R X X. RELAZIONE TOTALE Definizione: Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto

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1 PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemi non vuoti X e Y si definisce prodotto cartesiano: X Y ={ x, y x X, y Y } attenzione che (x,y) è diverso da (y,x) perchè (x,y)={x,{y}} e (y,x)={y,{x}} invece sono uguali gli insiemi {x,y}={y,x}. SPAZIO EUCLIDEO Si definisce spazio Euclideo il prodotto cartesiano R R ovvero R 2 paduniversitario.altervista.org SPAZIO N-DIREZIONALE Si definisce spazio n-direzionale il prodotto R n =R R R R R RELAZIONE UNARIA Si definisce relazione su x se X=Y e R X X RELAZIONE BINARIA Si definisce relazione x con y se x, y R e si scrive x R y RELAZIONE TOTALE Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto R={ x, y R x X, y Y }= X Y RELAZIONE INVERSA Si definisce relazione inversa R 1 ={ y, x y Y, x X } Y X COMPOSIZIONE Dati gli insiemi X,Y,Z diversi dall'insieme vuoto e definite le relazioni: R={ x, y R x X, y Y } X Y S={ y, z R y Y, z Z } Y Z si definisce la composizione R S={ x, z X Z y Y t.c. x, y R e y, z S} PROPRIETÀ FONDAMENTALI DELLE RELAZIONI: 1. Riflessiva: se x X, x, x R x R x 2. Transitiva: se x, y R e y, x R x, z R 3. Simmetrica: se x, y R y, x R 4. Antisimmetrica: se x, y R e y, x R x= y 1

2 RELAZIONE D'EQUIVALENZA Si chiama relazione d'equivalenza quella relazione che soddisfa le proprietà riflessiva, transitiva e simmetrica. RELAZIONE D'ORDINE Si chiama relazione d'ordine quella relazione che soddisfa le proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica. RELAZIONE D'ORDINE TOTALE R è una relazione d'ordine totale se oltre ad essere una relazione d'ordine con le proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica è verificata x, y X, x, y R y, x R CLASSE DI EQUIVALENZA Data una relazione d'equivalenza R su X si dice classe di equivalenza di x rispetto a R: [ x] R ={y X y R x} x X la classe di equivalenza non è mai un insieme vuoto perché x è sempre in relazione con se stesso SIMBOLOGIA R= R = ~ [x] ~ = x= x INSIEME QUOZIENTE Si definisce l'insieme quoziente di x modulo di ~ : X /R={[ x] R x X } CARDINALITÀ Si definisce cardinalità il modulo dell'insieme quoziente: X / R = X / R PROPOSIZIONE Data una relazione d'equivalenza R su X valgono le seguenti proprietà d'equivalenza: [ x] R [ y] R y [ x] R Dimostrazione => se [ x ] R [ y] R allora y [ x ] R per la proprietà riflessiva y [ y] R =[ x] R y [ x] R <= se y [ x] R allora [ x] R =[ y] R inclusione [ x] R [ y] R sia z [ x] R z R X per ipotesi y [ x] R y R x x R y z R y z [ y] R [ x] R [ y] R [ x] R =[ y] R Dimostrazione [ x] R [ y] R z [ x] R z [ y] R => [ z] R =[ y] R [ z] R =[ x] R [ x] R =[ y ] R la classe di x coincide con la classe di y. Se due classi d'equivalenza hanno un dato in comune allora esse coincidono. 2

3 PARTIZIONI Si definisce partizione di x il sottoinsieme non vuoto di x tale che sia X allora P= A i se si verifica che : A i A j A i A j = U i I A i = X PROPOSIZIONE Ogni equivalenza determina una partizione di X 1. x X [ x] R x proprietà riflessiva 2. [ x] R [ y] R [ x] R [ y] R = 3. X =U x X [ x ] R Sia X e sia P={A i } con i in I una partizione di X allora possiamo definire un'equivalenza su X: x R y i I : x, y A i e x X =U A i FUNZIONI Definizione Siano X e Y diversi dall'insieme vuoto si definisce una funzione o applicazione o mappa nei modi: 1. f : x y è una relazione G f tra X e Y definita da x X,! y Y : x, y G f 2. ad ogni x X f fa corrispondere un solo y, denotato f x Y definiamo poi: X dominio di f e Y codominio di f e G f = x, f x x X grafico della funzione. Tipi di Funzione: Iniettiva: x 1, x 2 X, f x 1 = f x 2 x 1 =x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 Surgettiva: I f =Y, I f = f x x X Y Bigettiva: y Y,! x X : y= f x Funzione composta f : X Y, g :Y Z allora la funzione composta g f x =g f x significa che x f y g z g f : X Z Proposizione Sia f : X Y allora la relazione R f X Y definita da x R y f x = f y è una equivalenza su X. Infatti sono verificate le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva: x R x f x = f x x R y y R x f x = f y f y = f x x R y y R z x R z Proposizione (sulle composizioni) Siano f : X Y e g f z 1. se f e g sono iniettive, allora g f è iniettiva 2. se f e g sono surgettive, allora g f è surgettiva 3. se g f è iniettiva, allora f è iniettiva 4. se g f è surgettiva allora g è surgettiva 3

