ẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1

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1 Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell uscita per sistemi lineari Esercizio 1 Si consideri il sistema non lineare del 2 o ordine descritto dalle equazioni ẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u ẋ 2 = x 2 (1) 1.1 Si verifichi che x 1 = 0, x 2 = 0 è uno stato di equilibrio associato all ingresso u(t) = 0, t, per il sistema (1). Si scrivano le equazioni del sistema linearizzato attorno a tale stato di equilibrio. x 1 = 0, x 2 = 0 è uno stato di equilibrio per il sistema (1) associato all ingresso u(t) = 0 perchè le derivate delle variabili di stato con u posto uguale a 0 sono identicamente nulle quando x 1 = x 1 e x 2 = x 2 : 2 x 1 + (sen 2 ( x 1 ) + 1) x 2 = 0 x 2 = 0 Le equazioni del sistema linearizzato attorno all equilibrio x 1 = 0, x 2 = 0 associato all ingresso u(t) = 0 sono: x 1 = 2 x 1 + x u x 2 = x 2 y = x Si verifichi che lo stato di equilibrio x 1 = 0, x 2 = 0 associato all ingresso u(t) = 0 è instabile. La matrice dinamica del sistema linearizzato attorno all equilibrio x 1 = 0, x 2 = 0 associato all ingresso u(t) = 0 è A = [ ] Essa ha autovalori λ 1 = 2 e λ 2 = 1. Per il criterio degli autovalori, il sistema linearizzato è instabile. Inoltre, dato che λ 2 = 1 > 0, allora il movimento di equilibrio del sistema non lineare è instabile.

2 1.3 Si supponga che venga applicato in ingresso al sistema u(t) = 0.5x 2 (sen 2 (x 1 ) + 1) + v(t). Si scrivano le equazioni del sistema così ottenuto, con ingresso v ed uscita y. Sostituendo u(t) = 0.5x 2 (sen 2 (x 1 ) + 1) + v(t) nelle equazioni del sistema (1) si ottengono le equazioni del sistema: ẋ 1 = 2x 1 + 2v ẋ 2 = x Si determini il movimento dell uscita del sistema ottenuto al punto 1.3, quando la condizione iniziale è x 1 (0) = x 2 (0) = 0 e v(t) = 1, t 0. Dato che basta calcolare l andamento della variabile di stato x 1 (t) risolvendo l equazione differenziale: ẋ 1 = 2x 1 + 2v, v(t) = 1, t 0, x 1 (0) = 0. La sua soluzione si ricava nel modo seguente x 1 (t) = e 2t x 1 (0) + t 0 e 2(t τ) 2v(τ)dτ = 1 e 2t, t 0. Il movimento dell uscita cercato è quindi y(t) = x 1 (t) = 1 e 2t, t 0.

3 Esercizio 2 Si consideri il sistema non lineare descritto dalle seguenti equazioni: ẋ 1 = x x 1 + x 2 + u + 1 ẋ 2 = x 1 + x 2 + u + x Determinare il movimento di equilibrio associato all ingresso costante u(t) = 1, t, e scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno ad esso. Ponendo a zero le derivate ẋ 1 e ẋ 2 con u(t) = 1, t si ottiene il sistema di equazioni: x x 1 + x 2 = 0 x 1 + x 2 1 = 0 da cui si ricava lo stato di equilibrio x 1 = 1, x 2 = 0. L uscita di equilibrio corrispondente è ȳ = 1. Il movimento di equilibrio dello stato associato a u(t) = 1, t, è x 1 (t) = 1 t x 2 (t) = 0 Il movimento di equilibrio dell uscita è y(t) = 1, t. Le equazioni del sistema linearizzato attorno al movimento di equilibrio calcolato sono x 1 (t) = 2 x 1 (t) + x 2 (t) + u(t) x 2 (t) = x 1 (t) + x 2 (t) + u(t) y(t) = x 1 (t) + x 2 (t) 2.2 Valutare le proprietà di stabilità del movimento di equilibrio calcolato al punto 1.1. La matrice dinamica A del sistema linearizzato è: [ ] 2 1 A = 1 1 Il polinomio caratteristico di A è: det(λi A) = λ 2 + λ 3. Gli autovalori di A sono quindi λ 1,2 = 1/2 ± 13/2. Dato che uno di essi è a parte reale positiva, allora il movimento di equilibrio calcolato al punto 2.1 è instabile.

