Università degli Studi di Roma La Sapienza Ingegneria Elettrotecnica

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1 Pova scitta di Fisica 2-14 Gennaio 2013 Esecizio 1 (8 punti) Una caica statica nel vuoto distibuita su un aco di ciconfeenza di aggio a con densità lineae λ = λ 0 sinα dove 0 < α < 3π/2. Calcolae il potenziale V e la componente E z del campo elettico lungo l asse della ciconfeenza. Esecizio 2 (8 punti) Te lamine conduttici identiche di supeficie S=1m 2 sono disposte in aia come in figua (d 1 = 7cm, d 2 = 3cm); le due lamine estene sono collegate con un filo conduttoe. Una caica Q pai ad 1 nc viene depositata sulla lamina centale. Calcolae le densità supeficiali di caica σ 1 e σ 2 sulle due facce della lamina centale. d 1 d 2 Esecizio 3 (8 punti) Si considei un cavo coassiale di aggi a, b e c. In ciascuno dei due conduttoi scoe una coente I distibuita in maniea unifome, in vesi opposti. Si detemini l espessione del modulo del campo magnetico B() negli intevalli (1) < c, (2) c < < b, (3) b < < a e (4) > a. a c b Esecizio 4 (8 punti) Si considei una sbaa di metallo di lunghezza l in otazione con velocità angolae costante ω intono al suo estemo A nel veso indicato in figua. La sbaa è immesa in un campo magnetico B unifome e pependicolae al piano di otazione. Calcolae la diffeenza di potenziale V AC = V A V C fa i due estemi della sbaa A e C. B A ω l C Domanda Enunciae e dimostae le condizioni di accodo pe il campi E e D all intefaccia fa due dielettici di costanti dielettiche ε 1, ε 2 ispettivamente.

2 Soluzioni della pova scitta di Fisica 2-14 Gennaio 2013 Esecizio 1 dv = 1 dq 4πε 0 = 1 λ 0 a sinα dα 4πε 0 V = λ 0a 4πε 0 E z = V z = z 3π/2 sinα dα = λ 0a 0 4πε 0 ( ) λ0 a 1 = 4πε 0 a2 +z 2 λ 0 a z 4πε 0 (a 2 +z 2 ) 3/2 λ z a α = a 2 +z 2 dq Esecizio 2 Le te lamine conduttici sono equivalenti a due condensatoi C j (j = 1,2) a facce piane e paallele disposti come in figua; su ciascun condensatoe è disposta una caica Q j (Q 1 +Q 2 = Q). Q 1 d 2 Q 2 C j = ε 0 S d j, Q j = C j C 1 +C 2 Q σ j = C j Q C 1 +C 2 S. d 1 S S σ 1 = d 2 d 1 +d 2 Q S = C/m 2 σ 2 = d 1 d 1 +d 2 Q S = C/m 2.

3 Esecizio 3 Dal teoema di Ampee applicato ad una ciconfeenza l di aggio e coente concatenata I conc : B d l = µ 0 I conc B() = µ 0 2π I conc() < c l I unifome I = Jπc 2, J = I πc 2, I conc() = Jπ 2 = I 2 c 2 c < < b I conc () = I B() = µ 0I 2π b < < a Nel conduttoe esteno la coente è unifome e quindi I = J ext π(a 2 b 2 ) B() = µ 0I 2πc 2 I conc () = I J ext π ( 2 b 2) = I a2 2 a 2 b 2 B() = µ 0I a 2 2 2π a 2 b 2 > a I conc () = I I = 0 B() = 0 Esecizio 4 Le caiche mobili nella sbaa di metallo a distanza dall estemo A viaggiano con velocità v in un campo magnetico B ( v B); tali caiche sono sottoposte ad una foza Loentz (ˆ vesoe adiale uscente da A ed ω è paallelo a B): F L = q v B = q( ω ) B = qωbˆ con 0 l. All equilibio nel metallo si cea un campo elettico E S tale che E S = F L /q in ogni punto della sbaa. A V AC = V A V C = E S d 0 l = ωbd = ωbl2 C 2 l

