Esercizi aggiuntivi Unità A2

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1 Esercizi aggiuntivi Unità A2 Esercizi svolti Esercizio 1 A2 ircuiti in corrente alternata monofase 1 Un circuito serie, con 60 Ω e 30 mh, è alimentato con tensione V 50 V e assorbe la corrente 0,4 A. alcolare: la frequenza; l angolo di sfasamento tra tensione e corrente; le potenze (attiva, reattiva, apparente). Scrivere le espressioni di v(t)e i(t) e disegnare il diagramma vettoriale del circuito. l circuito in esame è rappresentato nella figura A2.1. V V Figura A2.1 Esercizio svolto 1. Schema del circuito. V l modulo dell impedenza e il valore della reattanza sono dati da: Z 04, 125 Ω ; Dal valore della reattanza si determinano quelli della pulsazione e della frequenza: X 109, 7 ω angolo di sfasamento tra tensione e corrente corrisponde all argomento dell impedenza, dato da: 60 cos, Z ; 3, s Applicando le formule generali si ricavano i valori delle potenze: P Vcos 50 04, 048, 96, W Prendendo come riferimento a fase zero la corrente, la tensione sarà in anticipo di 61,3 sulla corrente, come indicato sul diagramma vettoriale di figura A2.2, nel quale le tensioni parziali sono uguali a: V V cos 50 0,48 24 V ; 3 1 X Z , 7 Ω 61, 3 1, 07 rad ω 3655 f 581, 7 Hz 2π 2π Q Vsen 50 0, 4 0, , 5 var V Vsen 50 0,877 43,9 V S 0, 4 20 VA m V V Figura A2.2 Esercizio svolto 1. Diagramma vettoriale. 61,3 V e e espressioni sinusoidali della corrente e della tensione sono date da: i 2 sen ( ωt+ ) 2 0, 4 sen 3655 t+ 0 0, 566 sen 3655 t v 2 Vsen ( ωt+ ) 2 50 sen ( 3655 t+ 1, 07) 70, 7 sen 3655 t+ 1, 07 V

2 2 Modulo A isoluzione delle reti elettriche lineari in corrente alternata monofase Esercizio 2 Un resistore con 25 Ω è in parallelo con un induttore avente 0,2 H. a tensione di alimentazione ha valore efficace V 50 V, con frequenza 50 Hz. alcolare: le correnti parziali e quella totale; l impedenza e l ammettenza del circuito; le potenze; i parametri del circuito equivalente serie. Disegnare il diagramma vettoriale. l circuito in esame è riportato nella figura A2.3. parametri dell ammettenza sono dati da: B 1 1 G ω 2π , 159 S , S ; V, Prendendo come riferimento a fase zero la tensione si determinano, adottando il calcolo simbolico, le correnti: V jb V j 0, j 7, 95 A 50 + j0 50 V 2 + 7, 95 8, 2 A iportando i valori complessi sul piano di Gauss, si disegna il diagramma vettoriale di figura A2.4. m GV 004, 50 2 A + 2 j 7, 95 A 795, arcgt 75, 9 2 V e Figura A2.3 Esercizio svolto 2. Schema del circuito. 75,9 Figura A2.4 Esercizio svolto 2. Diagramma vettoriale. ammettenza e l impedenza del circuito sono date da: Y G jb 0, 04 j 0, 159 S ; Z ( 1, j 5, 915) Ω ; Y 0, 04 j 0, 159 e potenze (attiva, reattiva e apparente) sono uguali a: P V W S 8, VA Y 0, , 159 0, 164 S Z 6, 134 Ω Q V 50 7, , 5 var Applicando le formule di conversione si calcolano i parametri del circuito equivalente serie, partendo da quelli, noti, dell ammettenza: G B XS 0, 159 S 5, 915 Ω Y 004, 1, 488 Ω 0, 164 Y 0, 164 Si può constatare che tali parametri sono gli stessi dell impedenza precedentemente calcolata; passare da un ammettenza a un impedenza significa, infatti, passare dal circuito parallelo a quello serie equivalente e viceversa.