4 Esercizio 3 Si consideri il sistema lineare descritto dalle seguenti equazioni: ẋ 1 = 2x 1 + x 2 + u ẋ 2 = 3x 2 + 3u (2) y = x Determinare l espressione analitica del movimento dell uscita del sistema (3) quando l ingresso applicato è u(t) = 2, t 0, e x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 1. Dato che y = x 2 e il movimento della variabile di stato x 2 non dipende da x 1, allora basta risolvere l equazione differenziale ẋ 2 (t) = 3x 2 (t) + 3u(t) con u(t) = 2, t 0 e x 2 (0) = 1. La soluzione è y(t) = x 2 (t) = e 3t + t 0 e 3(t τ) 6dτ = 2 e 3t, t 0

5 Esercizio 4 Si consideri un carrello di massa unitaria (m = 1) che si muove su di una guida rettilinea orizzontale soggetto ad una forza F, in presenza di una forza di attrito F a proporzionale alla velocità del carrello, con costante di proporzionalità α > 0. La posizione del carrello lungo la guida rettilinea è indicata con s. 4.1 Posto x 1 = s e x 2 = ṡ, si scrivano le equazioni nelle variabili di stato x 1 e x 2 del sistema carrello con ingresso u dato dalla forza F e uscita y data dalla sua posizione s lungo la guida rettilinea. ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = αx 2 + u 4.2 Posto α = 2, si determini l espressione analitica del movimento libero dell uscita del sistema, a partire dalla condizione iniziale x 1 (0) = x 2 (0) = 2. ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 2x 2 + u Calcoliamo prima il movimento libero della componente x 2 risolvendo ẋ 2 = 2x 2, x 2 (0) = 2. Si ottiene: x 2 (t) = 2e 2t, t 0. Sostituiamo questa espressione nell equazione ẋ 1 = x 2

6 ottenendo l equazione che governa l evoluzione di x 1 ẋ 1 (t) = 2e 2t, x 1 (0) = 2 Risolvendo questa equazione differenziale si ottiene: x 1 (t) = da cui t 0 2e 2τ dτ + 2 = 3 e 2t, t 0, y(t) = x 1 (t) = 3 e 2t, t 0.

7 Esercizio 5 Si consideri il sistema descritto dalle seguenti equazioni: ẋ 1 = x 5 1 2x 1 + x 2 + u ẋ 2 = x 5 1 x 2 u 5.1 Dire, motivando la risposta, se il sistema è lineare o non lineare, statico o dinamico, proprio o improprio. Il sistema è: non lineare, perchè il secondo membro delle equazioni di stato non è una combinazione lineare delle variabili di stato e dell ingresso. dinamico, perchè l uscita al generico istante t non può essere determinata sulla base della conoscenza del solo ingresso allo stesso istante t. proprio, perchè nella trasformazione di uscita non compare l ingresso. 5.2 Determinare il movimento di equilibrio associato all ingresso costante u(t) = 2, t, e scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno ad esso. Il valore dell equilibrio si ottiene uguagliando a zero il secondo membro delle equazioni di stato calcolati ponendo x 1 (t) = x 1, x 2 (t) = x 2 e u(t) = 2, t. x x 1 + x = 0 x 5 1 x 2 2 = 0 da cui si ottiene x 1 = 0 x 2 = 2 Le equazioni del sistema linearizzato sono: x 1 = 2 x 1 + x 2 + u x 2 = x 2 u 5.3 Dire se è possibile valutare le proprietà di stabilità del movimento di equilibrio calcolato al punto 5.2 tramite l analisi di stabilità del sistema linearizzato corrispondente.

8 La matrice dinamica del sistema linearizzato è [ ] 2 1 A = 0 1 Gli autovalori di A sono reali negativi. Questa è condizione sufficiente per concludere che il movimento di equilibrio è asintoticamente stabile.

9 Esercizio 6 Si consideri il sistema lineare descritto dalle seguenti equazioni: ẋ 1 = 10x 1 x 2 + u ẋ 2 = x 2 + u (3) 6.1 Determinare l espressione analitica del movimento dell uscita del sistema (3) quando l ingresso applicato è u(t) = 3, t 0, e x 1 (0) = 2, x 2 (0) = 3. La seconda equazione di stato non dipende dalla prima. x 2 = 3 è il valore di equilibrio di x 2 associato a u(t) = 3, t. Il movimento di x 2 associato a u(t) = 3, t 0, e x 2 (0) = 3 è quindi x 2 (t) = 3, t 0. Sostituito nella prima equazione con u(t) = 3, t 0, si ha ẋ 1 = 10x 1. Il movimento di x 1 è quindi il movimento libero associato a x 1 (0) = 2, cioè Dalla trasformazione di uscita segue: x 1 (t) = 2e 10t, t 0. y(t) = 2e 10t, t 0.