Equazioni di stato per circuiti del I ordine

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1 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne Lezone n.5 Equazon d sao per crcu del ordne. Equazone d sao per crcu del ordne. Dmensone fsca de coeffcen dell equazone d sao. Esercz. sere e parallelo. L sere e parallelo. onfgurazon crche. con due ressenze.5 L con due ressenze.6 con re ressenze Tag: equazon d sao, crcu del ordne, ed L sere e parallelo, dmenson fsche delle equazon d sao orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / /6

2 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne. Equazone d sao per crcu del ordne Abbamo so nella Lezone n. l ssema d equazon d sao (ed la ()): Hx g Dx & + >. () n quesa lezone c occuperemo d specfcare l ssema () per un crcuo del ordne. n queso caso basa semplcemene sosure al eore x() una sola ncogna x(), alla marce H un coeffcene h, alla marce D l coeffcene d e al eore g() la funzone noa g(). Aremo: hx g dx & + >. () La () rappresena l equazone d sao d un crcuo del ordne. Essendo l ordne uno, n queso caso l equazone d sao concde con l equazone dfferenzale da rsolere come edremo nella Lezone n. 7.. Dmensone fsca de coeffcen dell equazone d sao Quando roamo le equazon d sao per l crcuo che nendamo rsolere è buona abudne fare un conrollo sulle dmenson fsche d ogn sngolo ermne della equazone. n queso modo possamo conrollare se abbamo commesso qualche errore! onsderamo la (). cas possono essere due: ) l ncogna è una ensone e ermn dell equazone sono omogene ad una correne. Perano: d è una capacà h è una conduanza equalene g() è la funzone (noa) con dmenson d correne ) l ncogna è una correne e ermn dell equazone sono omogene ad una ensone. Perano: d è una nduanza h è una ressenza equalene g() è la funzone (noa) con dmenson d enson Verfca negl esercz che seguono le dmenson delle equazon roae ne ar cas. Un'alra cosa molo mporane è sempre erfcare la correezza de segn de coeffcen d ed h. Ques DEVONO essere sempre pos n quano rappresenano rspeamene una capaca o nduanza e una ressenza equalene che sono alor sempre pos. orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / /6

3 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne. Esercz n queso paragrafo comncamo ad esamnare ssemacamene crcu d semplce sruura. Durane l corso la sezone sugl esercz sarà organzzaa n modo da prendere n esame ue le possbl confgurazon d connessone da bpol cosuen l crcuo. n quesa lezone comncamo con l roare le equazon d sao e qund l equazone dfferenzale del ordne che rsolono l crcuo.. sere e parallelo omncamo con crcu sere ed parallelo. e() Fg. (a) rcuo sere. j() Fg. (b) rcuo parallelo. Soolneamo che n ques appun useremo rappresenare nelle fgure le grandezze ncogne d un crcuo senza esplcare la dpendenza dal empo. cordamo che quando le grandezze sono ulzzae con leere mnuscole sono sempre dpenden dal empo. Al conraro quando sono cosan l smbolo è mauscolo. orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / /6

4 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne crcu n Fg.(a) e Fg.(b), come edremo nel seguo, sono de crcu d carca d un condensaore quando s scegle un opporuno po d funzone del generaore (ed paragrafo della Lezone n.). l Ssema Globale per l crcuo n Fg.(a), aene una unca magla ed escludendo l nodo, rsula essere: e d ( ) () Osseramo che ue le grandezze che compaono nel ssema () e n quell che seguranno dpendono dal empo, uaa per alleggerre la noazone nel seguo non ndcheremo esplcamene la dpendenza dal empo se non per generaor. La arable d sao del crcuo è la ensone sul condensaore. Perano dal ssema () dobbamo elmnare ue le ncogne ranne la ensone. omncamo con l sosure le relazon caraersche nelle equazon algebrche che derano dalle legg d Krchhoff. Oenamo: d () e. Queso s oene elmnando la prma e la dalla seconda equazone del ssema nella erza. Oenamo un unca equazone che scramo soo forma d equazone d sao A queso puno elmnamo e seconda equazone del ssema () e sosuendo la correne d e >, (5) + con sane nzale. L equazone (5) dee aere u ermn d dmensone equalene ad una correne. Abbamo così oenuo quello che cercaamo. E charo che la (5) sarà defna nell nerallo emporale n cu oglamo sudare l crcuo. L equazone (5) è una orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / /6

