MOTI DI FILTRAZIONE. Filtrazione: generalità. Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 1

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1 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 1 MOTI DI FILTRAZIONE Filtrazione: generalità Con il termine filtrazione si intende il moto di un fluido in un mezzo permeabile, ovvero poroso. Il fluido si muove in una rete di canalicoli irregolari incontrando una resistenza elevata sicchè il moto è in genere molto lento ed il contributo dell energia cinetica all energia posseduta dal fluido è trascurabile. Per ogni punto dello spazio attraversato dal fluido si esprime quindi l energia o quota piezometrica h * : p h * = h + (1) & L energia piezometrica è costante lungo la verticale al moto poiché si ha distribuzione idrostatica della pressione. Il secondo membro della seconda equazione di Eulero risulta infatti nullo perché il quadrato della velocità è trascurabile rispetto agli altri termini dell equazione. Il moto di filtrazione avviene poiché vi è un gradiente di quota piezometrica * h nella direzione del moto. Lo studio del moto di filtrazione è globale e riguarda il moto che si ha contemporeanamente in un insieme di canalicoli perché risulta impossibile determinare il moto in ogni singolo canalicolo. Si definisce velocità apparente la velocità media in una sezione generica comprensiva di vuoti e mezzo poroso. Data una piccola sezione A del mezzo poroso comprensiva di vuoto e fase solida la velocità apparente è V = Q/A, essendo Q la portata transitante in quella sezione. La velocità apparente è inferiore a quella effettiva che si ha in un singolo canalicolo. La velocità apparente viene denominata velocità di filtrazione V. Il gradiente di energia, denominato anche idraulico, è supposto uniformemente distribuito nella direzione del moto. Alla scala dei vuoti tale assunzione non ha validità perché il gradiente di energia dipende dalla velocità che varia con la dimensione dei meati (più è esteso il meato, più è elevata la velocità e maggiore è l energia dissipata dal fluido). Alla scala di un piccolo volume del mezzo invece i piccoli meati possono invece essere considerati uniformemente distribuiti giustificando l ipotesi di gradiente idraulico uniformemente distribuito nella direzione del moto. Introducendo l energia piezometrica, la velocità di filtrazione ed il gradiente idraulico si sostituisce l andamento discreto (per la presenza del mezzo) delle varie grandezze che rappresentano il moto lungo una qualsiasi direzione con un andamento continuo ovvero si considera un campo di moto continuo.

2 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione Regimi di moto Esistono secondo il punto di vista delle applicazioni tecniche tre regimi di moto: laminare, di transizione e turbolento. Si introduce il numero di Reynolds di grano: 8Vd Re d = () µ avendo indicato con d il diametro caratteristico degli elementi costituenti il mezzo poroso. I tre regime di moto sono quindi definiti in base al valore assunto dal numero di Reynolds di grano: 1 < Re d 10 regime di moto laminare 10 < Re d 00 regime di moto di transizione 00 < Re d regime di moto turbolento La caratterizzazione dei tre regimi di moto può essere studiata tramite il comportamento del numero di resistenza f in funzione del numero di Reynolds di grano Re d. Le esperienze di Veronese distinguono: f = 1150 Re d -1 moto laminare; f = 750 Re d -0.7 moto di transizione; f = 15 moto turbolento Per il regime di moto laminare esiste la legge di resistenza empirica di Darcy: i = V/k (3) essendo i il gradiente idraulico e k il coefficiente di filtrazione (o di conducibilità idraulica) La legge di Darcy è una legge lineare che relaziona la velocità alla dissipazione di energia tramite una costante k. La costante k è dimensionalmente una velocità i cui possibili valori sono indicati nella tabella sottostante: mezzo poroso Ghiaia Sabbia mista a ghiaia minuta Sabbia pulita Argilla Limo k (m/s)

