Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche
|
|
- Franco Innocenti
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 17
2 index Operazioni 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 2 / 17
3 Operazioni Una operazione (binaria) su un insieme X è un applicazione Proprietà delle operazioni : X X X, (a, b) = a b. si dice associativa se, a, b, c X, si ha a (b c) = (a b) c; si dice commutativa se, a, b X, si ha a b = b a; un elemento u X si dice elemento neutro per se a X, si ha a u = u a = a. L elemento neutro, se esiste, è unico. Se : X X X ammette elemento neutro u, un elemento b X si dice inverso di a X se a b = b a = u. Se è associativa, l inverso si a, se esiste, è unico. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 3 / 17
4 Operazioni ESEMPI Le usuali operazioni + e su Z sono associative e commutative. 0 è l elemento neutro di +; ogni n Z ammette inverso (opposto) rispetto a + ed è n. 1 è l elemento neutro di ; gli unici n Z che ammettono inverso rispetto a sono 1 e 1. L operazione media : Q Q (a, b) a+b 2 è commutativa, non è associativa e non ammette elemento neutro. Sia S un insieme e sia X l insieme delle applicazioni da S a S. Il prodotto (composizione) di applicazioni è associativo, non commutativo e ammette elemento neutro (l applicazione identica). Le applicazioni che ammettono inversa sono quelle biunivoche. Sia N = {1, 2, 3,... }. L operazione su N massimo comun divisore : (n, m) MCD(m, n) è associativa, è commutativa, non ammette elemento neutro (dovrebbe essere multiplo di tutti i numeri primi p, infatti {MCD(p, u) = p} {p divide u}). L operazione su N minimo comune multiplo : (n, m) mcm(m, n) è associativa, è commutativa, ammette elemento neutro 1, non gli inversi. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 4 / 17
5 index Gruppi 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 5 / 17
6 Gruppi Sia G un insieme e un operazione su G. (G, ) si dice gruppo se è associativa; esiste elemento neutro e; ogni a G ammette inverso a 1 G.. Se è commutativa il gruppo si dice abeliano. ESEMPI Z, Q, R, C con l usuale operazione di somma sono gruppi abeliani; Q \ {0}, R \ {0}, C \ {0} con l usuale prodotto sono gruppi abeliani; l insieme delle applicazioni biunivoche (trasformazioni) di un insieme in sè con il prodotto (composizione) di applicazioni è un gruppo (in generale) non abeliano; in particolare le permutazioni ovvero trasformazioni di {1, 2,..., n} in sè costituiscono un gruppo (in generale) non abeliano; le matrici reali quadrate di ordine n con determinante diverso da 0 costituiscono un gruppo (non abeliano se n > 1) rispetto al prodotto riga per colonna. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 6 / 17
7 Gruppi PROPRIETÀ si possono scrivere espressioni del tipo (a (b c)); d senza usare le parentesi (associatività); l equazione a x = b ha una e una sola soluzione a, b (analogamente per x a = b); si possono definire le potenze di un elemento a esponente in Z a 0 = e, ricorsivamente a n = a n 1 a, a n = (a n ) 1, per n > 0; valgono le leggi di cancellazione {a b = a c} {b = c} e {b a = c a} {b = c}; valgono le usuali proprietà delle potenze (a m a n = a m+n ; (a m ) n = a mn e, se il gruppo è abeliano, (a b) n = a n b n. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 7 / 17
8 index Anelli 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 8 / 17
9 Anelli Sia A un insieme e +, due operazioni su A. (A, +, ) si dice anello se (A, +) è un gruppo abeliano (con unità denotata con 0) è associativa; ammette elemento neutro 1, valgono le proprietà distributive di rispetto a + ovvero a, b, c A si ha a (b + c) = a b + a c; (a + b) c = a c + b c. Se è commutativo l anello si dice commutativo. ESEMPI Z, Q, R, C con le usuali operazioni di somma e prodotto sono anelli commutativi; l insieme Z n delle classi di resti modulo n con le operazioni indotte dagli usuali somma e prodotto di interi è un anello commutativo; l insieme Q[x] (o R[x], o C[x]) dei polinomi a coefficienti in Q (o R o C) con l usuale somma e prodotto di polinomi è un anello commutativo; l insieme delle matrici reali quadrate di ordine n con la somma di matrici e il prodotto riga per colonna è un anello (non commutativo, se n > 1). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 9 / 17
