CONOSCENZE 1. il significato di evento casuale. 2. il significato di eventi impossibili, complementari;

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1 ARITMETICA ELEMENTIDICALCOLO DELLE PROBABILITAÁ PREREQUISITI l l l conoscere e costruire tabelle a doppia entrata conoscere il significato di frequenza statistica calcolare rapporti e percentuali CONOSCENZE. il significato di evento casuale 2. il significato di eventi impossibili, certi, incerti, incompatibili, compatibili e complementari 3. la "legge dei grandi numeri" 4. la probabilitaá di un evento composto ABILITAÁ A. calcolare la probabilitaá matematica di eventi semplici, composti, incompatibili, compatibili B. rappresentare la probabilitaá mediante diagrammi ad albero o tabelle a doppia entrata ed essere in grado di calcolarla PER RICORDARE Il calcolo delle probabilitaá:. un evento E si dice casuale o aleatorio, quando il suo verificarsi dipende unicamente dal caso; 2. un evento si dice certo quando eá possibile stabilire con assoluta certezza il suo verificarsi; 3. un evento si dice impossibile quando non potraá mai realizzarsi; 4. la probabilitaá p E di un evento E eá data dal rapporto fra il numero f di casi favorevoli all'evento e il numero complessivo n dei casi possibili. In simboli: p E ˆ f n ; 5. la probabilitaá di un evento certo eá uguale a ; 6. la probabilitaá di un evento impossibile eá uguale a 0; 7. la probabilitaá di un evento aleatorio qualsiasi eá un numero compreso tra 0 e, cioeá 0 p ; 8. due eventi E e E 2 si dicono incompatibili quando il verificarsi del primo esclude il verificarsi del secondo, ovvero i due eventi non possono verificarsi contemporaneamente; 9. due eventi E e E 2 si dicono compatibili quando il verificarsi del primo non esclude il verificarsi del secondo, ovvero i due eventi si possono verificare contemporaneamente; 0. due eventi E e E 2 si dicono complementari quando il verificarsi del primo esclude il verificarsi del secondo, ma sicuramente uno dei due eventi si verificheraá. I teoremi del calcolo delle probabilitaá:. la somma delle probabilitaá di due eventi complementari eá sempre uguale a ; 2. due eventi complementari sono sempre incompatibili, mentre due eventi incompatibili non sempre sono complementari; 3. la probabilitaá totale: di due o piuá eventi incompatibili eá uguale alla somma delle probabilitaá di ciascun evento. In simboli: p t ˆ p p 2 ::::: p n ; di due eventi compatibili eá uguale alla somma delle probabilitaá di ciascun evento diminuita della probabilitaá comune ai due eventi. In simboli: p t ˆ p p 2 p c ;

2 2 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 4. la probabilitaá di un evento composto E : costituito da due eventi E e E 2 fra loro indipendenti, si ottiene effettuando il prodotto delle probabilitaá di ciascun evento e viene chiamata anche probabilitaá composta. In simboli: p E ˆp E p E 2 ; costituito da due eventi E e E 2 fra loro dipendenti, si ottiene effettuando il prodotto della probabilitaá di E per la probabilitaá condizionata di E 2. In simboli: p t ˆ p E p E 2 =E. ESERCIZI DI CONOSCENZA Completa le seguenti definizioni: a. un evento si dice casuale, o..., quando il suo verificarsi dipende unicamente dal...; b. un evento si dice certo se si puoá stabilire con assoluta certezza...; c. la probabilitaá di un evento E eá data dal... fra il numero... ed il numero... 2 Indica quali tra le seguenti proprietaá sono corrette: a. la probabilitaá di un evento impossibile eá ; b. la probabilitaá di un evento impossibile eá 0; c. la probabilitaá di un evento certo eá ; d. la probabilitaá di un evento certo dipende dall'evento; e. la probabilitaá di un evento aleatorio qualsiasi eá sempre un numero compreso tra 0 e ; f. la probabilitaá di un evento aleatorio qualsiasi eá sempre un numero compreso tra e. 3 Completa le seguenti definizioni: a. due eventi E e E 2 si dicono incompatibili quando il verificarsi del primo... il verificarsi del secondo, ovvero i due eventi non possono verificarsi...; b. due eventi E e E 2 si dicono compatibili quando il verificarsi del primo... il verificarsi del secondo, ovvero i due eventi non possono verificarsi...; c. due eventi E e E 2 si dicono complementari quando il verificarsi del primo... il verificarsi del secondo, ma sicuramente uno dei due eventi... 4 Completa le seguenti definizioni: a. la probabilitaá inversa di un evento p eá la probabilitaá che...; b. la somma delle probabilitaá di due eventi complementari eá sempre uguale a...; c. la probabilitaá totale di due o piuá eventi incompatibili eá uguale alla... delle... di ciascun evento; d. la probabilitaá totale di due eventi compatibili eá uguale alla... delle probabilitaá dei due eventi... della probabilitaá... ai due eventi; e. due eventi E e E 2 si dicono indipendenti se il verificarsi dell'evento E... la probabilitaá...; f. due eventi E e E 2 si dicono dipendenti se il verificarsi dell'evento E... la probabilitaá del verificarsi dell'evento E 2 ; la probabilitaá che l'evento E 2 si verifichi (nell'ipotesi che l'evento E si sia giaá realizzato), eá detta... ed eá di solito indicata con la scrittura... 5 Con quale formula si calcola la probabilitaá dell'evento composto di due eventi fra loro indipendenti? a. p E ˆp E p E 2 ; b. p E ˆp E : p E 2 ; c. p E ˆp E p E 2. 6 La probabilitaá di due eventi dipendenti eá uguale a: a. p t ˆ p E : pe 2 =E ; b. p t ˆ p E pe 2 =E ; c. p t ˆ p E pe 2 =E. 7 Completa la seguente frase: la legge dei grandi numeri dice che se sottoponiamo un evento casuale ad un... otteniamo una frequenza che si avvicina molto...