3 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 3 Un valore approssimato del coefficiente di filtrazione k può essere stimato sostituendo la legge di Darcy_Weissbach (eq. 7.14) nell espressione del numero di resistenza f per regime laminare: esplicitando V dall equazione (4) si ha: g di 1150 = (4) V 8Vd/µ 8 g d V = i (5) 1150 µ dal confronto con la legge di Darcy si ha: 8 g d k = (6) 1150 µ Per il regime non laminare esistono delle leggi di resistenza empiriche: i = av + bv i = mv n legge di Forcheimer legge di Izbash per n = 1 la legge di Izbash coincide con quella di Darcy. Stima del coefficiente di filtrazione k La stima del coefficiente di filtrazione può essere eseguita in laboratorio od in sito. In laboratorio si utilizza un dispositivo denominato permeametro. Il permeametro è costituito da un campione del mezzo poroso prelevato evitando il più possibile rimaneggiamenti e posto in un tubo alimentato con una portata liquida per gravità (figura 1). All inizio ed alla fine del tratto del condotto occupato dal mezzo poroso si dispongono due piezometri. Il fluido nell attraversare il mezzo poroso subisce una dissipazione di energia per cui il gradiente idraulico è dato dal rapporto tra la differenza di energia, ovvero il dislivello delle quote dei piezometri (h 1 h ), e la lunghezza del condotto occupato dal campione del mezzo poroso(l):

4 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 4 h1 h i = (7) L Figura 1. Permeametro La velocità di filtrazione è determinata dividendo il valore della portata Q misurata con idoneo strumento per l area A della sezione del condotto. Tramite la legge di Darcy si determina il valore del coefficiente di filtrazione: V Q L k = = (8) i A (h h ) 1 In sito il coefficiente di filtrazione k può essere determinato con diversi metodi. Un metodo è quello di misurare le quote piezometriche della falda in tre pozzi relativamente vicini in modo da determinare per interpolazione (figura ) l andamento della falda. In particolare si uniscono le coordinate dei tre pozzi con delle rette in modo da creare un triangolo e su ogni lato del triangolo si equispaziano uguali differenze di quota. Si quindi congiungono i punti del triangolo ad egual quota ottenendo le linee di ugual quota denominate linee isofreatiche. Le linee isofreatriche permettono una rappresentazione della superficie della falda sul piano. Il moto avviene in direzione perpendicolare alle linee isofreatriche. Si deduce quindi la direzione della velocità (e/o del moto) ed il gradiente idraulico. La velocità di filtrazione viene stimata introducendo del tracciante nel pozzo di monte e misurando il tempo che occorre al passaggio del tracciante negli altri due pozzi. Nota la distanza tra i due pozzi ed il tempo impiegato al tracciante per raggiungerli discende la componente della velocità (spazio/tempo) lungo le linee congiungenti i pozzi. Note le componenti della velocità discende il valore della stessa. Tramite la legge di Darcy l unica incognita, stimato il gradiente idraulico mediante le linee isofreatiche e nota la velocità è il coefficiente di filtrazione k. Altro

5 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 5 metodo per determinare il coefficiente di filtrazione k in campo è mediante delle prove di pompaggio nei pozzi, metodo qui non presentato. Figura. Tracciamento delle linee isofreatiche. Forza di filtrazione Un fluido in moto attraverso un mezzo permeabile è rallentato per attrito dalle pareti dei canicoli e per il terzo principio della dinamica esercita sul mezzo permeabile una forza uguale e contraria. Questa forza di attrito esercitata dal fluido sul mezzo permeabile è denominata forza di filtrazione. Due serbatoi con quote del pelo libero h 1 > h costanti sono posti in comunicazione mediante un cilindro di area A ed altezza L, riempito con un mezzo poroso (figura 3). Tra il serbatoio di monte con quota del pelo libero h 1 ed il serbatoio di valle con quota del pelo libero h si instaura un moto di filtrazione. Le perdite di energia consistono nelle perdite di carico per attrito per attraversamento del mezzo permeabile. Tra le basi del cilindro si ha una differenza P tra le forze di pressione esercitate dal fluido dovuta alla perdita di energia per attrito: P = h 1 A - h A = h A (9)

6 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 6 Figura 3. Forza di attrito agenti su di un mezzo poroso. essendo h = h 1 - h. La differenza delle forze di pressione P è dovuta all attrito fluido-mezzo poroso che si oppone al moto ed è uguale e di segno opposto alla forza che il fluido esercita per attrito sulla matrice solida che costituisce il mezzo poroso. Dall equazione precedente si ha: P = h A = h/l A L (10) Introducendo nell equazione (10) il gradiente idraulico, ovvero la dissipazione di energia per unità di lunghezza dell unità di peso i = h/l, la forza di filtrazione F S, pari alla differenza delle forze di pressione, assume la seguente espressione di carattere generale: F S = i Vl (11) essendo Vl = A L il volume del mezzo permeabile sede del moto di filtrazione. Regime di moto laminare Assumendo per semplicità un valore del coefficiente di filtrazione k costante in ogni direzione ed in ogni punto del mezzo poroso sede di un moto di filtrazione è possibile per una qualsiasi direzione s generica scrivere la legge di Darcy nel seguente modo: h kh V = k i = k = (1) s s