4 Pova scitta di Fisica 2-8 Febbaio 2013 Esecizio 1 (8 punti) Una caica puntifome 7q è posta al cento di un guscio sfeico conduttoe immeso nel vuoto, di aggio esteno b e dotato di una caica +3q. Si calcolino ispettivamente le espessioni della componente adiale del campo elettostatico pesente nello spazio esteno al guscio (a distanza dal cento) e del potenziale V g del guscio stesso, ponendo V( ) = 0. Esecizio 2 (8 punti) Il cicuito è a egime. Calcolae pe quale valoe di R x è massima la potenza dissipata sulla esistenza R x stessa (R=30kΩ). Esecizio 3 (8 punti) Un lungo filo ettilineo, pecoso da una coente stazionaia I = 10A, è disposto sull asse di un sottile anello mateiale di pemeabilità magnetica µ = 3 e aggio medio a = 10cm. Si calcoli il modulo della coente supeficiale di magnetizzazione J m S e se ne indichi la diezione ed il veso. A R x B Esecizio 4 (8 punti) Un nucleo di feite con pemeabilità costante µ 1, di sezione d aea S e lunghezza l S, è concatenato con un cicuito di esistenza R ove è inseito un condensatoe C. Sul nucleo sono avvolte N spie pecose da una coente che nell intevallo tempoale 0 T passa dal valoe nullo ad uno costante con andamento lineae i(t) = kt. Si calcoli l espessione del potenziale V(t) nel punto A, pe 0 < t < T, in situazione quasi stazionaia, tenendo conto del segno a patie dal veso indicato da i(t). Si disegni l andamento qualitativo di V(t), anche pe t > T, assumento RC T. Domanda Definie la densità di coente J, esplicitae la sua dipendenza dalla velocità di dift v D delle caiche mobili e icavae l equazione di continuità.

5 Soluzioni della pova scitta di Fisica 2-8 Febbaio 2013 Esecizio 1 Gauss: 4π 2 E = Q ε 0 = V g = b 7q +3q ε 0 E d = q πε 0 = 4q [ 1 ε 0 ] b E = q πε 0 2. = q πε 0 b. Esecizio 2 Essendo il cicuito in condizioni stazionaie il condensatoe può essee sostituito da un cicuito apeto. Il cicuito è equivalente ad un cicuito ad una maglia, con R eq, f eq calcolate secondo il teoema di Thevenin. La massima potenza su R x si ha quando R x = R eq = R+ 2 3 R = 5 3 R = 50kΩ. Esecizio 3 Ampee: 2πaH = I H = I 2πa J m S = M ˆn Jm S I = M = χ m H = (µ 1) 2πa = A/m 2π10 1 a I n M J m S Esecizio 4 i(t) R A R A B C + C NI = l µnis Φ Φ = µs l V(t) = µnks l ( 1 e t/τ ) f i = dφ dt = d dt ( ) µnkts l f i = µnks l 0 T=RC V(t)

6 Pova scitta di Fisica 2-29 Apile 2013 Esecizio 1 (8 punti) Una caica elettostatica nel vuoto è distibuita all inteno di un guscio sfeico di aggio inteno a ed esteno b, con densità di volume ρ = k. Calcolae il campo elettostatico in tutto lo spazio. Esecizio 2 (8 punti) ll condensatoe C 1 appesentato in figua è inizialmente caico alla tensione V 0 mente C 2 èscaico. Al tempo t=0l inteuttoe viene chiuso. Calcolae l enegia totale dissipata nella esistenza fino al aggiungimento della nuova situazione di equilibio. Esecizio 3 (8 punti) Un lungo filo ettilineo, pecoso dalla coente stazionaia I, è a distanza d da un foglio sottile, molto esteso, di un mateiale omogeneo isotopo con pemeabilità µ. Calcolae l espessione del modulo del vettoe induzione magnetica nel geneico punto P. all inteno del mateiale, individuato dalla distanza x. Esecizio 4 (8 punti) Si considei il solenoide S in figua, composto da n=200 spie/cm e pecoso dalla coente i=2 A. Al cento di S vi sia una bobina C composta da N=300 spie stettamente impacchettate di diameto d c =2 cm. La coente del solenoide cesca lineamente da0a2ain t=0.31s. Calcolae il valoe assoluto della f.e.m. indotta nell avvolgimento inteno mente la coente del solenoide sta aumentando. Domanda Dimostae il teoema di Coulomb (campo elettico in possimità della supeficie di un conduttoe caico).

