Calcolo Algebrico. Primo grado. ax 2 + bx + c = 0. Secondo grado. (a 0) Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: ax + b = 0

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1 Calcolo Algebrico Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: Primo grado ax + b = 0 (a 0) x = b a Secondo grado ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Si hanno due soluzioni che possono essere reali distinte, reali coincidenti o complesse coniugate 1

2 x 1 = b b2 4ac 2a x 2 = b + b2 4ac 2a Δ = b 2 4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 disequazioni Discriminante Due soluzioni reali e distinte Soluzioni reali e coincidenti Soluzioni complesse e coniugate Si risolvono le equazioni associate e quindi si stabilisce in quali intervalli limitati o illimitati ax + b 0 a>0 x>-b/a -b/a -b/a ax 2 + bx + c 0 a<0 x<-b/a a > 0 Δ > 0 x 1 x 2 x x 1 U x x 2 2

3 a < 0 Δ > 0 x 1 x x 2 x 1 x 2 Δ = 0 x = x 1 = x 2 a>0 La disequazione è soddisfatta per ogni valore di x compresi x 1 =x 2 a<0 La disequazione è soddisfatta solo per x=x 1 =x 2 x 1 =x 2 x 1 =x 2 Δ<0 La disequazione è soddisfatta per ogni valore reale di x nel caso a>0 Non è invece soddisfatta per alcun valore di x quando a<0 3

4 Esempi. Sappiamo da un analisi qualitativa che un certo oggetto è una lega di oro e rame. Noto il volume dell oggetto v e il suo peso p, dobbiano inoltre conoscere la densità dell oro puro o=19.3 g/cm 3 e la densità del rame puro r=8.9 g/cm 3 Dobbiamo calcolare la percentuale di oro presente x volume dell oro presente v-x volume del rame presente ox+(v-x)r=p Scrivere un equazione di secondo grado che abbia come soluzioni x 1 =-4/5 e x 2 =17/6 Una bombola da 15 l contiene un gas alla pressione di 8 atm. Quanti litri di gas alla pressione di 1atm possono essere effettivamente erogati (usare la legge PV=cost) Una miscela di CO e CO 2 pesa 25g sapendo che il Carbonio rappresenta il 33% del peso totale della miscela, determinare la composizione 4

5 Elementi di Geometria Analitica Rette e segmenti Su un piano cartesiano la distanza tra due punti P(x 1 ;y 1 ) e Q(x 2 ;y 2 ) d(p, Q) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 In un piano cartesiano ogni equazione di primo grado ax+by+c=0 rappresenta una retta (casi in cui a=0 e b=0) è più familiare l espressione y=mx+n (con m=-a/b e n=-c/b) m=coefficiente angolare --- pendenza della retta Date due rette m>0 m<0 y=mx+n ; y=m x+n sono parallele se m=m sono perpendicolari se m=-1/m 5

6 Grafici Utile rappresentazione di un fenomeno fisico Tempo Posizione posizione tempo Es. Legge oraria di un moto rettilineo uniforme x=3t+5 Anche nei casi di una dipendenza non lineare delle variabili spesso ci si riporta ad una rappresentazione lineare es. y=t 2 si riporta in grafico y in funzione di t 2 anzichè t 6

7 Coniche: curve che si possono ottenere come intersezione di un cono con un piano; al variare dell inclinazione del piano rispetto al cono si possono ottenere ellissi,parabole iperboli ecc. Le coniche sono rappresentate nel piano cartesiano dalle equazioni di secondo grado: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + fy + g = 0 7

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9 Parabola:il luogo dei punti P per i quali la distanza da una retta (detta direttrice) è uguale alla distanza da un punto fisso F (detto fuoco). L'asse di una parabola è una retta perpendicolare alla sua direttrice passante per il fuoco. Ogni parabola possiede un asse di simmetria; il punto in cui l asse di simmetria incontra la parabola si chiama vertice, le equazioni del tipo: y = ax 2 + bx + c (a 0) rappresentano tutte e sole le parabole con asse di simmetria verticale (x=-b/2a); il vertice V(-b/2a; -Δ/4a) 9

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11 Circonferenze ed ellissi: Circonferenza con centro nell origine degli assi e raggio r > 0 x 2 + y 2 = r x 2 + y 2 = r 2 Ellisse di semiassi a e b con centro nell origine degli assi; e` definita come il luogo geometrico dei punti P tali che la somma della distanza tra i due fuochi sia uguale a 2a x 2 a 2 + y2 b 2 =1 -a b -b P a 11

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13 Iperbole e iperbole equilatera: fissati due punti detti fuochi F, F e un numero reale positivo 2a, con 2a < d(f, F'), L'iperbole è il luogo dei punti P tali che il valore assoluto della differenza delle distanze di P da due punti fissi F, F sia costante. Cioè, distanza[p,f1] - distanza[p,f2] = 2a, dove a rappresenta una costante. Le due rette che si avvicinano indefinitamente all iperbole sono gli asintoti dell iperbole e l ampiezza dell angolo β determina la forma dell iperbole asintoti β 13

14 Particolarmente importanti sono le iperbole equilatere ossia le iperbole i cui asintoti sono tra loro perpendicolari (assi cartesiani) I vari elementi associati ad una iperbole sono:" Fuochi = due punti fissi da cui tutti i punti dell'iperbole hanno differenza costante" Vertici = intersezioni del segmento che unisce i fuochi con i due rami dell'iperbole." Asintoti = due rette che si definiscono "tangenti all'infinito dell'iperbole", ovvero una coppia di rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano sempre più senza però mai intersecarle." 14