Obiettivi Strumenti Cosa ci faremo? Probabilità, distribuzioni campionarie. Stimatori. Indici: media, varianza,

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1 Obiettivi Strumenti Cosa ci faremo? inferenza Probabilità, distribuzioni campionarie uso stima Stimatori significato teorico descrizione Indici: media, varianza, calcolo

2 Misure di posizione e di tendenza centrale Sono misure sintetiche che posizionano la distribuzione di frequenza di un fenomeno e consentono il passaggio da una pluralità di informazioni ad un solo numero (o pochi numeri) L obiettivo è di consentire di effettuare confronti nel tempo, nello spazio o tra circostanze differenti Media Moda Quantili Mediana Quartili Decili Percentili 2

3 Moda La Moda (o norma o valore normale ) di una distribuzione è rappresentata dal valore (qualitativo o numerico) che presenta la frequenza assoluta o relativa più elevata. Sintetizzare una distribuzione con la sua moda equivale ad assumere come valore più rappresentativo quello che si è verificato più spesso. L uso della moda ha tanto più senso quanto più la sua frequenza si differenzia rispetto a quella delle altre modalità o intensità 3

4 Variabili nominali Carattere SCELTA SCELTA n i CH 21 0,7 MM 9 0,3 Totale 30 1 Mo = CH Variabili quantitative discrete Carattere NUMERO DI BOTTIGLIE N. bottiglie n i 1 3 0, , , , , ,13 Totale 30 1 Mo = 5 4

5 Distribuzioni in classi Classi equiampie: la classe modale è la classe a cui corrisponde la frequenza più elevata Classi equifrequenti o di diversa ampiezza e frequenza: la classe modale è la classe a cui corrisponde la densità di frequenza più elevata Carattere PREZZO CH, classi equiampie (primi 20 consumatori) Classe n i i f d = i i hi 1,69 1,77 3 0,15 0,15 1,875 1,77 1, ,15 0 1,85 1,93 3 0,15 0,30 1,875 1,93 2,01 5 0,25 0,55 3,125 2,01 2,09 9 0,45 1 5,625 Totale 20 1 Mo = classe modale = 2, ,09 5

6 In base all istogramma normalizzato Istogramma normalizzato del carattere PREZZO CH (classi equiampie) densità di frequenza classi di intensità La classe modale è quella cui corrisponde il rettangolo con l altezza maggiore Classe modale = 2, ,09 6

7 Carattere atturato, classi equifrequenti h xi xl x i+ 1 i i = i ,20 0, ,20 0, ,20 0, ,20 0, ,20 0,000 Totale 1,00 Classe modale = d f h i Istogramma del fatturato (classi equifrequenti e densità di frequenza) Densità di requenza classi di modalità 7

8 Distribuzioni bimodali (o plurimodali) Carattere NEGOZIO Negozio n i Bar 9 0,30 Coloniali 9 0,30 D. automatico 4 0,13 Supermarket 8 0,27 Totale 30 1 Il carattere presenta due modalità con la massima frequenza, dunque le due mode sono: Mo 1 = Bar Mo 2 = Coloniali Distribuzione zeromodale Carattere X X n i x ,5 x ,5 Totale 40 1 Mo =??? 8

9 Quantili Valori che ripartiscono la distribuzione del carattere quantitativo o qualitativo ordinale X in gruppi disgiunti di uguale numerosità. Mediana Quartili Decili Percentili N.B.: Quando si calcolano i quantili è sempre necessario ordinare le intensità in senso non decrescente Mediana I. Valore che bipartisce la distribuzione ordinata x (1),,x (n) in due gruppi della stessa numerosità II. Valore dell unità statistica che occupa il posto centrale nella distribuzione ordinata x (1),,x (n) III. Valore in corrispondenza del quale la funzione di ripartizione è pari a 0,5 ( ME = 0,5) IV. E quel valore Me tale che tra il minimo x (1) ed Me vi sono n/2 valori 9

10 Caratteri quantitativi discreti Successioni di valori x( i) valore che occupa la i-esima posizione nella successione ordinata dei valori intensità (i=1,.,n) = x + x n n Me 2 x n se n è pari se n è dispari N.B.: Se n è pari, la mediana può non è un valore realmente osservato, ma è quel valore teorico che suddivide l intervallo di valori osservati in due parti di uguale numerosità. Distribuzioni di frequenza La mediana Me si individua scorrendo la successione ordinata della X e corrisponde al primo valore x* tale che (x*) 0,5 (ossia il primo valore di X per cui è maggiore di 0,5) 10