3 A2 ircuiti in corrente alternata monofase 3 Esercizio 3 Nel circuito di figura A2.5 il condensatore è di tipo variabile, con capacità regolabile da zero a 200 μf. alcolare il valore che deve assumere per avere un bipolo complessivamente ohmico-induttivo, con fattore di potenza 0,8. n tali condizioni calcolare: la corrente con V 50 V, le tensioni parziali e disegnare il diagramma vettoriale. alcolare inoltre il valore di per ottenere la condizione di risonanza e le potenze in tale funzionamento. V V V V 10 Ω μf 100 mh f 50 Hz Figura A2.5 Esercizio svolto 3. l triangolo dell impedenza, nella condizione indicata dal testo, è riportato nella figura A2.6. Da essa si ricava: cos 0, 8 36, 9 ; ω 2πf 2π s 1 sen 06, ; tg 075, X ω , 4 Ω X X tg 10 0, 75 7, 5 Ω X X tg 31, 4 7, 5 23, 9 Ω ω μf, X impedenza del bipolo è data da: Z + jx jx 10 + j 31, 4 j 23, j 7, 5 Ω ; Z 12, 5 Ω 36,9 Prendendo come riferimento a fase zero la tensione totale si ha: V 50 V 0 3 ( 0 ±36,9 ) 4 A ±36,9 Z 12, 5 4[ cos ( 36, 9 )+ jsen ( 36, 9 )]( 3, 2 j 2, 4) A jx Z jx X X V 10 ( 3, 2 j 2, 4 ) 32 j 24 V jx j 31, 4( 3, 2 j 2, 4) 75, 4 + j100, 5 V 75, , 5 125, 6 V V ; V V V ; Figura A2.6 Esercizio svolto 3. Triangolo dell impedenza per cos 0,8. V jx j 23, 9( 3, 2 j 2, 4) 57, 4 j 76, 5 V 57, , 5 95, 6 V V ;

4 4 Modulo A isoluzione delle reti elettriche lineari in corrente alternata monofase l diagramma vettoriale del circuito è riportato nella figura A2.7. Esso evidenzia gli sfasamenti delle tensioni parziali rispetto alla corrente e l angolo di ritardo di questa rispetto alla tensione totale, trattandosi di un circuito complessivamente di tipo. m V V Figura A2.7 Esercizio svolto 3. Diagramma vettoriale. V e V V n questo caso la condizione di risonanza non è ottenuta variando la frequenza, ma agendo sul condensatore. Uguagliando le due reattanze e indicando con r il valore di capacità che provoca la risonanza, si ha: X X ; ω 1 ω asciando costante la tensione applicata ed essendo, in questa condizione, Z, il nuovo valore della corrente è dato da: V r A r ; r , ω, 4 μf valori delle reattanze sono entrambe pari a 31,4 Ω (X X ) e quindi le potenze sono date da: P r W QT Q + Q Q r X 31, var S P250 VA Q r X 31, var È importante constatare che in questa condizione di funzionamento, con V costante, essendo massima la corrente e anche il fattore di potenza (pari a 1), il circuito assorbe la massima potenza attiva. Esercizio 4 Per il circuito di figura A2.8 calcolare,,, T con f 50 Hz. alcolare poi, tenendo costante la tensione, la frequenza occorrente per ottenere un angolo di fase totale di 30. n tali condizioni determinare la potenza apparente. T V P 400 W V 50 V 10 μf Figura A2.8 Esercizio svolto 4.