10 index Campi 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 10 / 17
11 Campi Un anello commutativo (K, +, ) (con almeno due elementi) si dice campo se (K = K \ {0}, ) è un gruppo, ovvero tutti gli elementi di K diversi da 0 hanno inverso. ESEMPI Q, R, C con le usuali operazioni di somma e prodotto sono campi l insieme Z n delle classi di resti modulo n con le operazioni indotte dagli usuali somma e prodotto di interi è un campo se e solo se n è primo; l anello (Z, +, ) non è un campo: gli unici elementi invertibili sono +1 e 1; l anello (K[x], +, ) non è un campo: gli unici elementi invertibili sono le costanti non nulle; l anello delle matrici quadrate di ordine n > 1 non è un campo: le matrici a determinante 0 non hanno inversa. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 11 / 17
12 index Tabelle di composizione 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 12 / 17
13 Tabelle di composizione Nel caso di insiemi finiti le operazioni possono essere descritte da tabelle di composizione. ESEMPI Z Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 13 / 17
14 Tabelle di composizione Z 5 Proprietà che si leggono facilmente da una tabella esistenza di elementi neutri; operazione interna in un sottoinsieme (ad es è interna in Z 5 \ {0}, ma non in Z 4 \ {0}); commutatività (corrisponde a simmetria della tabella); elementi che ammettono inverso; esistenza di un elemento con le cui potenze si generano tutti gli elementi del gruppo (gruppo ciclico). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 14 / 17
15 index Isomorfismo di strutture algebriche 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 15 / 17
16 Isomorfismo di strutture algebriche Due strutture algebriche (X, ) e (Y, ) si dicono isomorfe se esiste un applicazione biunivoca f : X Y che conserva i risultati delle operazioni,ovvero tale che a, b X si abbia f si dice isomorfismo f (a b) = f (a) f (b) Ad esempio sia D = {2 n n Z} e si consideri in D l usuale prodotto. (D, ) è un gruppo in cui l elemento neutro è 2 0 = 1 e l inverso di 2 n è 2 n. f : Z D definita da n 2 n è un isomorfismo tra (Z, +) e (D, ). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 16 / 17
17 Isomorfismo di strutture algebriche Il gruppo (R, ) delle rotazioni r n di centro O nel piano di multipli n 2π 3 di 2π 3 (n = 0, 1, 2) con la composizione di applicazioni è isomorfo al gruppo (Z 3, +). (R, ) e (Z 3, +) r 0 r 1 r r 0 r 0 r 1 r r 1 r 1 r 2 r r 2 r 2 r 0 r Nel caso di strutture finite l isomorfismo può essere letto nelle tabelle. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 17 / 17
STRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione
DettagliAnello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.
Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e
DettagliProdotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S
Relazioni binarie Una relazione binaria può essere rappresentata con un grafo o con una matrice di incidenza. Date due relazioni R, S A 1 A 2, la matrice di incidenza a seguito di varie operazioni si può
DettagliCapitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI
Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni
DettagliR X X. RELAZIONE TOTALE Definizione: Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto
PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemi non vuoti X e Y si definisce prodotto cartesiano: X Y ={ x, y x X, y Y } attenzione che (x,y) è diverso da (y,x) perchè (x,y)={x,{y}} e (y,x)={y,{x}} invece sono uguali
Dettagli(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
DettagliLaboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica
Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Ercole Suppa Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo e-mail: ercolesuppa@gmail.com Teramo, 3 dicembre 2014 USR Abruzzo - PLS 2014-2015,
Dettagli4. Operazioni binarie, gruppi e campi.