11 Esempio Carattere NUMERO DI BOTTIGLIE n = 30 Essendo n pari la mediana è ottenuta come: x + x n n = x x 4 5 Me = = = 4, Se eliminiamo l ultima osservazione: n = 29 Essendo n dispari: M e = x = x = x = 4 n

12 Con la regola generale: N. bottiglie * n i i 1 3 0,10 0, ,14 0, ,10 0, ,18 0, ,38 0, ,10 1,00 Totale 29 1 La mediana è quel valore in corrispondenza del quale la frequenza relativa cumulata (= la funzione di ripartizione empirica) supera il valore 0,5. Me = 4 N. bottiglie n i i 1 3 0,10 0, ,13 0, ,10 0, ,17 0, ,37 0, ,13 1,00 Totale 30 1 Caso particolare: se si riscontra una valore di esattamente pari a 0,5 la mediana è la media del valore per cui =0,5 ed il successivo Me = = 4,5 2 * Si tratta di una distribuzione fittizia rispetto al carattere osservato nel dataset succhi di frutta, ossia ottenuta eliminando l ultimo del valori della successione ordinata (n = 29). 12

13 Caratteri qualitativi ordinali Si individuano le 2 modalità: x (Me-1) tale che (x (Me-1) )<0,5 x (Me) tale che (x (Me) ) 0,5 Me x (Me), perché tra le n i unità che possiedono modalità x Me sarà certamente compresa quella (se n è dispari) o quelle (se n è pari) di posto centrale. Titolo di studio n i i Nessuno 4 0,05 0,05 Elementare 6 0,08 0,14 Media 15 0,21 0,34 Diploma 25 0,34 0,68 Laurea 18 0,25 0,93 Post-lauream 5 0,07 1,00 Modalità mediana = diploma Totale

14 Caratteri quantitativi continui Classe mediana: classe in corrispondenza della quale la funzione di ripartizione empirica passa (anche idealmente) per il punto 0,5. x Me1 x Me Mediana: Me x + x x ( ) Me 1 Me Me 1 0,5 Me 1 Me Me 1 x Me 1 x Me estremo inferiore della classe mediana estremo superiore della classe mediana Me Me 1 valore della funzione di ripartizione in corrispondenza della classe mediana valore della funzione di ripartizione in corrispondenza della classe che precede la classe mediana 14

15 Interpretazione grafica A Notazione: f 1 f 2 f 3 = f Me-1 A = area b = base a = altezza x Me-1 x Me Me = x + b Me1 A = b a b = A a ( ) A = 0,5 f + f + + f 1 2 Me1 f a = dme = = h x x Me Me Me1 Me Me Me1 b = ( x x ) Me Me1 0,5 Me 1 Me Me1 15

16 Esempio C i n i i [5,27; 15,43] 13 0,43 0,43 ]15,43; 25,59] 7 0,23 0,66 ]25,59; 35,76] 5 0,17 0,83 ]35,76; 45,92] 1 0,03 0,86 ]45,92; 56,08] 2 0,07 0,93 ]56,08; 66,24] 2 0,07 1,00 Totale 30 1,00 1. Individuazione della classe mediana C Me = C i : i = min ( i > 0,5) ] 15,43; 25,59 ] 2. Stima della mediana all interno della classe: Me x + x x 25,59 15, 43 Me = 15, 43 + ( 0,5 0, 43 ) = 18,39 0,66 0, 43 ( ) Me 1 Me Me 1 0,5 Me Me 1 16 Me 1

17 Quartili Primo Quartile: E quel valore Q 1 tale che tra il minimo x (1) e Q 1 vi sono n/4 valori. Q 1 si individua scorrendo la successione ordinata della X e corrisponde al primo valore x* tale che (x*) 0,25 Terzo Quartile: E quel valore Q 3 tale che tra il minimo x (1) e Q 3 vi sono 3n/4 valori. Q 3 si individua scorrendo la successione ordinata della X e corrisponde al primo valore x* tale che (x*) 0,75 17