3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ 3 ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO BASE * Il calcolo della probabilitaá Calcola la probabilitaá che lanciando un dado esca un numero pari, esprimendola in frazione, valore decimale e valore percentuale. Il dado ha sei facce quindi n ˆ 6; il nostro evento ha tre possibilitaá di verificarsi (esce 2, esce 4, esce 6) dunque f ˆ 3 p (valore frazione) ˆ f n ˆ 3 6 ˆ 2 ; p (valore decimale) ˆ : 2 ˆ 0,5; p (valore percentuale) ˆ 0,5 00% ˆ 50%. 2 Calcola la probabilitaá che estraendo da un sacchetto contenente 0 palline rosse e 5 gialle esca una pallina gialla, esprimendola in frazione, valore decimale e valore percentuale. 3 Calcola la probabilitaá che lanciando un dado esca il numero 6, esprimendola in frazione, valore decimale e valore percentuale. 4 5 Calcola la probabilitaá che lanciando un dado esca un numero divisibile per 3 o un numero minore di 3. 6 Calcola la probabilitaá che estraendo una carta da un mazzo di 40 carte italiane sia un quattro o un sei. 7 La probabilitaá totale di due eventi incompatibili Calcola la probabilitaá totale dell'evento E : «estrarre da un sacchetto contenente 3 palline rosse, 2 gialle e 5 verdi, indifferentemente, una pallina rossa o una verde». La probabilitaá di estrarre una pallina rossa eá: p ˆ 3 0 ; La probabilitaá di estrarre una pallina verde eá: p 2 ˆ 5 0 ˆ 2 ; La probabilitaá totale eá: p 3 ˆ ˆ 4 5. La probabilitaá totale di due eventi complementari Dai 90 numeri della tombola si estrae un numero: a. considera l'evento E : «esce un numero minore o uguale a 30» e calcolane la probabilitaá; b. determina l'evento complementare e calcolane la probabilitaá; c. calcola la probabilitaá totale dei due eventi complementari. a. La probabilitaá che venga estratto un numero minore o uguale a 30 eá ˆ 3 ; b. L'evento complementare eá: E c : «esce un numero maggiore di 30»: la probabilitaá eá ˆ 2 3 ; c. La probabilitaá totale eá ˆ.