7 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 7 La genericità della direzione s permette l introduzione della funzione potenziale di velocità: per cui essendo = k h + costante (13) kh = s s h = k s si può esprimere la velocità con la seguente espressione: V = s (14) Una linea per cui equipotenziale si ha: = cost è denominata linea equipotenziale. Indicata con n una linea ad egual M = 0 (15) n Con riferimento alla figura 4 per i due percorsi s 1 ed s si hanno due valori di velocità diversi. Infatti il salto di potenziale = 1 - per i due percorsi s 1 ed s è uguale ma s 1 < s per cui V 1 ( /s 1 ) > V ( /s ) ed i 1 (V 1 /k) > i (V /k). Poiché l acqua, a parità di dissipazione di energia ( = kh) segue la strada a maggior pendenza, ovvero a maggior gradiente idraulico, la velocità di filtrazione è diretta perpendicolarmente alla linea equipotenziale: le linee di corrente sono normali alle linee equipotenziali. 1 1 Figura 4. L introduzione delle linee equipotenziali e delle linee di corrente permette di tracciare il reticolato di flusso. Il reticolato di flusso è costituito dall inviluppo di tutte le linee equipotenziali e di corrente relativo ad un determinato moto di filtrazione.

8 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 8 Date due linee equipotenziali (fig. 5) con potenziali 1 > tracciando due linee di corrente distanti tra loro L si ottiene una maglia del reticolato di flusso. La maglia del reticolato di flusso ha la proprietà di avere le diagonali (fig. 6) congiungenti i vertici opposti tra loro perpendicolari in modo che la larghezza e la lunghezza media della maglia coincidano: L n. 1 Figura 5. 1 Figura 6. Maglia di reticolato di flusso. La maglia poiché delimitata da due linee di corrente è un tubo di flusso. Per la proprietà della maglia /s = 1/n = ( 1 - )/n e la velocità di filtrazione si può esprimere come: NM1 V = k (16) Nn la portata q che attraversa la superficie di profondità unitaria L è:

9 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 9 NM1 q = VL = k L (17) Nn Se il campo di moto in esame è caratterizzato da n tubi di flusso di sezioni L, la portata totale per unità di profondità è: NM1 Q = n k L (18) Nn Se il reticolato di flusso ha N salti equipotenziali con maglie per cui L = n, posta la differenza dei potenziali ad inizio ed alla fine del reticolato di flusso = h, si ha: Nh Q = n k (19) N Una traversa fluviale (fig. 7) ritiene un invaso di acqua con un dislivello h = h O. Si realizza un moto di filtrazione dalla posizione di monte caratterizzata da un potenziale più alto ( = k h O + cost) alla posizione di valle caratterizzata da un potenziale più basso ( = cost). Il tracciamento del reticolato di flusso viene eseguito a partire dal contorno. Le posizioni del piano campagna a monte della traversa sono caratterizzate da un potenziale = k h O, quelle a valle da un potenziale = 0 (si assume la costante nulla per semplicità). Figura 7. Reticolato di flusso. La superficie inferiore della traversa ed il fondo impermeabile non possono essere attraversati dal moto di filtrazione e costituiscono quindi una linea di corrente. Note le condizioni al contorno è possibile tracciare il reticolato di flusso per tentativi ricordando che le linee di corrente ed e quipotenziali sono tra loro ortogonali e che le maglie devono avere le diagonali congiungenti i vertici opposti perpendicolari tra loro. La portata totale che passa da valle a monte è secondo l eq. (19):