18 Esempio N. bottiglie n i i 1 3 0,10 0, ,13 0, ,10 0, ,17 0, ,37 0, ,13 1 Totale 30 1 Q 1 = 3 Q 3 = 5 18

19 Caratteri quantitativi continui raggruppati in classi ( ) Q x + x x 1 Q 1 Q Q ( ) Q x + x x 3 Q 1 Q Q , 25 Q 1 1 Q Q ,75 Q 1 3 Q Q Nell esempio: C i n i i [5,27; 15,43] 13 0,43 0,43 C Q1 = C i : i = min ( i > 0,25) ]15,43; 25,59] 7 0,23 0,66 [ 5,27; 15,43 ] ]25,59; 35,76] 5 0,17 0,83 ]35,76; 45,92] 1 0,03 0,86 C Q3 = C i : i = min ( i > 0,75) ]45,92; 56,08] 2 0,07 0,93 ] 25,59; 35,76 ] ]56,08; 66,24] 2 0,07 1,00 Totale 30 1,00 1 0,1 6 Q 1 = 5, ( 0, ) = 1 0, 9 0, ,16 Q 3 = 25,59 + ( 0,75 0, 66 ) = 30, 67 0, 83 0, 66 19

20 DECILI q-mo Decile: E quel valore d q tale che tra il minimo x 1 e d q vi siano (q n)/10 osservazioni. Per una distribuzione si possono calcolare fino a 9 decili PERCENTILI q-mo Percentile: E quel valore p q tale che tra il minimo x 1 e p q vi siano (q n)/100 osservazioni. Per una distribuzione si possono calcolare fino a 99 percentili Regole per la determinazione Stesse regole (adattate allo specifico indice) utilizzate per il calcolo dei quartili. Successioni di valori Ricerca dei valori di X cui corrispondono i valori di : - q/10 per il q-mo decile - q/100 per il q-mo percentile Distribuzioni di frequenze ( ) d x + x x q dq 1 dq dq 1 q 10 dq 1 dq dq 1 p x + x x pq 1 ( ) q pq 1 pq pq 1 q pq pq 1

21 Esempio: A: 8 decile d 8 (= 80 percentile) = valore massimo del primo 80% della distribuzione B: 88 percentile (= valore massimo del primo 88% della distribuzione) A: C d8 = C i : i = min ( i > 0,80) [ 25,59; 35,76 ] C i n i i [5,27; 15,43] 13 0,43 0,43 ]15,43; 25,59] 7 0,23 0,66 ]25,59; 35,76] 5 0,17 0,83 ]35,76; 45,92] 1 0,03 0,86 ]45,92; 56,08] 2 0,07 0,93 ]56,08; 66,24] 2 0,07 1,00 Totale 30 1,00 d x + x x ( ) 8 d8 1 d8 d8 1 0,8 d8 1 d8 d8 1 35,76 25,59 d8 = 25,59 + ( 0, 8 0,66 ) = 33,97 0,83 0,66 B: C p88 = C i : i = min ( i > 0,88) [ 45,92; 56,08 ] ( ) p x + x x 88 p88 1 p88 p88 1 0,88 p88 1 p88 p ,08 45,92 p 88 = 45,92 + ( 0, 88 0,86 ) = 48,82 0,93 0,86 21

22 In generale, individuata la classe in cui il percentile è contenuto, esso si determina attraverso la formula: ( ) perc x + x x p p 1 p p 1 * dove * indica il valore della frequenza relativa cumulata corrispondente. Procedimento inverso: a quale percentile corrisponde x i? ( ) perc x + x x p p 1 p p 1 * f p p 1 misura del segmento da aggiungere all estremo inferiore della classe f p p 1 * x x x x ( ) x xp1 * = p 1 + f x x p 1 p p 1 = p1 fp p p1 p x = valore di cui si vuole il percentile * = incognita da determinare

23 Esempio x = 30 x ]25,59; 35,76] C i n i i [5,27; 15,43] 13 0,43 0,43 ]15,43; 25,59] 7 0,23 0,66 ]25,59; 35,76] 5 0,17 0,83 ]35,76; 45,92] 1 0,03 0,86 ]45,92; 56,08] 2 0,07 0,93 ]56,08; 66,24] 2 0,07 1,00 Totale 30 1,00 x xp1 * = p 1 + f x x p p = = p x corrisponde al 73 percentile