1 4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 4.1 Definizione. Diremo - operazione binaria ovunque definita in A B a valori in C ogni funzione f : A B C - operazione binaria ovunque definita in A a valori in
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE 1. Operazioni algebriche binarie Dato un insieme M, chiamiamo operazione algebrica binaria definita su M una qualunque applicazione f che associa ad ogni coppia ordinata (a, b) di
DettagliInsiemi con un operazione
Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è
DettagliAlgebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)
Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può
Dettaglidefinizione e notazione (direzione,verso modulo), v V, lo spazio ( insieme)
1 Spazi vettoriali 1.1 Richiami ai vettori freccia definizione e notazione (direzione,verso modulo), v V, lo spazio ( insieme) dei vettori esiste la operazione binaria sul sostegno V che chiameremo somma(regola
Dettagli4. Strutture algebriche. Relazioni
Relazioni Sia R una relazione definita su un insieme A (cioè R A A). R si dice riflessiva se a A : ara R si dice simmetrica se a, b A : arb = bra R si dice antisimmetrica se a, b A : arb bra = a = b R
DettagliNel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità.
1 ANELLI Definizione 1.1. Sia A un insieme su cui sono definite due operazioni +,. (A, +, ) si dice Anello se (A, +) è un gruppo abeliano è associativa valgono le leggi distributive, cioè se a, b, c A
DettagliLezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme:
Lezione 1 Gli Insiemi La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: degli iscritti ad un corso di laurea delle stelle in cielo dei punti di un piano
DettagliG. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole
G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE 1. Algebre di Boole Nel file precedente abbiamo incontrato la definizione di algebra di Boole come reticolo: un algebra di Boole e un reticolo limitato, complementato e distributivo.
DettagliMATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010
elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre
DettagliRICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come
RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può
Dettaglif(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))
Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,
DettagliLe trasformazioni geometriche
Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie
DettagliL anello dei polinomi
L anello dei polinomi Sia R un anello commutativo con identità. È possibile costruire un anello commutativo unitario, che si denota con R[x], che contiene R (come sottoanello) e un elemento x non appartenente
Dettaglirazionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti
4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}
Dettagli1. Operazioni binarie e loro proprietà.
INTRODUZIONE ALLE STRUTTURE ALGEBRICHE Lo studio delle strutture algebriche astratte innanzitutto consente economia di pensiero, mediante l'unificazione in teorie generali degli esempi particolari già
DettagliDOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA
DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA CORSO DI ALGEBRA, A.A. 2012-2013 Nel seguito D indicherà sempre un dominio d integrità cioè un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero. Indicheremo con
Dettagli2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento
DettagliAlcune nozioni di base di Logica Matematica
Alcune nozioni di base di Logica Matematica Ad uso del corsi di Programmazione I e II Nicola Galesi Dipartimento di Informatica Sapienza Universitá Roma November 1, 2007 Questa é una breve raccolta di
DettagliCorso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio
DettagliLE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)
ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,
DettagliSchemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana
Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana Al-giabr wa al-mukabalah di Al Khuwarizmi scritto approssimativamente nel 820 D.C. Manuale arabo da cui deriviamo due nomi: Algebra Algoritmo
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliParte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
DettagliMATRICI E DETERMINANTI
MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliAlgebra di Boole ed Elementi di Logica
Algebra di Boole ed Elementi di Logica 53 Cenni all algebra di Boole L algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà 8), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni
DettagliLezioni del corso di Geometria e Algebra. prof. Michele Mulazzani dott. Alessia Cattabriga
Lezioni del corso di Geometria e Algebra prof Michele Mulazzani dott Alessia Cattabriga AA 20001/2002 Indice 1 Equazioni e sistemi lineari 4 11 Alcune strutture algebriche 4 12 Operazioni standard su K
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim
DettagliCoordinate Cartesiane nel Piano
Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso
DettagliESERCIZI DI PREPARAZIONE E
ESERCIZI DI PREPARAZIONE E CONSOLIDAMENTO PER I FUTURI STUDENTI DEL PRIMO LEVI si campa anche senza sapere che cos è un equazione, senza sapere suonare uno strumento musicale, senza conoscere il nome del
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
DettagliSCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI
SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI I numeri relativi sono l insieme dei numeri negativi (preceduti dal segno -) numeri positivi (il segno + è spesso omesso) lo zero. Valore assoluto di un numero relativo
DettagliALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI
ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI 1. CLASSI DI RESTO E DIVISIBILITÀ In questa parte sarò asciuttissimo, e scriverò solo le cose essenziali. I commenti avete potuto ascoltarli a lezione.