7 Soluzioni della pova scitta di Fisica 2-29 Apile 2013 Esecizio 1 Esecizio 2

8 Esecizio 3 Esecizio 4 Consideando il solenoide S come un solenoide infinito, il campo di induzione magnetica sulla bobina C è paallelo all asse e di modulo costante pai a B = µ 0 n i. Il flusso nella bobina vale Φ = π d2 c 4 B = πd2 c 4 µ 0n i. Dalla Legge di Faaday, il modulo della f.e.m. vale: f.e.m = dφ dt = N Φ t = µ 0πn N d2 c i 4 t = 4π10 7 π ( ) mV.

9 Univesita' degli Studi di Roma "La Sapienza" : Pova scitta di Fisica 2 10 Giugno Esecizio Uno (Otto punti) Si considei uno stato piano innito, caico, con densita' supeciale di caica σ unifome. Si segni un'oigine su tale piano e si aspoti da questo piano una fetta pai ad un disco di aggio R, patendo dall'oigine stessa. Si calcoli l'espessione del campo elettico geneato da tale distibuzione di caica in un punto P, sulla pependicolae al piano passante pe il cento del foo (l'oigine), a distanza x dal piano e si gachi tale campo elettico come funzione di x. Si discuta il compotamento del campo a gandi distanze (e.g. x >> R). 2 Esecizio Due (Otto punti) Si considei il cicuto ipotato in gua (Fig. Uno, sinista), di cui sono noti C 1 = 3µF, C 2 = 4 µf, C 3 = 2 µf. Il punto B e' a tea ed il punto A ha potenziale V A = 200V. Si detemini la caica su ogni condensatoe, il potenziale nel punto D e l'enegia elettostatica posseduta da ciascun condensatoe. 3 Esecizio Te (Otto punti) Una guida metallica ettangolae di esistenza tascuabile, laga d = 0.2 meti e' immesa in un campo di induzione magnetica costante con diezione pependicolae alla guida e modulo pai a B = 2 Tesla. Sulla guida puo' muovesi senza attito una baetta al cui inteno sono collocate -in seie ta loo- una esistenza R = 1.4KΩ ed un induttanza L = 250mH (vedasi Fig. Uno, desta). Osseviamo che il contatto elettico con la guida avviene solo mediante la seie RL. Si vuole fa muovee la baetta (e quindi la seie RL) lungo tale guida, patendo da fema e potandosi a velocita' costante v = 3m/s mediante l'applicazione di una foza meccanica F avente diezione di applicazione pependicolae alla baetta e giacente sul piano della guida. Ricavae l'espessione della foza meccanica F da supplie al cicuito anche' tale moto si ossevi. Gacae l'andamento nel tempo di F, cioe' gacae F (t). 4 Esecizio Quatto (Otto punti) Un magnete pemanente a foma tooidale ha il nucleo magnetizzato di lunghezza l ed il tafeo in aia di spessoe d. Il valoe del vettoe induzione magnetica misuato nel tafeo e' B. Scivee l'espessione pe l'intensita' di magnetizzazione M nel magnete e gacae la funzione M sia come funzione di d che come funzione di l. 1

10 Figue 1: Sinista: Figua dell'esecizio Due. Desta: Figua dell'esecizio Te. 5 Domanda di teoia Discutee le condizioni di accodo di tutti i campi di inteesse in Fisica2 ( E, D, B, H) sulla supecie di sepaazione ta due mezzi. 2