10 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 10 h O Q = n k (0) N Il reticolato di flusso permette inoltre il calcolo della spinta dell acqua sulla superficie di fondazione dell opera, denominata sottospinta ed il calcolo per la verifica al sollevamento del terreno al piede dell opera (sifonamento). Tracciare il reticolato significa delineare l andamento del potenziale nel terreno. Noto il valore del potenziale rimangono determinati il valore del carico idraulico h * = /k (si pone nullo il valore della costante in modo che per h = h O, = k h O ) e della pressione p = h *. Ipotizzando un andamento lineare del valore del potenziale attraverso un salto di pressione è possibile determinare il grafico delle sottopressioni agenti sulla superficie di fondazione dell opera (fig. 8). La risultante delle sottopressioni viene determinata sommando vettorialmente le spinte idrostatiche calcolate per ogni singolo salto di potenziale. L utilizzo del reticolato di flusso per la verifica al sifonamento (sollevamento del terreno al piede dell opera idraulica) viene spiegato nel paragrafo seguente. La funzione potenziale è stata introdotta ipotizzando un coefficiente di permeabilità del terreno k costante in tutte le direzioni ed in tutto il terreno (terreno omogeneo ed isotropo). Se il terreno è relativamente omogeneo si può assumere che il valore di k sia costante in tutto il terreno ma non in tutte le direzioni (terreno anisotropo). In genere si ha un coefficiente di permeabilità nella direzione orizzontale maggiore di quello nella direzione verticale (k ORIZ > k VERT ). L equazione di continuità q/s = 0 relativa alla conservazione della massa in un tubo di flusso può essere scritta con valore puntuale in forma differenziale: V V V + + x y z = 0 (1) essendo x, y ed z le coordinate cartesiane. In ipotesi di moto bidimensionale (costante in una direzione), con x direzione orizzontale ed z direzione verticale si ha V/y = 0. Sostituendo la legge di Darcy nell equazione (1), con k X ed k Z coefficienti di filtrazione nelle direzioni x ed z si ha: h h k X + k Z = 0 x x z z () Per terreno di caratteristiche omogenee k X ed k Z sono costanti e l equazione () diventa:

11 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 11 h h X + k Z = 0 x z k (3) Nel caso di terreno isotropo si ha k = k X = k Z e l equazione (3) diventa: h h kh kh k + = + x z x z = 0 (4) sostituendo il potenziale nell equazione (4) si ha: x + z = 0 (5) il reticolato di flusso è la soluzione grafica di questa equazione che è inoltre equivalente all equazione che si ottiene dividendo ambo i membri dell equazione (5) per k: h h + x z = 0 (6) Si può dimostrare che l equazione appena scritta può descrivere il campo di moto per un terreno anisotropo adottando un opportuno coefficiente di permeabilità. Adottando le seguenti coordinate cartesiane: si ha: x x'= (7) k X z z'= (8) k Z x = x' (9) k X z = z' (30) k Z che sostituiti nell equazione (3) permettono:

12 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 1 h h k + k Z ( x' k ) ( z' k ) X = X Z 0 (31) assumendo un terreno di caratteristiche uniformi si possono togliere dal termine della derivata i coefficienti di filtrazione ottenendo: che diventa: h h k + k k X Z ( x' ) k ( z' ) X = Z 0 (3) h x' h + z' = 0 (33) La stessa equazione può essere determinata utilizzando le seguenti coordinate cartesiane: x x'= (34) k / X k Z per cui: z = z (35) x = x' k Z /k X (36) z = z (37) che sostituiti nell equazione (3),, in un terreno omogeneo, permettono: e quindi h h X + k = 0 (k /k ) k X Z Z ( x' ) ( z' ) h h k + k Z ( x' ) ( z' ) Z = 0 (38) (39) In questo caso si risolve il reticolato di flusso e si modifica la sola coordinata orizzontale (figura 9).

13 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 13 Figura 9. Aggiustamento di scala per reticolato di flusso per mezzo poroso anisotropo. Il reticolato di flusso della figura 10 diventa quello in figura 11. Un modo per controllare se nell operazione di passaggio da un reticolato all altro non si siano commessi errori è di osservare le maglie del reticolato: devono essere allungate nel verso della direzione in cui si ha un coefficiente di permeabilità maggiore. Ad esempio se k X = 4 k Z la maglia deve essere costituita da quadrilateri la cui dimensione maggiore è quella orizzontale. Figura 10. Reticolato di flusso per coefficiente di filtrazione costante. Figura 11. Reticolato di flusso per coefficiente di filtrazione non costante. Il reticolato di flusso trasformato permette il calcolo delle pressioni. Per conoscere il valore della portata si può sempre utilizzare l equazione (19) con un coefficiente di permeabilità medio pari a: k = k ORIZ k VERT (40)