4 4 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 8 Un sacchetto contiene 0 palline rosse, 8 nere e 4 bianche: a. considera l'evento E : «estrarre una pallina nera» e calcolane la probabilitaá; b. considera l'evento complementare di E e calcolane la probabilitaá. 9 Da un mazzo di 40 carte se ne estrae una: a. considera l'evento E : «esce una carta di fiori» e calcolane la probabilitaá; b. determina l'evento complementare e calcolane la probabilitaá; c. calcola la probabilitaá totale dei due eventi complementari. 0 Nel lancio di un dado calcola la probabilitaá che si verifichi l'evento «esce un 5 o un numero pari». 2 Nel lancio di un dado calcola la probabilitaá che si verifichi l'evento «esce un 3 o un numero dispari». 3 Calcola la probabilitaá dell'evento E : «esce un numero primo o un numero dispari» nel lancio di un dado. 4 La probabilitaá totale di due eventi incompatibili e di due eventi compatibili Da un mazzo di 40 carte calcola la probabilitaá dei seguenti eventi: a. E : «esce un 5 o una figura»; b. E 2 : «esce un 7 oppure una carta di fiori». a. L'evento E eá composto di due eventi «esce un 5» ed «esce una figura», fra loro incompatibili. In questo caso dunque la probabilitaá totale si ottiene addizionando la probabilitaá dei due eventi semplici: p (esce un 5) ˆ 4 40 ˆ 0 Pertanto p E ˆp p 2 ˆ ˆ 4 0 ˆ 2 5. p 2 (esce una figura) ˆ 2 40 ˆ 3 0 b. L'evento E 2 eá composto dai due eventi «esce un 7» ed «esce una carta di fiori» che sono peroá compatibili (potrebbe verificarsi anche l'evento «esce il 7 di fiori»). Calcoliamo le rispettive probabilitaá: p (esce un 7) ˆ 4 40 ˆ 0 p c (esce il 7 di fiori) ˆ 40 Pertanto p E 2 ˆp p 2 p c ˆ ˆ p 2 (esce una carta di fiori) ˆ 0 40 ˆ 4 La probabilitaá composta di due eventi indipendenti Calcola la probabilitaá di estrarre da un sacchetto contenente 0 palline rosse, 5 gialle e 6 verdi, in successione e rimettendo le palline estratte nel mazzo, una pallina rossa, una gialla e una verde. Dobbiamo calcolare la probabilitaá di un evento composto E che eá costituito da tre eventi semplici indipendenti: l estrazione di una pallina rossa da un sacchetto che ne contiene 0 rosse con un totale di 2 palline; l estrazione di una pallina gialla da un sacchetto che ne contiene 5 gialle con un totale di 2 palline; l estrazione di una pallina verde da un sacchetto che ne contiene 6 verdi con un totale di 2 palline.

5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ 5 5 Da un sacchetto contenente i 90 numeri del gioco della tombola si estraggono due numeri, uno di seguito all'altro, rimettendo il primo numero nel sacchetto. Qual eá la probabilitaá che escano, a prescindere dall'ordine, un numero multiplo di 5 e il numero 6? 6 Calcola la probabilitaá di estrarre da un mazzo di 40 carte italiane in successione e rimettendo le carte estratte nel mazzo, un 3 e una figura. 7 Calcoliamo le probabilitaá di ciascuno dei tre eventi: p r ˆ 0 2 ; p g ˆ 5 p v ˆ Determiniamo la probabilitaá dell'evento composto: p E ˆp r p g p v ˆ ˆ ProbabilitaÁ composta condizionata Supponiamo di estrarre due numeri da un sacchetto contenente i 90 numeri della tombola e, senza rimettere il primo estratto nel sacchetto, estraiamo un secondo numero. Ci domandiamo qual eá la probabilitaá che tutti e due i numeri siano pari. Inizialmente il sacchetto contiene tanti numeri pari quanti dispari, ma poicheâ il numero estratto per primo non viene riposto nel sacchetto, la seconda estrazione dipenderaá dal risultato della prima. Quindi i due eventi sono fra loro dipendenti. In questo caso possiamo utilizzare la formula della probabilitaá condizionata: p E ˆ45 90 ˆ 2 ; pe 2=E ˆ ; p t ˆ p E pe 2 =E ˆ ˆ Calcola la probabilitaá che estraendo da un sacchetto contenente 7 palline gialle e 0 blu, due palline, senza rimettere la prima nel sacchetto, siano la prima gialla e l'altra blu. 9 Calcola la probabilitaá di estrarre da un mazzo di 40 carte, in successione e senza rimettere la carta estratta nel mazzo, un 3 e una carta di denari nell'ipotesi che la prima carta estratta sia il 3 di denari. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO MEDIO ** Esercizio Guidato La probabilitaá Estraendo una carta da un mazzo di 40 carte determina: a. la probabilitaá che la carta estratta sia inferiore a 3; b. la probabilitaá che la carta estratta sia di denari o sia il 5 di coppe; c. la probabilitaá complementare dell'evento E : «esce una figura»; d. la probabilitaá che la carta estratta sia di fiori o una figura. a. Considerato l'evento E : «... inferiore a 3», i casi favorevoli sono f ˆ :::::::::; icasi possibili sono n ˆ ::::::::::: Quindi p E ˆ 8 40 ˆ 5.