11 6 Soluzione dell'esecizio uno Si puo' pocedee innanzitutto applicando il Pincipio di Sovapposizione pe schematizzae il poblema come il calcolo del contibuto al campo elettico E(x) di uno stato piano innito di densita' di caica +σ, contibuto che chiamiamo E + (x) ed un disco con densita' di caica σ, contibuto che chiamiamo E (x). Sappiamo scivee immediatamente E + (x): E + (x) = σ. (1) 2ɛ 0 Pe il calcolo del campo geneato dal disco con caica σ, da consideazioni di simmetia sappiamo che il campo è nomale al disco, ed ha espessione Pe il pincipio di sovapposizione si ha E (x) = σ 2ɛ 0 ( 1 ) x. x2 + R 2 (2) E(x) = E + (x) + E (x) = σ x 2ɛ 0 x2 + R, 2 (3) che pe x >> R diventa E(x >> R) σ 2ɛ 0, come deve poiche' diventa tascuabile il contibuto del disco. 7 Soluzione dell'esecizio due Pe calcolae la quantita' di caica su ciascun condensatoe toviamo la capacita' totale del cicuito. Il paallelo ta C 2 e C 3 vale C 23 = C 2 + C 3 = 6µF. C 23 e' in seie con C 1 e quindi la capacita' totale C T e' data dall'espessione C T = C 1C 23 C 1 + C 23 = 2µF. (4) La quantita' totale di caica posseduta dai condensatoi isulta quindi essee Q = C T V A = 0.4µC. Q d'altonde e' anche la caica comune ai condensatoi C 1 e C 23, da cui si evince che la dieenza di potenziale ta A e D isulta essee V A V D = Q/C V. (5) Di conseguenza la dieenza di potenziale ai capi del paallelo ta C 1 e C 2 e' V D V B = 66.7V. Le imanenti quantita' di caica ancoa ignote sono quindi Q(C 2 ) = C 2 (V D V B ) C. Q(C 3 ) = C 3 (V D V B ) C. L'enegia elettostatica immagazzinata da ciascun condensatoe isulta essee U(C 1 ) = 1 2 C 1(V A V D ) mJ, (6) U(C 2 ) = 1 2 C 2(V D V B ) 2 8.9mJ, (7) U(C 3 ) = 1 2 C 3(V D V B ) 2 4.5mJ. (8) 8 Soluzione dell'esecizio te La f.e.m. V i indotta nel cicuito fomato da guida piu' seie RL si icava come vaiazione nel tempo del usso di campo di induzione magnetica B non appena la foza estena F agisce sulla baetta: V i = dφ(b) dt = dbv. (9) 3

12 Ovviamente la f.e.m. indotta ha veso tale da geneae un campo magnetico il cui usso si oppone alla vaiazione del usso B. A questo punto dobbiamo analizzae il cicuito -che e' un nomale cicuito RL in cui il geneatoe e' appesentato dalla f.e.m. stessa (che ha valoe costante se la velocita' v e' costante)-. La condizione iniziale e' quindi equivalente alla chiusua di un cicuito RL tamite un inteuttoe. Sappiamo come descivee il fenomeno sico: da cui V i L di = Ri, (10) dt i(t) = V i (1 exp( t/τ)), (11) R con τ = L/R e i(t = 0) = 0. Dovendo essee costante la velocita' della sbaetta, la foza meccanica F deve avee la stessa diezione e modulo (ma veso opposto) della foza magnetica F m agente sulla sbaetta e geneata a causa della pesenza del campo B e della coente indotta nel cicuito. La foza magnetica si puo' scivee come F m = dbi(t) cioe' F m = d2 B 2 v R (1 exp( t/τ)). (12) Quindi pe avee una velocita' costante della baetta, il modulo della foza meccanica F (t) deve vaiae con la legge sopa ipotata: Una volta che l'inteuttoe e' stato caicato, cioe' pe tempi t >> τ, essa e' semplicemente costante. Notae che a foza costante sta coispondendo velocita' costante e che il sistema sia un sistema intinsecamente temodinamico pe la pesenza della esistenza nel cicuito. 9 Soluzione dell'esecizio Quatto Dalla elazione H f = B µ 0 M si ha B M = H f = (µ 1) H f. (13) µ 0 Il valoe di H f si icava dal Teoema di Ampee H dl = Hf l + H 0 d = 0, da cui H f = d l H 0, (14) dove H 0 indica il valoe di H nel tafeo. Poiche' H 0 = B 0 /µ 0 si ha Al passaggio dal tafeo al feo si ha B n1 = B n2 e quindi M = (µ 1) d B. (15) µ 0 l B = B f = µ 0 µ H f = µ 0 µ ( d l H 0) = µ 0 µ ( d l da cui µ = l/d ed anche (µ 1) = (l + d)/d, da cui M = l + d d dµ 0 l B = l + d l B µ 0 ), (16) B. (17) µ 0 4