14 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 14 Sifonamento Il sifonamento in un mezzo poroso sede di un moto di filtrazione consiste nella rimozione di una parte delle particelle solide che lo compongono quando la forza di filtrazione agente sulle particelle costituenti il mezzo supera le forze di resistenza intrinseca dello stesso. Per sifonamento di un opera idraulica soggetta a moto di filtrazione si intendono due fenomeni diversi. Nel caso di opera idraulica con corpo non filtrante per sifonamento si intende il sollevamento del terreno al piede di valle (nel verso del moto di filtrazione) della stessa. Nel caso di opera idraulica con corpo filtrante o di terreno di appoggio di opera idraulica a corpo non filtrante per sifonamento si intende la rimozione da parte del moto di filtrazione delle particelle più piccole costituenti il corpo filtrante (od il terreno di appoggio di un opera idraulica a corpo non filtrante) con la conseguente formazione di una zona a permeabilità maggiore che agisce da richiamo di acqua con conseguente aumento della velocità di filtrazione che diventa capace di erodere e trasportare via le particelle più grandi del mezzo creando veri e propri canali (piping). Il processo di erosione e trasporto del materiale si amplifica determinando il collasso della parte sovrastante. Sifonamento di opera idraulica con corpo non filtrante Il sifonamento si realizza al piede di valle della struttura (fig 1) dove il moto di filtrazione è diretto verticalmente verso l alto. In questo caso il terreno è soggetto ad una forza di filtrazione diretta verticalmente verso l alto ed alla forza peso in condizioni sommerse (alla forza peso viene sottratta la spinta di galleggiamento di Archimede) diretta verticalmente verso il basso. Il sifonamento avviene quando la forza di filtrazione uguaglia e/o supera il peso sommerso del terreno. Questo significa che la pressione effettiva a causa dell attrito dovuto alla filtrazione si annulla ed il terreno perde consistenza ed ogni capacità di portanza e di resistenza. Con riferimento alla figura 1 indicata con h la pressione dell acqua all estremo inferiore del diaframma di valle della struttura di profondità d. La pressione effettiva in condizioni sommerse per un volume cilindrico di terreno di base unitaria ed altezza d è:

15 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 15 Figura 1. Sifonamento del piede di valle di un opera idraulica. Z = ( SAT - ) d (41) essendo SAT ed rispettivamente il peso specifico del terreno in condizioni di saturazione e quello dell acqua. La pressione dovuta alla forza di filtrazione è: Z = d i (4) la dissipazione di energia è: i = h/d (43) per cui sostituendo la (43) nella (4) questi diventa: Z = h (44) L annullamento della pressione effettiva si ottiene dalla seguente relazione: Z - Z = 0 (45) sostituendo le (41) ed (4) nella (45) si ha: ( SAT - ) d - h = 0 (46) da cui si ottiene la condizione di annullamento della pressione effettiva

16 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 16 ( &) & SAT d = 1 & h (47) La condizione di annullamento della pressione effettiva può anche essere espressa tramite il gradiente idraulico critico i C. Sostituendo la (4) nella (47) si ottiene: i C (& &) SAT = (48) & La stima del gradiente idraulico critico viene eseguita calcolando il carico idraulico h. Per configurazioni relativamente semplici il calcolo di h e di i C sono disponibili nei grafici disegnati nelle figure sottostanti.

17 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 17 Per configurazioni non relativamente semplici come quella in figura 8 il valore di h viene calcolato mediante il tracciamento del reticolato di flusso. Il fenomeno di sollevamento del fondo scavo si estende secondo Terzaghi (1943) al volume di terreno profondo d e largo d/ (fig. 1). Per tener conto di eventuali zone di terreno diverse da quelle di progetto a causa di fenomeni eterogeneità ed anisotropia e di eventuali difetti costruttivi si introduce un fattore di sicurezza pari a 4-5 (Harr, 196; Taylor 1948; Cedergren, 1989) nella stima delle condizione di annullamento delle pressioni effettive per cui le (47) ed (48) diventano: i ( &) C & SAT d = 4 & h (& &) (49) SAT = 0.5 (50) & Se nelle condizioni di progetto (o di verifica di un opera già esistente) il gradiente idraulico è prossimo a quello critico si possono utilizzare tre possibili accorgimenti: 1) aumentare la profondità di infissione del diaframma in modo da aumentare il percorso dell acqua e quindi diminuendo il valore del carico idraulico h; ) caricando la superficie del terreno con materiale di grossa pezzatura. In questo modo non si modifica la filtrazione e si aumenta il valore della pressione effettiva dovuta al peso; 3) diminuendo il carico idraulico mediante operazioni di drenaggio eseguite con dreni o pozzi di sfogo;

