Momenti. Momento di una forza, momento di inerzia, momento angolare

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1 Momenti Momento di una foza, momento di inezia, momento angolae

2 Momento di una foza Supponiamo di avee una pota vista dall alto e supponiamo che sia incadinata su un lato, diciamo in A. A Se applicassimo la stessa foza F in pun: divesi, come nei pun:,, 3, 4, 5 e 6 osseveemmo che il moto della pota saebbe diveso a secondo della diezione della foza e del suo punto di applicazione. In qualche caso non si muoveebbe affaeo, in alti si muoveebbe in senso oaio e in qualche caso in senso an:oaio In conclusione l effeeo di una foza che agisca (su un oggeeo basculante o comunque incenieato) in un punto lontano dall asse di otazione dipende fotemente dal suo punto di applicazione e dalla diezione della foza 6

3 I momen: nelle leve Se la diezione delle foze (potenza P applicata o esistenza ) e il veeoe distanza dall asse di otazione sono pependicolai, come nel caso delle leve, il calcolo dei momen: è pa:colamente semplice; infak in ques: casi θ 90 e senθ. Il momento della foza τ è semplicemente il podoeo del baccio pe il modulo della foza τ F o τ F P P b F b F Pe l equilibio di una leva τ 0 e quindi deve valee la elazione: P b b ovveo b /b /P Se ne conclude che pe b > b alloa > P oppue se b > b alloa P > P b b F

4 Le Leve nel copo umano Le leve si dividono in te categoie. Leve di pimo genee, indiffeen: (a:colazione della testa). Leve di secondo genee, sempe vantaggiose (sollevamento del calcagno) 3. Leve di tezo genee, sempe svantaggiose (sollevamento dell avambaccio)

5 Momento di Inezia

6 Enegia cinetica otazionale E k ½ m v è l enegia cine:ca ifeita al moto di un punto che si muove con velocità il cui modulo sia v. Nel caso di un copo in otazione dovemo fae la somma delle E k di tuk i pun: del copo in otazione: E k Σ i ½ m i v i Volendo u:lizzae la velocità angolae ω, anch essa costante, avemo pe ciascun punto saebbe v i ω i. Quindi: E k Σ i ½ m i ω i ovveo E k ½ω Σ i m i i La gandezza I Σ i m i i si chiama momento di inezia ed agisce come l equivalente otazionale della massa nei mo: lineai. Il momento di inezia si oppone alla vaiazione della velocità angolae come la massa si oppone alla vaiazione della velocità lineae

7 Momento di Inezia Come la massa si oppone alla vaiazione della velocità, così il Momento di Inezia si oppone alla vaiazione della velocità angolae, ma l efficacia della sua opposizione dipende anche da come la massa è distibuita aeono all asse di otazione Se l oggeeo di cui vogliamo conoscee il momento di inezia I è un sistema disceto di n pun: basteà applicae pe ogni punto la definizione di I m e poi sommae i vai contibu: pe oeenee in momento di inezia totale. n i I m i Se invece l oggeeo è una gandezza con:nua alloa saà più semplice calcolae: I max min dm

8 Casi pa:colai: cilindo cavo ) ( ) ( ) ( 4 ) ( M L L d L dl dm dl dm L d dv dv dm + + I I I ρπ ρ π ρ π ρ π ρ π π ρ L V M ) ( ρπ ρ

9 Momento di inezia di una sfea Si voglia calcolae il Momento di Inezia di una sfea di massa M e aggio Sia M ρ la sua densità 4 3π 3 dz Se poniamo l oigine degli assi al cento della sfea, avemo z che il dischetto di spessoe dz a distanza z dal cento avà una massa pai a dm ρ π dz dove - z ed è il aggio del dischetto. di dm I ρπ dz I ρπ 0 I ρπ dz 4 ( z ) 4 4 ( z + z ) z 3 ρπ z 3 4 dz ρπ 5 z + 5 ρπ 0 I M 5 ( z ) ρπ dz dz 0 8 ρπ 5 5 z dz z dz M ρ 4 3π 3

10 Momen: di Inezia Si ipotano alcuni copi igidi modello di cui sono no: i momen: di inezia

11 Teoema degli assi paalleli I Momen: di Inezia dei copi modello sono molto u:li, ma sono tuk calcola: pe un asse di otazione passante pe il cento di massa. Se invece volessimo calcolae il momento di inezia di un copo ispeeo ad un asse paallelo all asse di otazione passante pe il baicento alloa dovemmo fae il seguente calcolo: I I ( x I dm + cm + y Mh ) dm + [( x a) ( a + ( y + b b) ] dm ) dm a xdm b ydm ques: integali valgono zeo

12 Momento Angolae

13 Momento della quan:tà di moto Supponiamo di avee un punto di massa m che si muove con velocità v, quindi la sua quan:tà di moto è p mv. Il momento di questa quan:tà di moto ispeeo ad un asse di otazione passante pe un punto q saà L x p i x m v j mv k e in coodinate otazionali saà : L m (v/) m ω Se invece di un solo punto ne dovessimo consideae un numeo infinitamente gande alloa: q dl vdm ω L dl ω dm dm ω dm L I ω p mv

14 Momento angolae Come l enegia meccanica e la quan:tà di moto, il momento della quan:tà di moto (o momento angolae) è una gandezza fisica che si conseva. Il momento angolae è una gandezza veeoiale definita dal podoeo veeoiale fa la distanza da un punto fisso e dal veeoe quan:tà di moto p. L x p m ( x v) Come calcolae il modulo, la diezione ed il veso è già stato deeo nel calcolo del momento di una foza τ

15 Consevazione del momento!!! l m( v)!! dl (! dv m& + dt ' dt! dl!!! m dt! dl!! F! tot τ dt! ( a + v v)! d!% v # dt $ angolae Conosciamo la a legge della dinamica nella foma F ext dp/dt e quindi possiamo dedue che τ ext dl/dt!! ma La descizione fin qui faea ha iguadato il moto di un punto mateiale aeono ad un punto fisso, ma anche pe un copo esteso si aiva alle stesse conclusioni. τ tot dl/dt L l +l + l n Se una deivata vale zeo vuol die che la sua funzione pimi:va è costante. Se il momento delle foze applicato ad un copo è nullo τ 0, alloa il momento angolae L di quel copo si conseva

16 PodoEo veeoiale Pe compendee come agisce una azione applicata ad un punto qualsiasi (diveso dal cento di massa) di un copo igido è necessaio intodue una nuova opeazione che si può fae con i veeoi. L algoitmo che descivee l effeeo di un azione applicata in un punto abitaio di un copo igido è il podoeo veeoiale che si indica con τ x F (- τ F x ). il modulo di tale podoeo vale, τ F senθ ; dove θ è l angolo individuato dai veeoi ed F, quando sono tasla: nello stesso punto d oigine. la diezione di τ è pependicolae al piano individuato dai veeoi ed F 3. il veso segue la egola della mano desta τ F