13 Pova scitta di Fisica 2-19 Luglio 2013 Esecizio 1 (8 punti) Una caica statica nel vuoto è distibuita su una coona cicolae di aggi a e b con densità supeficiale σ = k/, dove è la distanza dal cento O, vaiabile ta a e b. Calcolae l espessione V(0) del potenziale nel punto O con V( ) = 0. Esecizio 2 (8 punti) Un lungo conduttoe cilindico di aggio a è inglobato in un guscio dielettico cilindico di costante ε e aggio esteno b. Il conduttoe è staticamente caico con densità supeficiale unifome σ. Si calcoli l espessione dela densità supeficiale della caica di polaizzazione σ p sulla supeficie estena del dielettico. Esecizio 3 (8 punti) Nel cicuito in figua è pesente un solenoide ideale di N spie, aggio a, lunghezza l e esistenza dell avvolgimento tascuabile. L inteuttoe si chiude a t = 0, quando la situazione stazionaia è già stabilita. Si calcoli l espessione dell enegia dissipata sulla esistenza R pe t > 0. Esecizio 4 (8 punti) Due lunghi conduttoi laminai di laghezza l sono affacciati in aia a distanza d l e sono ispettivamente pecosi dalle coenti stazionaie I e 4I, unifomemente distibuite e con i vesi indicati in figua. Si calcoli l espessione del campo B int e B est appena fuoi dalla egione centale, lontano dai bodi, indicandone diezione e veso. Domanda Enunciae e dimostae il teoema di Gauss. Successivamente, icavae la I equazione di Maxwell.

14 Soluzioni della pova scitta di Fisica 2-19 Luglio 2013 Esecizio 1 dv(0) = 1 dq 4πε 0 = 1 σds 4πε 0 = 1 k 2πd 4πε 0 2 V(0) = k b d(ln) = k ln 2ε 0 a 2ε 0 ( b a ) = k d 2ε 0 b a O Esecizio 2 σ p = P = ε 0 χe Utilizzando Gauss e la simmetia cilindica: E = λ 2πε ε 0 b = 1 σ2πah 2πε ε 0 b h σ p = P = ε 0 χe = (ε 1)σa ε b Esecizio 3 Sia S = πa 2 la sezione del solenoide di lungehzza l e N avvolgimenti. Pe la consevazione dell enegia, l enegia dissipata su R è pai a quella immagazzinata nel solenoide. U R = 1 2 LI2 0 = π N 2 a 2 f 2 2 l 9R 2

15 Esecizio 4 Sia J S la densità di coente supeficiale (A/m). Il campo B pe un piano di coente infinito vale (dal teoema di Ampee) B = µ 0J S 2. Nel caso di lamina di lunghezza infinita e laghezza l e pecosa da coente I lam, il campo B appena fuoi dalla egione centale, lontano dai bodi può essee appossimato con quello della lamina infinita con J S = I lam l B = µ 0I lam 2l