18 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 18 Sifonamento del terreno di fondazione di opera idraulica a corpo non filtrante In questo caso non è possibile esprimere la forza di resistenza dovuta al mutuo incastro delle particelle in modo da confrontarla con quella di filtrazione per ottenere una relazione riguardo le condizioni critiche per l instaurarsi del fenomeno. Si fa quindi riferimento al gradiente idraulico critico, relativo al percorso di una particella a contatto con la fondazione, determinato empiricamente da Lane. Con riferimento alla figura a il gradiente idraulico è: i = h h1 + h + h 3 + h 4 + ( l1 + l + l3 )/3 (51) Le distanze in orizzontale o con angolo rispetto alla verticale minore di 45 sono divise per tre per uniformarle a quelle lungo la verticale perché la resistenza al moto in direzione orizzontale è minore che in direzione verticale (il coefficiente di permeabilità in direzione verticale è minore di quello orizzontale ed a parità di velocità si ha quindi un maggior gradiente idraulico in direzione verticale). Figura a. Criterio di Lane. Secondo Lane il gradiente idraulico calcolato secondo la (51) non deve essere superiore ad un valore critico dipendente dalla natura del terreno e presentato nella sottostante tabella: tabella Valori del gradiente idraulico critico per sifonamento del terreno di sottofondazione Terreno Gradiente idraulico critico

19 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 19 Sabbia molto fine o limo Sabbia fine Sabbia media Sabbia grossa 0. Ghiaia fine 0.5 Ghiaia media 0.86 Ghiaia grossa con ciottoli Massi con ciottoli e ghiaia 0.4 Argilla molle Argilla media 0.5 Argilla compatta Argilla molto compatta 0.65 Trincea filtrante Per trincea filtrante si intende uno scavo rettilineo di sezione costante al di sotto della linea di falda freatica per cui l acqua riempie lo scavo fino alla superficie della falda (fig. b). Figura b. Trincea filtrante. Se si emunge una portata mediante una o più pompe si realizza un moto di filtrazione piano (fig. c).

20 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 0 Figura c. Moto di filtrazione in trincea filtrante. Si introduce l ipotesi di Dupuit che assume una distribuzione idrostatica delle pressioni lungo la verticale che equivale ad assumere verticali le linee equipotenziali che in realtà sono curve (fig.d). L ipotesi di Dupuit è tanto più valida quanto minore è la curvatura della superficie della falda. In questo caso la direzione del moto s è unidirezionale e normale alla trincea e la velocità può essere espressa secondo la legge di Darcy in termini di derivata totale: Figura c. Moto di filtrazione h dh V = k i = k = k (5) s ds Figura d. Schematizzazione del moto secondo l ipotesi di Dupuit. La portata per unità di larghezza q diventa:

21 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 1 da cui dh q = V h = k h ds (53) q ds = - k h dh (54) integrando la (54) tra s 1 ed s, essendo L = s s 1 si ha: s ds = s1 q h q k h dh (55) ( s s ) h1 h h1 1 = k (56) esplicitando la portata a primo membro si ottiene: h1 h q = k (57) L Noti i valori di h ed h 1 tramite l equazione (57) è possibile calcolare la portata emunta. Nel caso di un pozzo in falda freatica da cui si emunge una portata Q il moto è a simmetria radiale (fig e), ovvero si hanno stessi valori di velocità V e carico piezometrico h ad ogni distanza r dal centro del pozzo. Figura e. Simmetria radiale del campo di moto.