5 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne equazone dfferenzale del ordne lneare empo narane nella ncogna la arable d sao. Vedremo nelle prossme lezon come rsolere l equazone (5), edremo che sarà necessaro ulzzare delle condzon nzal per formulare un problema ben poso che ammea un unca soluzone. Una ola deermnaa la arable d sao nell nerallo emporale che c neressa, possamo passare a calcolare n ogn sane d quell nerallo ue le alre grandezze del crcuo. Ad esempo la correne la oenamo dalla seconda equazone del ssema (). Una ola noa la possamo po calcolare la dalla prma equazone del ssema (). E così a per le alre grandezze. l ssema globale per l crcuo n Fg.(b), essendoc due magle ed escludendo l nodo, rsula essere: j d (6) Operando n modo analogo al ssema () oenamo l equazone d sao d j >, (7) + con sane nzale. onfronando la (5) e la (7) osseramo che le due equazon s equalgono se ponamo j e. Quesa equalenza la ossereremo pù approfonamene n seguo quando suderemo eorem del generaore equalene.. L sere e parallelo Sosuamo al poso del condensaore un nduore. onsderamo crcu che abbamo rappresenao n Fg..: no crcu L sere ed L parallelo. ome edremo nel seguo, allo sesso modo de crcu, gl L sono de crcu d carca d un nduore, quando s scegle un opporuno po d funzone del generaore (ed paragrafo della Lezone n.). orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / 5/6

6 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne j() L Fg. (a) rcuo L parallelo. ) e() L Fg. (b) rcuo L sere. l Ssema Globale per l crcuo n Fg (a), essendoc due magle ed aendo escluso l nodo, rsula essere: j d L (8) La sua equazone d sao rsulerà essere: orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / 6/6

7 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne d L + j >. (9) L equazone (9) ha ermn d grandezza fsca omogenea ad una ensone. l Ssema Globale per l crcuo n Fg. (b), essendoc una sola magla ed aendo escluso l nodo, rsula essere: e d L () La sua equazone d sao: d L + e >. () Osseramo che anche n queso caso abbamo una equalenza ra l equazone (9) e l equazone () se ponamo j e!. onfgurazon crche Perché non abbamo consderao crcu del po rappresena rspeamene n Fg. (c) e (c)? osa c è che non a n ques ssem? Se deermnamo le equazon d sao de due crcu, operando analogamene a quano fao per crcu (a) e (b) oenamo per quello d Fg. (c) d j >, () e per quello d Fg. (c) d L e >. () Osseramo che le equazon () e () sono d po parcolare: mancano del ermne n cu compare la ressenza. Le equazon oenue s porebbero oenere orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / 7/6

8 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne anche da crcu rspeamene d Fg. (d) e Fg. (d). Quese equazon possono essere comunque rsole e daranno delle soluzon ndpenden dalla presenza delle ressenze. l moo è che nel prmo caso abbamo un generaore d correne n sere all elemeno dnamco condensaore, nel secondo caso abbamo l generaore d ensone n parallelo all elemeno dnamco nduore. j() Fg. (c) rcuo con ressenza sere e generaore d correne. j() Fg. (d) rcuo capaco deale pro d ressenza. Soolneamo che l assenza d una ressenza nel crcuo consderao (Fg. (d) e Fg. (d)) rende l crcuo consderao eccessamene dealzzao. nfa n queso caso non aremmo enuo cono, nel nosro modello d crcuo, della presenza, nel crcuo reale, d effe ress, ne generaor e nel condensaore o nduore. Nel nosro modello maemaco de crcu possamo rascurare la presenza degl effe ress de bpol (ma compleamene rascurabl) solo rspeo a ressenze opporunamene nsere nel nosro crcuo. Per snezzare possamo dre che è leco rascurare la ressenza se al generaore d ensone e qund consderarlo deale se nel nosro modello crcuo ulzzamo un ressenza n sere al generaore, ceersa rascuramo la ressenza del generaore d correne se consderamo n parallelo al generaore una opporuna ressenza. orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / 8/6