16 Pova scitta di Fisica 2-25 Settembe 2013 Esecizio 1 (8 punti) Una caica q=20 nc è distibuita unifomemente, nel vuoto, lungo una ciconfeenza di aggio R=9 cm; al cento O della ciconfeenza è posta una caica puntifome Q=-100 nc. Calcolae il lavoo L necessaio pe potae la caica Q dal punto O al punto P, posto sull asse della ciconfeenza a distanza d= 3R da O. Esecizio 2 (8 punti) Un condensatoe a facce piane e paallele ha nel vuoto una capacità C 0 =10µF. Viene iempito pe metà volume con un dielettico di costante elativa ε 1 =1.4 e pe l alta metà con un dielettico di costante ε 2 =1.6. Calcolae il nuovo valoe della capacità C ed il appoto fa le caiche di polaizzazione sui due dielettici. Esecizio 3 (8 punti) Due lamine di ame di laghezza a=10cm, lunghezza l a e esistenza tascuabile, sono affacciate fa loo a distanza d=1mm in aia. Ad una estemità esse sono collegate tamite un conduttoe di esistenza R = 400Ω. All alta estemità una coente stazionaia I enta in una lamina ed esce dall alta. Calcolae il appoto ta le enegie elettica U E e magnetica U M pesenti nel sistema. Esecizio 4 (8 punti) Una spia cicolae igida di aggio =10cm è costituita da un filo di ame (esistività ρ= Ωm) di sezione S=0.5mm 2 ed è immesa in un campo B=1T, unifome e nomale al piano della spia. Il campo B viene poi apidamente potato a zeo. Calcolae la caica elettica che fluisce nella spia duante il pocesso tansitoio descitto. Domanda Consideae una distibuzione lineae di caica di lunghezza infinita. Ricavae il campo ed il potenziale in ogni punto dello spazio.

17 Soluzioni della pova scitta di Fisica 2-25 Settembe 2013 Esecizio 1 Il lavoo che si deve compiee dall esteno pe spostae la caica Q dal punto O al punto P è dato da L = Q[V(P) V(O)], dove V è il potenziale elettico. Il potenziale geneato da una caica puntifome q a distanza dalla caica stessa, e assumendo nullo il potenziale all infinito, è V() = q/4πε 0. Nel caso in esame, la distibuzione lineae di caica λ = q/2πr, sull asse della ciconfeenza si ha: V(z) = 1 λdl 4πε 0 cic = 1 λ2πr 4πε 0 = 1 q 4πε 0 = 1 q 4πε 0 z2 +R 2. R O dl z d P Nei punti P (z = d = 3R) e O (z = 0), il potenziale è quindi V(P) = 1 q 4πε 0 d2 +R = q 1 2 4πε 0 2R e V(P) = q 1 4πε 0 R, da cui L = Q q 4πε 0 ( 1 2R 1 ) = 1 qq R 4πε 0 2R = = 10 4 J = 100 µj Esecizio 2

18 Esecizio 3 U E = 1 2 C V 2 = 1 2 ε al 0 d R2 I 2 U M = 1 2 I Φ = 1 2 I B S = 1 2 I µ 0J S ld = 1 2 µ 0 U E = ε ( 0 a ) 2 R U M µ 0 d ld a I2 Esecizio 4

19 Pova scitta di Fisica 2-6 Novembe 2013 Esecizio 1 (8 punti) In una sfea di aggio R la caica è distibuita con densità non unifome che dipende dalla distanza dal cento secondo l espessione ρ() = a/, dove a è una costante. Calcolae (i) la caica totale pesente nella sfea; (ii) l andamento del campo elettico in tutto lo spazio (0 < < ) e fane il gafico; (iii) il potenziale in tutto lo spazio (0 < < ) e fane il gafico. R Esecizio 2 (8 punti) Un geneatoe di foza elettomotice f e esistenza intena è collegato ad un cicuito come in figua. Calcolae in condizioni stazionaie la coente che scoe nel geneatoe e la potenza che eoga; calcolae la potenza dissipata in R 1 ed R 2 e l enegia elettostatica immagazzinata in ciascuno dei due condensatoi. f R 1 C 1 R 2 C 2 Esecizio 3 (8 punti) In un tooide di mateiale feomagnetico di aggio medio R=20cm è icavato un tafeo di spessoe d=4mm. Intono al tooide è pesente un avvolgimento di N=120 spie di filo conduttoe. Sapendo che il mateiale ha un campo di satuazione B S =1.2T e che si compota in maniea cica lineae con pemeabilità elativa µ =1200, calcolae il valoe di coente davvolgimento I necessaio ad ottenee un campo B nel tafeo pai al 75% del campo di satuazione. Esecizio 4 (8 punti) La spia ettangolae appesentata in figua è posta nel piano(x, y) a distanza d daunfilo posto lungol asse y epecoso da una coente vaiabile I(t) = α t. Ricavae: (a) modulo e veso della coente che cicola nella spia se questa ha esistenza R; (b) modulo, diezione e veso della foza che subisce nel tempo la spia al passaggio della coente. I(t) d a h Domanda Dimostae le leggi di Kichhoff (leggi dei nodi e delle maglie).