22 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione In questo caso la portata Q è: Q = V r h (58) Per la simmetria radiale in ipotesi di Dupuit il gradiente idraulico è: dh i = (59) dr Sostituendo la (59) nell espressione della velocità secondo la legge di Darcy (eq. 3) e quest ultima nella (58) si ha: da cui dh Q = - V r h k (60) dr dr Q r = k V h dh (61) integrando la (61) tra r 1 ed r si ha: r r1 dr h Q = V k h dh (6) r h1 Q ln ( r / r ) V k( h ) = (63) 1 h1 esplicitando la portata a primo membro della (63) si ottiene: 1 h h Q = V k (64) ln(r /r ) 1 Le equazioni (57) e (64) sono state ottenute tramite l ipotesi di Dupuit ed i punti in cui stimare i valori del carico idraulico h 1 ed h devono essere in una zona della falda la cui superficie presenti una bassa curvatura. Da risultati empirici il carico h può essere preso pari ad h O mentre il carico h 1 può essere preso ad una distanza: R = C (H h O ) k 1/ (65)

23 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 3 Essendo C una costante che nel caso del pozzo vale C = 3000, mentre nel caso di trincea filtrante vale C = k è il coefficiente di permeabilità in m/s, H è il valore del carico idraulico relativo alla superficie piezometrica indisturbata. La dimensione di R è in metri. Falda Artesiana La falda artesiana è una falda compresa tra due strati di terreno impermeabili. Il moto di filtrazione, in analogia a quello in tubo, avviene in pressione (fig g). Figura g. Schema di moto di filtrazione per emungimento di portata in falda artesiana Indicata con b lo spessore della falda artesiana il moto di filtrazione in un pozzo da cui si emunge una portata Q è a simmetria radiale. In questo caso la portata Q è: Q = V r b (66) Per la simmetria radiale in ipotesi di Dupuit il gradiente idraulico è dato dalla eq. (59) che sostituito nella legge di Darcy e questa nella (66) permette: da cui dh Q = V k r b (67) dr dr Q = kv b dh (68) r

24 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 4 integrando la (68) tra r 1 ed r si ha: r r1 Q ln dr h Q = V k b dh (69) r h1 ( r / r ) V k( h ) = (70) 1 h1 esplicitando la portata a primo membro si ottiene: h1 h Q = V k (71) ln(r /r ) 1 Per il calcolo di h ed h 1 si assume h 1 = h O (r 1 = r O ) ed r tale che ln (r /r O ) 6. Il valore massimo della portata da emungere deve essere tale che la velocità di filtrazione V sia minore di k 1/ /15 con k coefficiente di filtrazione espresso in m/s. Argini L argine è un opera di difesa posta ai lati di un corso d acqua per evitare fenomeni di esondazione durante eventi di piena. Le opere arginali, di solito sono costituite da rilevati in terra. Gli argini o rilevati con altezza inferiore a 10 m devono essere realizzati con materiale di bassa permeabilità per evitare un moto di filtrazione attraverso il corpo arginale caratterizzato da alti valori di velocità e quindi di portata che comporterebbero: 1) allagamento del terreno da proteggere dall esondazione ) rottura per sifonamento In genere si utilizzano materiali omogenei caratterizzati da un coeffciente di permeabilità 10-6 k 10-4 che vengono compattatti in opera per aumentarne la stabilità. Se è possibile e se è necessario si dispone all interno dell argine uno strato di materiale meno permeabile (fig. h) denominato nucleo. Il nucleo ha la funzione di abbattere il carico idraulico di almeno il 35% e riduce quindi notevolmente la portata di filtrazione perché impone basse velocità di filtrazione. Il nucleo deve essere sufficientemente plastico per adattarsi a eventuali cedimenti od assestamenti senza che si creino fratture al suo interno.

25 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 5 Figura h. Corpo arginale con nucleo. In ipotesi di Dupuit la portata di filtrazione è, analogamente alla trincea filtrante: dh q = V h = k h (7) ds La linea di filtrazione in un corpo arginale è diversa in presenza o meno del nucleo (fig. i). Figura i. Linea di filtrazione in corpo arginale con e senza nucleo. Nel caso di presenza di nucleo caratterizzato da un coefficiente di permeabilità k la portata che filtra attraverso la zona di confine tra il materiale omogeneo principale (caratterizzato da un coefficiente di permeabilità k 1 ) ed il nucleo può essere scritta con riferimento alla figura (l) in due diversi modi: dh1 q = k1 h1 ds (73) dh q = k h ds (74) Dall uguaglianza dei primi membri delle equazioni (73) e (74), considerando inoltre h 1 h si ha:

