a<p/).

12 Esempio (Trave rigida su suolo elastico) Si vuole determinare la risposta del sistema riportato in figura 1350 knm 500 knm 3350 knm N1700 kn N1000 kn N3700 kn qe35 kn/m / / 0 x k50000 kn/m³ B 0,8 m 7 m Come prima operazione di valuta il risultante delle azioni e la sua posizione rispetto all origine del sistema di riferimento. R N1 + N + N3 + qe kn Per il teorema di Varignon si ha: ( 0 ) R x N1 0 + N + N ,5 knm 3 + q E , da cui: x R ( 0 ) 3,95 m eccentricità da baricentro geometrico vale quindi: e x 395, 35, 05, m e 1, 16 m (sezione interamente compressa) 6

13 A questo punto si valutano le tensioni massime e minime ai bordi dell area di impronta della fondazione attraverso le espressioni prima fornite. σ T,AX R B 6e , , kn / m σ T,IN R B 6e , ,8 7 88,6 kn / m Gli abbassamenti massimo e minimo valgono quindi: w w AX IN σ k σ k T,AX T,IN 656 0,0130 m ,6 0,0057 m e la reazione del terreno ai bordi della sezione: q q R,AX R,IN σ σ T,AX T,IN B 656 0,8 5,8 kn / m B 88,6 0,8 31 kn / m a configurazione del sistema è riportata nella figura seguente insieme alla risposta in termini di abbassamenti e sollecitazioni.

14 e 0 x / / R65 kn qe35 kn/m qr,in31 kn/m qr,ax5,8 kn/m w,in5,7 mm w,ax13 mm T