20 Soluzioni della pova scitta di Fisica 2-6 Novembe 2013 Esecizio 1 La caica contenuta nella sfea è Q = V ρdv = R 0 a 4π2 d = 2πaR 2. Dalla simmetia sfeica E() = E()ˆ. Se Q int () è la caica contenuta in una sfea di aggio, dal teoema di Gauss E() = Q int() 4πε 0 2. E 0 R Q int () = 2πa 2 E() = a a/2ε 0. 1/ 2 2ε 0 > R Q int () = Q = 2πaR 2 E() = a R 2 2ε 0. 2 Assumendo il potenziale nullo all infinito: V(P) = V(P 0 ) P R V() = ar2 2ε 0 P 0 E dl V() = d ar2 = 2 2ε 0 = Q 4πε 0. E( )d. 0 ar/ε 0 0 V R 0 R V() = a R d + ar2 d 2ε 0 2ε 0 R = a (R )+ ar = a (2R ). 2 2ε 0 2ε 0 2ε 0 R 1/ Esecizio 2 In condizioni stazionaie, nel amo contenente R 2 e nei due condensatoi non scoe coente. La coente I che scoe nel geneatoe è I = f R 1 + e la potenza W eogata dal geneatoe è la somma di quella dissipata su R 1 e su, cioè W = I 2 +R 1 I 2 = ( +R 1 )I 2 = f I. La potenza dissipata su R 2 è nulla e quella dissipata su R 1 vale W 1 =R 1 I 2. L enegia immagazinata nella capacità C j (j = 1,2) è U j = 1 2 C jv 2 con V = R 1 +R 1 f.

21 Esecizio 3 Dal teoema di Ampee abbiamo (2πR d)h feo +dh aia = NI B (2πR d) +d B = NI µ 0 µ µ 0 I 0.75B S µ 0 N ( ) 2πR +d µ 30A Esecizio 4 Il campo di induzione magnetica geneato dal filo ad una distanza x vale B = µ 0I 2πxẑ. DallaleggediFaadaylacoenteindottaI ind nellaspia è I ind = f.e.m. R = 1 dφ(b). R dt Assumendo la nomale alla supeficie della spia dietta lungo ẑ Φ(B) = spia B ds = d+a d µ 0 I 2πx hdx = µ 0Ih 2π ln ( ) d+a la coentescoe nella spia inveso antioaiose α > 0. d I(t) d x e I ind = µ 0αh 2πR ln dx ds=hdx ( d+a d a z y ) ; h x Solo le coenti I 1 e I 2 che scoono sui lati veticali della spia causano una azione meccanica non nulla; assumendo i vesi come in figua, I 1 =I 2 = I ind. Dalla seconda legge di Laplace, df 1 = I 1 dl 1 B(d) = I ind µ 0I 2πd ( ŷ) ẑ dl = I ind µ 0I 2πdˆxdl I(t) I 1 I ind I 2 F 1 = µ 0I I ind ˆx 2πd µ 0 I F 2 = I 2 2π(d+a)ˆx h 0 h F = F 1 +F 2 = µ 0I I ind h 2πd 0 dl = µ 0I I ind h ˆx 2πd dl = µ 0I I ind h 2π(d+a) ˆx d+aˆx a z y x