6 6 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 2 Estraendo da un contenitore contenente 3 biro rosse, 2 biro blu, 5 biro nere e 4 matite calcola la probabilitaá: a. che esca una matita; b. che esca una biro blu o una nera; c. dell'evento complementare del punto a. 3 Estraendo un numero al lotto (90 numeri), qual eá la probabilitaá che: a. sia un numero minore di 3; b. non sia multiplo di 0; c. sia multiplo di 3 o il numero 5. 4 Il gioco della roulette consiste nel puntare una certa quantitaá di denaro su uno dei 37 numeri (da 0 a 36). Sapendo che il numero 0 eá verde e che gli altri numeri sono 8 rossi e 8 neri, calcola la probabilitaá dei seguenti eventi: a. «esce un numero pari»; b. «esce un numero rosso»; c. «esce un numero giallo»; d. «esce un numero verde»; e. «esce un numero dispari o divisibile per 7»; f. «esce un numero divisibile per 2 o verde». 5 b. I due eventi E : «esce una carta di denari» e E 2 : «esce il 5 di coppe» sono due eventi... Quindi p E ˆ:::::::: :::::::: ˆ 0 :::::::: ˆ c. Calcoliamo prima la p E ˆ:::::::: ˆ :::::::: Per determinare la probabilitaá complementare q bisogna applicare la formula: q ˆ :::::::: :::::::: ˆ :::::::: 3 0 ˆ 7 0. d. Consideriamo l'evento E : «esce una carta di fiori» e l'evento E 2 : «...», i due eventi sono... Calcoliamo p E ˆ::::::::::: e p E 2 ˆ::::::::::: e la probabilitaá dell'evento comune p c ˆ ::::::::::: Quindi p E ˆ:::::::: :::::::: :::::::: ˆ :::::::: :::::::: 3 40 ˆ Esercizio Guidato La probabilitaá composta Calcola la probabilitaá di estrarre da un sacchetto contenente i 90 numeri della tombola in successione e rimettendo i numeri estratti nel sacchetto, un numero minore di 0, il 20 e un multiplo di 45. Dobbiamo calcolare la probabilitaá di un evento... E che eá costituito da tre eventi semplici...: l estrazione di un numero... di 0 da un sacchetto che contiene i numeri da a 90; l estrazione del numero... da un sacchetto che contiene i numeri da a 90; l estrazione... da un sacchetto che contiene i numeri da a 90. Calcoliamo le probabilitaá di ciascuno dei tre eventi: p ˆ ::::: 90 ˆ ::::: 0 ; p 2 ˆ ::::: ::::: ; p 3 ˆ 2 ::::: ˆ ::::: :::::. Determiniamo la probabilitaá dell'evento composto considerato: p E ˆp ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ˆ

7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ 7 6 Calcola la probabilitaá di estrarre da un mazzo di 40 carte in successione e rimettendo le carte estratte nel mazzo, il 5 di denari e una carta di coppe. 7 Esercizio Guidato La probabilitaá composta condizionata Supponiamo di estrarre due palline da un sacchetto contenente 5 palline verdi, 0 rosse e 20 blu e, senza rimettere la prima estratta nel sacchetto, estraiamo una seconda pallina. Ci domandiamo qual eá la probabilitaá che tutte e due le palline siano rosse. Inizialmente il sacchetto contiene... palline rosse su un totale di... Dopo aver fatto la prima estrazione il sacchetto conterraá... palline rosse. Quindi i due eventi sono fra loro..., pertanto: p E ˆ:::: 45 ˆ 2 :::: ; p :::::=E ˆ :::: 44 ; p t ˆ ::::::::: p :::::=E ˆ :::::: :::::: :::::: :::::: ˆ 22 8 Estraendo due carte da un mazzo di 40 carte, senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo, qual eá la probabilitaá che siano entrambe due figure? 9 Un'urna contiene 5 palline bianche, 0 rosse, 6 verdi e 24 gialle. Qual eá la probabilitaá che, effettuando tre estrazioni successive e non rimettendo la prima e la seconda pallina estratta nell'urna, le tre palline siano tutte rosse. 0 Indica quale delle seguenti risposte eá quella che eá piuá probabile che si avvicini alla realtaá. E' stato lanciato 200 volte un dado e l'evento E : «esce il numero 4» si eá ripresentato: a. 35 volte; b. 8 volte; c. 7 volte; d. 50 volte. Indica quale delle seguenti risposte eá quella che eá piuá probabile che si avvicini alla realtaá. Quante volte sono state lanciate due monete se l'evento E : «esce la doppia testa» si eá ripresentato per 00 volte? a. 20; b. 000; c. 40; d ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO AVANZATO *** Le pagine di una rivista sono numerate da a 50; calcola la probabilitaá che, aprendo una pagina a caso si verifichino i seguenti eventi: a. E : «esce una pagina il cui numero eá un multiplo di 5»; b. E 2 : «esce una pagina il cui numero ha come somma delle cifre il numero 5». 2 Estraendo un dolce da un sacchetto contenente 0 caramelle, 3 cioccolatini e 9 biscotti, qual eá la probabilitaá di estrarre: a. una caramella; b. una caramella o un cioccolatino? Determina inoltre la probabilitaá complementare dell'evento a. 3 Estraendo un solido da un sacchetto contenente 0 sfere rosse, 5 sfere blu e 0 cubi rossi, qual eá la probabilitaá di estrarre: a. un solido rosso; b. un solido rosso o una sfera?