9 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne e() L Fg. (c) rcuo L con ressenza parallela e generaore d ensone. e() L Fg. (d) rcuo nduo deale pro d ressenza. n conclusone la presenza d un ressore ne crcu s sno ad ora è fondamenale. Queso fao lo edremo meglo nella Lezone n. quando useremo ques crcu come crcu d carca d condensaor e nduor. A cas d Fg. (d) e Fg. (d) dobbamo aggungere alr che, n assenza d almeno una ressenza, possamo ncorrere perfno n ssem d equazon che danno luogo ad un problema mal poso e qund ad una crcà del modello che ulzzano generaor deal. Osseramo, ad esempo, l crcuo sere d Fg. (e): aremmo che la ensone sul condensaore, che, come edremo nella prossma Lezone, è la arable d sao, uguaglerebbe n ogn sane la ensone sul generaore deale d ensone. Queso fao darebbe luogo ad un problema per l quale non s può screre l equazone d sao nella forma che abbamo conoscuo. n queso caso, graze all assenza d ressenze, le eenual dsconnuà della funzone e del generaore deale d ensone darebbero luogo a dsconnuà della ensone del condensaore. Ma quesa, essendo arable d sao, non possamo ammeere che sa dsconnua (ed Lezone n.7). Lo sesso dscorso ale per l crcuo d Fg. (e). Quano deo lo possamo generalzzare: un crcuo n cu sono generaor d ensone deal n parallelo a condensaor o generaor d correne n sere ad nduor orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / 9/6

10 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne danno luogo ad un problema mal poso. n ques crcu roppo dealzza abbamo esagerao nel rascurare l essenza d effe ress nern a generaor. e() Fg. (e) rcuo degenere. j() L Fg. (e) rcuo degenere.. con due ressenze Fno ad ora abbamo so crcu del ordne semplcssm. Proamo a complcare un pò le cose nserendo una ressenza nel crcuo sere d Fg.(a) oenendo l crcuo d Fg.. onsderamo l crcuo d Fg.. E facle erfcare che, essendoc solo due magle ed escludendo l nodo, n queso caso l ssema globale rsula: orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / /6

11 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne e d () e( Fg. Esempo d crcuo del ordne. Nel ssema () sosuamo le relazon caraersche nelle legg d Krchhoff: d (5) e A no neressa roare una sola equazone nella ncogna la arable d sao Allora elmnamo dal ssema (5) le ncogne, e :.. omncamo da orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / /6

12 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne d e Procedamo con : (6) e d (7) Elmnamo nfne e meamo l equazone soo forma d equazone d sao d e >, (8) + eq doe ( ) eq + è la ressenza equalene che dobbamo consderare al poso della semplce ressenza del caso d Fg.(a). Queso fao c sarà charo n seguo quando suderemo la ressenza equalene sere e la ressenza equalene parallelo (paragrafo della Lezone n. )..5 L con due ressenze Affronamo lo sudo del crcuo duale a quello d Fg. con un nduore. onsderamo l crcuo d Fg.. oenuo nserendo una ressenza nel crcuo d Fg.(a). j() Fg. Esempo d crcuo del ordne. orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / /6

13 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / /6 Anche n queso caso, essendoc solo due magle ed escludendo l nodo, l ssema globale rsula: ( ) d L j (9) Nel ssema (9) sosuamo le relazon caraersche nelle legg d Krchhoff: ( ) d L j () A no neressa roare una sola equazone nella ncogna la arable d sao ( ). Allora elmnamo dal ssema () le ncogne ( ), ( ) e ( ). omncamo da ( ) : ( ) ( ) d L j j () Procedamo con ( ) : ( ) + + j d L ()

14 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne Elmnamo nfne e meamo l equazone soo forma d equazone d sao d L + eq j >, () doe eq + è la ressenza equalene che dobbamo consderare al poso della semplce ressenza del caso d Fg.(a). Queso fao c sarà charo n seguo quando suderemo la ressenza equalene sere e la ressenza equalene parallelo (paragrafo della Lezone n. ). S osser la dualà ra la (8) e la ()..6 con re ressenze onsderamo l crcuo d Fg.5. l crcuo è sao oenuo nserendo n sere al condensaore del crcuo d Fg. un alra ressenza. E facle erfcare che, essendoc ancora solo due magle ed escludendo l nodo V, n queso caso l ssema globale rsula: 5 + e d 5 5 () orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / /6

15 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne Nel ssema () sosuamo le relazon caraersche nelle legg d Krchhoff: 5 d e + 5 (5) 5 e() 5 Fg.5 Esempo d crcuo del ordne con re ressenze. V A no neressa roare una sola equazone nella ncogna la arable d sao Allora elmnamo dal ssema (5) le ncogne,, e 5 da :.. omncamo 5 d e + 5 Procedamo con : (6) orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / 5/6

16 Lezone 5 Equazon d sao per crcu del ordne d e Elmnamo ora : (7) e d ( + ) + d 5 5 (8) e nfne, elmnando 5 () meamo l equazone soo forma d equazone d sao: d + + e >. (9) S osser come ogn ermne dell equazone (9) sa omogeneo ad una correne. orso d Eleroecnca Prof.ssa Lorenza or A.A. / 6/6