5 A2 ircuiti in corrente alternata monofase 5 onoscendo la potenza attiva si risale alla conduttanza e quindi alla resistenza: G P , S ; Dopo aver calcolato la suscettanza capacitiva si determinano le correnti, tenendo presente lo sfasamento di 90 tra la corrente resistiva e quella capacitiva: GV 016, 50 8 A ; T , A G 016, 625, Ω 6 3 B ω 2πf 2π , S B V 3, , 157 A 3 Variando la frequenza, con V costante, la non cambia, mentre varia la, che assumerà un valore tale da portare a 30 l angolo di anticipo di T rispetto a V, come indicato sul diagramma vettoriale di figura A2.9, da cui si ricava: tg , 577 4, 62 A B 462, 0, 0924 S ; B 0, 0924 ω s 1 ω 9240 f 1470 Hz 2π 2π m T 30 V e Figura A2.9 Esercizio svolto 4. Triangolo delle correnti nel caso 30. n tali condizioni la corrente totale e la potenza apparente saranno date da: T , 62 9, 24 A S V T 50 9, VA Esercizi proposti Esercizio 5 Un bipolo passivo, di tipo, assorbe la corrente 5 A e la potenza apparente S 500 VA, con fattore di potenza 0,8. alcolare il circuito equivalente serie e parallelo del bipolo. Supponendo di collegare, in parallelo allo stesso, un resistore puro con 20 Ω, calcolare la corrente totale assorbita, lasciando inalterata la tensione di alimentazione. [Z S (16 + j12) Ω; Y P (0,04 j0,03) S; T 9,49 A 18,4 ]

6 6 Modulo A isoluzione delle reti elettriche lineari in corrente alternata monofase Esercizio 6 Per il circuito di figura A2.10 determinare la tensione di uscita V u, la tensione d ingresso V i, il guadagno di tensione A V e l angolo di sfasamento tra la tensione d ingresso e quella d uscita. V 1 X X V u 0,96 kω 1 1 kω X 0,5 kω X 1,5 kω 1,25 ma Figura A2.10 Esercizio proposto 6. Esercizio 7 [V w 1,2 V 0 ; V i 2,93 V 33,1 ; A v 0,41; 33,1 ] Per il circuito di figura A2.11 calcolare e V u alle frequenze f Hz e f Hz. V i 20 kω 50 nf V V i 10 V 0 u Figura A2.11 Esercizio proposto 7. [f Hz: 1 0,344 ma 46,7 ; V u1 7,29 V 43,3 ; f Hz: 2 0,4975 ma 6 ; V u2 1,06 V 84 ] Esercizio 8 Un resistore assorbe la potenza P 0,5 W e la corrente 10 ma, con fase 30. alcolare la resistenza, i valori complessi della corrente e della tensione e le espressioni di i e di v in funzione del tempo, per f 50 Hz. Disegnare il diagramma vettoriale. [ 5 kω; (8,66 j 5) ma; V (43,3 j 25) V; i 0,01414 sen (314,2 t 0,524); v 70,71 sen (314,2 t 0,524)] Esercizio 9 Un resistore con 100 Ω assorbe la corrente (2 + j 2) A, sinusoidale con f 50 Hz. alcolare: il valore efficace della tensione; la potenza attiva; l espressione della potenza istantanea in funzione del tempo. Disegnare il diagramma vettoriale. [V 282,4 V; P 800 W; p 1600 sen 2 (314,2 t + 0,7854)] Esercizio 10 Un induttore puro, avente 5 mh, è alimentato con la tensione V (10 j 20) V, sinusoidale con frequenza 1500 Hz. alcolare la reattanza, la suscettanza e i valori efficaci della tensione e della corrente. Disegnare il diagramma vettoriale. Supponendo costante il valore efficace della tensione, spiegare come varia la corrente al variare della frequenza e disegnarne qualitativamente il grafico. [X 47,1 Ω; B 21,2 ms; V 22,4 V; 0,475 A]

7 A2 ircuiti in corrente alternata monofase 7 Esercizio 11 Un condensatore puro assorbe la potenza reattiva Q 12 var alimentato con tensione sinusoidale di valore efficace 24 V e frequenza 50 Hz. alcolare il valore della capacità e quello della frequenza alla quale si ha Q 120 var. Esercizio 12 [ 66,3 μf; f 500 Hz] Del circuito di figura A2.12 calcolare, con T aperto: l induttanza, l angolo di sfasamento tra V AB e 1, la potenza attiva. on T chiuso determinare: la corrente e le potenze. Disegnare il diagramma vettoriale del circuito con T chiuso. 1 A T 1 V AB 2 B 1 50 Ω Ω V AB 120 V f 200 Hz 1 1,2 A ( T aperto) Figura A2.12 Esercizio proposto 12. [ 68,9 mh; 1 60 ; P 72 W; 2,08 A; P 216 W (T chiuso); Q 125 var; S 250 VA]