8 8 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 4 Calcola la probabilitaá di estrarre da un mazzo di 52 carte in successione e rimettendo le carte estratte nel mazzo, un dieci, una figura e un numero divisibile per 4. 5 Estraendo due numeri da un sacchetto contenente i numeri da a 50, senza rimettere il primo estratto nel sacchetto, qual eá la probabilitaá che il primo numero sia inferiore a 5 e l'altro sia compreso tra 0 e 20 (esclusi il 0 e il 20)? 6 Gli alunni di una classe sono 25, di questi 5 hanno partecipato ad un torneo di pallavolo, 0 ad uno di calcio e 2 ad entrambi i tornei. Scegliendo un ragazzo a caso, quale probabilitaá abbiamo che abbia partecipato ad almeno uno dei due tornei? Quale probabilitaá che non abbia partecipato ad alcun torneo? 7 Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte italiane e, dopo averla inserita, si estrae una seconda carta. Calcola la probabilitaá che le carte estratte siano: a. la prima una figura e la seconda un 3; b. la prima un re e la seconda un 5; c. due carte di uguale valore. 8 Considera l'esercizio precedente e calcola i valori di probabilitaá se, nei tre casi, la carta estratta non viene inserita nel mazzo. 9 Qual eá la probabilitaá che nel gioco del Lotto, alla prima estrazione sulla ruota di Roma, si ottenga un numero minore di 2 oppure divisibile per 0. 0 Disegna un grafo ad albero dei casi possibili nel lancio di 3 monete e calcola la probabilitaá che si verifichi il seguente evento: E : «escono nell'ordine croce, croce e testa». Una coppia eá formata da un genitore con sangue di gruppo B e dall'altro di gruppo AB. Descrivi le possibili composizioni del gruppo sanguigno per i figli della coppia e calcola la probabilitaá nei vari casi. SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA a. aleatorio, caso; b. il suo verificarsi; c. rapporto, di casi favorevoli all'evento, complessivo di casi possibili. 2 b.; c.; e. 3 a. esclude, contemporaneamente; b. non esclude, contemporaneamente; c. esclude, si verificheraá. 4 a. p non si verifichi; b. ; c. somma, probabilitaá; d. somma, diminuita, dell'evento comune; e. non influenza, del verificarsi di E 2 ; f. modifica, probabilitaá condizionata, PE 2 =E. 5 c. 6 b. 7 numero elevato di prove, alla probabilitaá teorica. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO BASE 2 3 ; 0,3; 33,3%. 3 6 ; 0,6; 6,6% a. 4 ; b a. 4 ; b. 3 4 ; c

9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ 9 VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO MEDIO a. esce una carta; f ˆ 8; n ˆ 40; b. indipendenti; p E ˆp p 2 ˆ ˆ 40 ; c. p E ˆ2 40 ˆ 3 0 ; q ˆ p E ˆ 3 0 ˆ 7 0 ; d. E 2 : «esce una figura»; compatibili; p E ˆ0 40 ˆ ; p E2 ˆ ˆ 3 0 ; p c ˆ 3 40 ; p E ˆp E p E 2 p c ˆ ˆ a. 2 7 ; b. 2 ; c a. 3 ; b. 9 0 ; c a. 37 ; b ; c. 0; d. 37 ; e ; f composto; indipendenti; minore; 20; di un multiplo di 45; p ˆ 9 90 ˆ 0 ; p 2 ˆ 90 ; p 3 ˆ 2 90 ˆ 45 ; p E ˆp p 2 p 3 ˆ ˆ ; 45; 9; dipendenti; p E ˆ0 45 ˆ 2 9 ; pe 2=E ˆ 9 44 ; p t ˆ p E pe 2 =E ˆ ˆ a. c. 364 VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO AVANZATO a. 5 ; b a. 5 6 ; b ; c a. 7 ; b ; a ; b. 00 ; c a ; b ; c : AB ˆ 50%; B ˆ 50%.