Le lettere x, y, z rappresentano i segnali nei vari rami.
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- Aniello Rocco Corsini
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1 Regole per l elaborazione di schemi a blocchi Oltre alle tre fondamentali precedenti regole (cascata, parallelo, retroazione), ne esiste una serie ulteriore che consente di semplificare i sistemi complessi, riducendoli ad un unico blocco equivalente. Dette regole consentono di spostare rami, blocchi, nodi per ricondursi ai tre fondamentali casi precedenti. Nella tabella sono riassunte le principali regole dell algebra degli schemi a blocchi. Elaborazione di uno schema a blocchi complesso Con riferimento alla tabella 3.3.1, per semplificare uno schema a blocchi complesso può essere utile definire la seguente procedura da seguire: si individuano i blocchi in serie e si riducono mediante la regola 1; si individuano i blocchi in parallelo e si elaborano mediante la regola 2; si individuano gli anelli di retroazione utilizzando la regola 4; nel caso di anelli di retroazione contenenti, al loro interno, nodi sommatori o punti di diramazione, questi ultimi si spostano all esterno dell anello stesso utilizzando le regole 7, 10, 12. Le restanti regole possono essere utili in alcuni casi.
2 Tabella Regole fondamentali dell algebra degli schemi a blocchi. La lettera G rappresenta la f.d.t. di un generico blocco. Le lettere x, y, z rappresentano i segnali nei vari rami.
3 Fig Esempio di elaborazione di uno schema complesso. Esempio Elaborazione di uno schema complesso Nella figura è riportato un esempio di applicazione delle regole enunciate. Fig Esempio di elaborazione di uno schema complesso. Esempio Elaborazione di uno schema complesso Nella figura è riportato un secondo esempio di applicazione delle regole enunciate.
4 Sistemi lineari tempo-invarianti con più ingressi Nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti si può applicare il principio della sovrapposizione degli effetti. La procedura da seguire per la soluzione di questi sistemi è la seguente: 1. si pongono uguali a zero tutti gli ingressi ad eccezione di uno; 2. si calcola la risposta dovuta all ingresso considerato; 3. si ricalcola, con la stessa procedura, l uscita determinata da ogni altro ingresso, quando agisce da solo; 4. si sommano algebricamente tutte le uscite ottenute; il risultato così ottenuto rappresenta l uscita effettiva del sistema. Si noti che non è possibile definire una unica funzione di trasferimento equivalente, ma una funzione di trasferimento del sistema ad ogni ingresso. Esempio Soluzione di un sistema lineare tempo-invariante a due ingressi applicando il metodo della sovrapposizione degli effetti (Fig ). L uscita vale: U = GG U + U = 1 2 GG I G2 + + GG I Fig Esempio di sistema lineare con due ingressi; si noti che il blocco con funzione di trasferimento -1 è inserito nello schema inferiore per tenere conto della variazione di segno introdotta dal nodo sommatore. Esercizi da svolgere Esercizio 1 Applicando le regole dell algebra degli schemi a blocchi, determinare il blocco equivalente dei seguenti schemi:
5 Esercizio 2 Applicando l algebra degli schemi a blocchi ed il principio della sovrapposizione degli effetti, determinare l uscita U dei seguenti schemi:
6 Esempio di sistema elettrico descritto da una equazione differenziale del second ordine Fig. 1 - Circuito R-L-C serie. Si consideri un sistema R-L-C serie (Fig. 1); il generatore è un generatore di tensione ideale che fornisce una f.e.m. e(t) variabile nel tempo. Si supponga che all istante t =0 il condensatore sia carico alla tensione U 0 ; nell istante t = 0 la corrente i(0) = 0, essendo il circuito aperto. Il modello matematico del circuito è dato dalla seguente equazione, ottenuta dall applicazione della LKT (legge di Kirchhoff della tensione): dove: u L (t) +u C (t) +u R (t)=e (t) u L (t) è la caduta di tensione ai capi dell induttanza; u C (t) è la caduta di tensione ai capi del condensatore; u R (t) è la caduta di tensione ai capi della resistenza. Si è già visto che la u L (t) può essere convenientemente espressa in funzione della derivata rispetto al tempo della corrente che attraversa l induttanza, mediante la seguente relazione: u L (t) = Ldi () t La u C (t) può essere convenientemente espressa in funzione della carica q(t) presente sul condensatore e della capacità C del condensatore stesso, nel seguente modo: u C (t) = qt () C La caduta di tensione U R (t) ai capi della resistenza R: U R (t)=ri(t) Al fine di avere un unica variabile in gioco conviene esprimere la corrente i(t) in funzione della carica sul condensatore; ricordando (dall elettrotecnica) che la corrente è rappresentata dalla derivata della carica rispetto al tempo, la corrente si può scrivere: i(t)= dq () t = q conseguentemente la derivata della corrente rispetto al tempo può essere espressa come: di() t = q sostituendo e riordinando, l equazione della maglia per il circuito in oggetto diventa dunque: Lq + Rq + qt () C con le condizioni iniziali q(0) = Q 0 e I 0 =0. =e(t ) Il modello matematico ottenuto è una equazione differenziale del second ordine, lineare, a coefficienti costanti; la q(t) rappresenta la funzione incognita.
7 La soluzione delle equazioni differenziali La soluzione delle equazioni differenziali con i metodi tradizionali esula dallo scopo della presente trattazione; in altro approfondimento verrà presentato un metodo particolarmente potente per la soluzione delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: il metodo della trasformata di Laplace. Esercizi proposti a. Si provi a ricavare l equazione differenziale che rappresenta il modello di un circuito serie R-C alimentato con un generatore di tensione. Si consideri come incognita la carica q(t) sul condensatore. b. Si provi a ricavare il modello matematico di un sistema meccanico lineare tempoinvariante (Fig. 2), costituito da una massa m, una molla di costante elastica k ed uno smorzatore con coefficiente d attrito b (si consideri che lo smorzatore produce una forza proporzionale alla velocità data dalla: f s = bdx () t Fig. 2 - Sistema massamolla-smorzatore. c. Ricavare il modello matematico di un circuito serie R-C con R = 50 Ω e C = 20 µf alimentato da un generatore di tensione, considerando come uscita la corrente circolante nel circuito d. Ricavare il modello matematico di un circuito serie R-C con R = 100 Ω e C =3 mf alimentato da un generatore di tensione, considerando come uscita la carica sul condensatore. e. Nell esercizio precedente si immagini che nell istante iniziale il condensatore sia carico ad una tensione U c (0) = 40 V e che la tensione applicata sia data dalla u(t) = 230 sin (314t): scrivere il modello matematico esplicitando l ingresso e la condizione iniziale. f. Ricavare il modello matematico di un circuito R-L-C serie con R = 100 Ω L =2mH e C = 3mF considerando come uscita la carica sul condensatore.
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