26 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 6 dh1 dh k1 = k (75) ds ds poiché k 1 > k dalla (75) discende: dh 1 dh < (76) ds ds Figura l. Filtrazione in corpo arginale con nucleo. La presenza del nucleo che abbatte del 35% il carico di monte h O di fatto impone bassi valori del gradiente idraulico nella zona a monte del nucleo che comporta bassi valori di velocità e quindi della portata filtrante. A valle del nucleo è posto uno strato di materiale molto permeabile denominato dreno che ha la funzione di raccogliere ed incanalare l intera portata di filtrazione compresa quella sottoarginale. Il dreno è costituito quindi di materiale ad elevata permeabilità contribuendo imponendo un ulteriore abbattimento del carico idraulico nel nucleo. L acqua drenata dai dreni viene raccolta in canalette/tubi dotate di fessure di forma circolare o rettangolare tali che: D b (77) D d (78) essendo D 85 il passante all 85% del materiale costituente il dreno, b ed d rispettivamente la larghezza (se rettangolare) ed il diametro della fessura (se circolare) delle cabalette. Le relazioni

27 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 7 (77) e (78) sono date dall US Army et al. (1971) e riportate in Cedergren (1989, p160) ed hanno la funzione di evitare migrazioni di materiale dal dreno nelle canalette. Il nucleo (od il materiale omogeneo costituente l argine) ha permeabilità molto inferiore a quella del dreno ed è composto da particelle la cui dimensione media è inferiore a quella delle particelle costituenti il dreno. Sorge il pericolo che parte del materiale fino costituente il nucleo (od il terreno omogeneo dell argine) migri nel dreno creando un fenomeno di sifonamento all interno del nucleo (o del corpo arginale). Per evitare questo inconveniente, quando si pongono a contatto strati di materiale a permeabilità differente li si separa con un filtro costituito da uno strato di materiale che permette il passaggio dell acqua impedendo al tempo stesso il passaggio di materiale da uno strato all altro. Per prevenire il passaggio di materiale da uno strato all altro occorre che la dimensione dei vuoti del filtro sia sufficientemente piccola da bloccare la gran parte delle particelle dello strato da proteggere: D D filtro < 5 (79) strato la relazione (79) è un criterio empirico anche denominato rapporto di sifonamento. Inoltre deve anche essere: D D filtro strato > 5 (80) quest ultima relazione garantisce una permeabilità sufficiente al filtro (0 5 volte superiore a quella del materiale) atta ad eliminare elevati carichi idraulici e forze di filtrazione all interno del filtro stesso. Nel caso in cui il materiale dello strato da proteggere abbia un ampia curva granulometrica con presenza di elementi di pezzatura elevata questi ultimi devono essere esclusi dalla curva granulometrica da cui si ottengono i parametri D 15 e D 85 altrimenti la matrice fine potrebbe essere non protetta, ovvero potrebbe migrare nel filtro. Alle due relazioni precedenti US Army et al. (1971) aggiunge per prevenire il movimento delle particelle dallo strato al filtro la seguente relazione: D D filtro 5 (81) strato Una se pur piccola migrazione di materiale fine tra lo strato da proteggere ed il filtro avviene con il risultato che il materiale migrato si incastra tra i vuoti della parte del filtro immediatamente a

28 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Idrologia Moti di filtrazione 8 contatto con lo strato da proteggere costituendo uno strato di materiale a metà tra i due che impedisce una erosione successiva e/o continuata. Le relazioni (79), (80) e (81) devono essere applicate anche alla coppia filtro-dreno a parti invertite (ad esempio D 15 dreno < D 85 filtro). In ogni caso il filtro deve essere dimensionato, ovvero il suo coeffciente di permeabilità deve essere tale che: k = Q i A (8) essendo Q la portata drenata dal filtro, i il gradiente idraulico ed A la sezione del filtro normale alla direzione del moto di filtrazione. Per le dighe in terra Sherard ha fissato ulteriori criteri (più restrittivi) per la scelta del D 15 ed D 85 del filtro in funzione della composizione granulometrica dello strato di materiale da proteggere. Questi criteri sono riassunti nell USBR (1987). US Army, US Navy and US Air Force (1971) Dewatering and Groundwater Control for Deep Excavations TM , NAVAC P418, AFM 88-5, Chapter 6 US Bureau of Reclamation (1987) Design Standards No. 13, Embankment dams, Chap.5, Protective Filters