4 Dimostrazione: 1. Siano x 1, x 2 X tali che g f x 1 = g f x 2 g f x 1 =g f x 2, f(x 1 )=f(x 2 ) quindi f è iniettiva. 2. g f : X Z, surgettiva <=> z Z, x X : g f x =Z sia z Z surgettiva y Y : g x = z sia y Y g f x =z= g f x =z f surgettiva x X : f x = y 3. Siano x 1, x 2 X : f x 1 = f x 2 g f x 1 = g f x 2 g f x 1 = g f x 2 se g f è anche iniettiva allora significa che x 1 =x 2 4. la dimostrazione è similare alle 3 tranne che bisogna considerare la surgettività invece dell'iniettività. STRUTTURE ALGEBRICHE OPERAZIONE BINARIA Definizione Dato A la funzione f : A A A si chiama operazione binaria o legge di composizione. Su A : f x, y =x y x y, x y GRUPPOIDE (A, ) Per esempio (Z_, ) non è un gruppoide. STRUTTURA ALGEBRICA Un insieme dotato di una o più operazioni binarie si chiama Struttura Algebrica. SEMIGRUPPO Un gruppoide (G, ) soddisfacente l'associatività si chiama Semigruppo x, y, z, G : x y z=x y z MONOIDE Un semigruppo con elemento neutro (identità) si chiama monoide: e G :e x=x, x G. e 2 x=x= x e 2, x S e 2 e 1 =e 1 =e 1 e 2 PRPOSIZIONE (Unicità dell'elemento neutro) In un semigruppo, l'identità (se esiste) è unica. Dimostrazione: e 1, e 2 identità in (S, ) e 1 x= x=x e 1 e 1 e 2 =e 2 =e 2 e 1 e 1 =e 2 GRUPPO Un semigruppo (G, ) con l'identità e con la proprietà che ogni elemento a G è invertibile: 4

5 a G, a ' G : a a' =a' a=e si chiama gruppo e a' si chiama l'inverso di a. (G, + ) l'inverso di a si chiama l'opposto di a e si chiama -a (G, ) l'inverso di a si denota a 1 Un gruppo (semigruppo, monoide) con la proprietà x y= y x si chiama gruppo commutativo (abeliano). LEGGI DI CANCELLAZIONE In gruppo (G, ) valgono le leggi di cancellazione x y=x' y x=x ' x y=x y ' y= y' ovvero x 1 x y =x 1 x y' y= y' L'inverso dell'elemento neutro e -1 =e SOTTOGRUPPO Dato il gruppo (G, ) un sottoinsieme H, H G si chiama sottogruppo se (H, ) è gruppo. (R, + ) gruppo (Q, +) sottogruppo di (R, +) Q R H G 1. x, y H x y H H èchiuso x, y H x y 1 H 2. e G H e G =e H =e x, y H x y 1 H 3. x H x 1 H x, y H x y 1 H CLASSI DI EQUIVALENZA Siano (G, ) gruppo H G, g G L'insieme g H = {h g h H} si chiama classe laterale sinistra di G modulo H rappresentata da g. H g = {h g h H} è la classe laterale destra. g H ={g h h H } H g={h g h H } Il numero delle classi laterale destra e sinistra coincide con le classi laterale destra e sinistra e si chiama l'indice di H in G e si denota con [G:H] N*. TEOREMA DI LAGRANGE Se (G, ) è un gruppo finito e H G, allora l'indice di H in G=[G : H ]= G H N x Significa che l'ordine di un sottogruppo di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo stesso 5

6 SOTTOGRUPPO NORMALE Un sottogruppo H G si chiama normale se x G, xh =Hx x G, h H x h y 1 H sottogruppo normale di G: H G. GRUPPO QUOZIENTE Sia (G, ) gruppo e sia H G la relazione x R H y x 1 y H è un 'equivalenza su G e [ x] NH = xh =Hx. Dalla definizione data risultano le proprietà: riflessiva: x R H x x 1 x=e H simmetrica: x R H y y R H x e x 1 y H y 1 x H transitiva: x R H y, y R H z x R H z e x 1 y H, y 1 z H x 1 z H Dalla definizione risulta che: [ x] NH ={y G x R H y}={y G x 1 y h H }={y y= xh,h H }={xh h H }= xh f x = f x 1 e 1 = f x 2 f e 1 f e 1 =e 2 OMOMORFISMO Siano (G 1, 1 ), (G 2, 2 ) gruppi. Una funzione f :G 1 G 2 che verifica la relazione: x, y G 1, f x 1 y = f x 2 f y si chiama omomorfismo di gruppi. Se G 1 = G 2 endomorfismo. un omomorfismo bigettivo si chiama isomorfismo un endomorfismo bigettivo si chiama automorfismo Si dimostra poi che: 1. f e 1 =e 2 dimostrazione: 1. f x 1 = f x 1 dimostrazione: f x 1 x 1 = f e 1 =e 2 = f x f x 1 =e 2 f x 1 = f x 1 DEFINIZIONI Ker f ={x G f x =e 2 } G 1 è il nucleo di f; I f ={ f x G 2 x G 1 } G 2 è l'immagine di f; PROPOSIZIONE Ker f G 1 Im f G 2 f iniettiva Ker f ={e 1 } ANELLO Un anello (R, +, ) è un insieme R dotato di due operazioni tali che: 1. (R, +) gruppo commutativo (el. Neutro,.) 2. (R, ) semigruppo 3. distributività x, y, z, R, x y z =xy xz e x y z= xz yz 6

7 Se R ha elemento unità 1 R per la moltiplicazione (R, ) monoide e allora (R, +) si chiama anello unitario. DIVISORE DELLO ZERO In un anello (R, +, ) un elemento a 0 si chiama divisore dello zero se b 0, b R tale che a b=0 b a=0 DOMINIO DI INTEGRITA' Un anello unitario commutativo ( dominio di integrità. a b=b a, a,b R ) senza divisori dello zero si chiama CAMPO Un campo (K, +, ) è un anello commutativo in cui ogni elemento divisore da O R è invertibile. 7