DettagliI Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti
Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#
DettagliDIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI
DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. lunedí 17 settembre 2011 (1 ora) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero 052631578947368421,
DettagliAlgebra Lineare e Geometria
Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da
Dettagli1 Insiemi e terminologia
1 Insiemi e terminologia Assumeremo come intuitiva la nozione di insieme e ne utilizzeremo il linguaggio come strumento per studiare collezioni di oggetti. Gli Insiemi sono generalmente indicati con le
DettagliGEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)
Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliQUARTA PROVETTA DI ALGEBRA TRENTO, 18 DICEMBRE 2015
QUARTA PROVETTA DI ALGEBRA TRENTO, 18 DICEMBRE 2015 Nota: Questi fogli contengono gli esercizi delle quattro diverse versioni della provetta che sono state assegnate. L esercizio x.y è l esercizio x della
DettagliElementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica Discreta 1 / 29 index
DettagliElementi di topologia della retta
Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme
DettagliEsame di Matematica Discreta Laurea Triennale in Informatica e Comunicazione Digitale Sede di Taranto 28/9/2005
Sede di Taranto 28/9/2005 1. Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {a, b, c}, determinare tutte le applicazioni surgettive f : A B tali che f(2) = f(3) = a f(x) a per x {2, 3}. 2. Risolvere il sistema
DettagliFUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)
1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:
Dettagli.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1
Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è
DettagliPROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.
Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si
DettagliStrutture algebriche. Leggi di composizione. Leggi di composizione. Gruppi Insiemi di numeri Polinomi
Introduzione S S S S Le strutture algebriche sono date da insiemi con leggi di composizione binarie (operazioni) ed assiomi (proprietà) Una legge di composizione binaria è una funzione : I J K, una legge
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
DettagliDiagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari
CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x
DettagliPre Test 2008... Matematica
Pre Test 2008... Matematica INSIEMI NUMERICI Gli insiemi numerici (di numeri) sono: numeri naturali N: insieme dei numeri interi e positivi {1; 2; 3; 4;...} numeri interi relativi Z: insieme dei numeri
DettagliCapitolo 5. Funzioni. Grafici.
Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato
Dettaglix 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.
Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini
DettagliTeoria degli insiemi
Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di
DettagliALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA
ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di
Dettagli31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando
FUNZIONI MATEMATICHE Introduzione Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando tra le due esiste un legame di tipo matematico. La teoria
DettagliLuigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it
Automazione industriale dispense del corso 10. Reti di Petri: analisi strutturale Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it Analisi strutturale Un alternativa all analisi esaustiva basata sul grafo di raggiungibilità,
DettagliFunzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento
TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una
DettagliEsercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
DettagliAnelli a fattorizzazione unica. Domini ad ideali principali. Anelli Euclidei
Capitolo 5: Anelli speciali: Introduzione: Gli anelli speciali sono anelli dotati di ulteriori proprietà molto forti che ne rendono agevole lo studio. Anelli euclidei Domini ad ideali principali Anelli
DettagliAlgebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE
Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE Andrea Bobbio Anno Accademico 2000-2001 Algebra Booleana 2 Calcolatore come rete logica Il calcolatore può essere visto come una rete logica
DettagliFunzioni. Funzioni /2
Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme
DettagliCenni di teoria dei campi finiti
Cenni di teoria dei campi finiti Luca Giuzzi 31 ottobre 2011 In queste note vengono richiamati alcuni risultati di algebra relativi la teoria dei campi finiti. 1 Anelli Definizione 1. Un anello (R, +,
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
DettagliFunzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
DettagliCorso di Laurea in Matematica. Dispense del corso di ALGEBRA II
Corso di Laurea in Matematica Dispense del corso di ALGEBRA II a.a. 2012 2013 2 Indice I GRUPPI 5 1 Operazioni 7 1.1 Operazioni associative............................ 7 1.2 Matrici.....................................
DettagliNumeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali
1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
DettagliMATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica
DettagliUNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ALGEBRA II UNITÀ. M. Chiara Tamburini
UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ALGEBRA II UNITÀ M Chiara Tamburini Anno Accademico 2009/2010 Indice I Omomorfismi fra anelli 1 1 Ideali 1 2 Anelli
DettagliI tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione
Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora
Dettaglif: AxB f(x)=y, f={<x,y> per ogni x in A esiste unica y in B f(x)=y} f={<1,2>, <2,3>, <3,3>} : {1,2,3} {1,2,3} f(1)=2, f(2)=3, f(3)=3
Insieme delle parti di A : Funzione : insieme i cui elementi sono TUTTI i sottoinsiemi di A f: AxB f(x)=y, f={ per ogni x in A esiste unica y in B f(x)=y} f={, , } : {1,2,3} {1,2,3}
DettagliIn base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue:
Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I (itato o ilitato) e sia un punto interno all intervallo I. Si dice che f è continua nel punto se: ( )= ( ) Una funzione f è continua in
DettagliDispense di Algebra 1 - Gruppi
Dispense di Algebra 1 - Gruppi Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine via delle Scienze 200, I-33100 Udine gennaio 2005 L algébre est généreuse,
DettagliSOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.
SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno
DettagliDIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2013/14 DOCENTE: ANDREA CARANTI
DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2013/14 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. lunedí 16 settembre 2013 (2 ore) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero 142857,
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliControlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.
Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:
DettagliLezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio
Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 0 Preliminari.. Insiemistica e logica Il presente Capitolo introduttivo ha lo scopo di ripassare alcuni argomenti
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliRELAZIONI E FUNZIONI. Per ricordare. Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4
RELAZIONI E FUNZIONI 3 Per ricordare H Dati due insiemi A e B e una proposizione aperta px,y, con x 2 A e y 2 B, si dice che x eá in relazione con y, e si scrive x R y, sepx,y eá vera; si parla allora
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO
DettagliRELAZIONI BINARIE. Proprietà delle relazioni Data una relazione R, definita in un insieme non vuoto U, si hanno le seguenti proprietà :
RELAZIONI INARIE Dati due insiemi non vuoti, A detto dominio e detto codominio, eventualmente coincidenti, si chiama relazione binaria (o corrispondenza) di A in, e si indica con f : A, (oppure R ) una
DettagliStrutture Algebriche Le Sottostrutture Strutture degli Insiemi Quoziente
ALGEBRA RELAZIONI Operazioni tra relazioni: Unione (somma logica delle matrici) Intersezione (prodotto elemento per elemento delle matrici) Prodotto (prodotto righe per colonne delle matrici) prop. Associativa,
DettagliINTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI
INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI Prima di riuscire a scrivere un programma, abbiamo bisogno di conoscere un metodo risolutivo, cioè un metodo che a partire dai dati di ingresso fornisce i risultati attesi.
Dettagli