Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2012/2013

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1 Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. / Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi June, Problema. Il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce che Quindi f (x) = cos x +. f (π) = cos π + =, f (π) = cos π + =.. La funzione f è periodica, ed il suo periodo si ottiene determinando il più piccolo T > tale che f () = f (T ) = cos T + cos T =. L ultima equazione ha soluzione T/ = kπ e quindi T = kπ con k Z, da cui si deduce che il periodo è π. Essendo 9 < π possiamo studiare f ed f in [, π]. Notiamo che f è continua insieme a tutte le sue derivate. Il segno di f si determina risolvendo la disequazione trigonometrica cos x. Risolviamo (in [, π]) l equazione associata: cos x =, x = π ± π + kπ, x = π, x = π. Università di Nizza Università di Catania

2 Mediante confronto grafico fra le funzioni y = cos x e y = si deduce che f (x) per x [, π] x [ π, π]. La derivata di f si calcola facilmente come f (x) = sin x. Quest ultima è maggiore o uguale zero (nell intervallo [, π]) quando sin x x [π, π] x [π, π]. Quindi f risulta decrescente in [, π] e crescente in [π, π]. Per studiare la concavità di f calcoliamo la derivata seconda f (x) = cos x, e calcoli simili ai precedenti mostrano che in [, π] vale f (x) [π, π]. Quindi f è concava in [, π] [π, π], convessa in [π, π] ed ha due flessi in x = π e x = π. Il grafico qualitativo di f è dunque il seguente.,5,5,5 -π π π π π 5π -,5 - -,5 Se ne deduce che f è crescente in [, π] [ π, π] (dove f è non negativa) e decrescente in [ π, π] (dove f è non positiva). Dunque il punto x = π è di massimo locale, mentre il punto x = π è di minimo locale. Inoltre f è convessa in [π, π] e concava in [, π], con un flesso in x = π. Il grafico qualitativo di f è il seguente.

3 π π π π 5π,5,5,5,5,5. Il valor medio di f in [, π] è dato, mediante il teorema fondamentale del calcolo integrale, come π f (x) dx = π f(π) f() π = π cos( t π ) + dt, essendo chiaramente f() =. Poiché cos( t ) + dt = sin( t ) + t + c, si ottiene π π f (x) dx = sin( t ) + t π = π (π ) =.. Per il principio di Cavalieri, il volume del solido W si determina integrando l area delle sezioni. Si ha quindi Vol(W ) = Problema A(x) dx = sin( π x) dx = π cos(π x) = π.. Essendo la funzione f pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all asse y e per studiarne l andamento sarà sufficiente limitarci all intervallo [, + [. Osserviamo che, per ogni x [, + [, risulta f(x) >. Inoltre, il punto di intersezione tra il grafico di f e l asse y ha coordinate (, ). La funzione è

4 continua insieme a tutte le sue derivate in [, + [ e non possiede asintoti verticali. Poiché si ha: lim f(x) = x + lim x + la retta y = è asintoto orizzontale per f. + x =, Per studiare la crescenza e la decrescenza di f calcoliamo la sua derivata prima in [, + [: ( ) f x (x) = = + x ( + x ) = 6x ( + x ). È immediato osservare che f (x) x [, + [. Di conseguenza, tenendo conto della parità della funzione f, essa risulta crescente nell intervallo ], ], decrescente nell intervallo [, + [ e possiede un punto di massimo assoluto in x =. Per studiare la concavità e la convessità di f calcoliamo la sua derivata seconda in [, + [: ( f (x) = 6 da cui ricaviamo x ( + x ) ) = 6 ( + x ) x ( + x ) ( + x ) = 6 x ( + x ), f (x) x x. Di conseguenza, tenendo conto della parità della funzione f, essa rivolge la concavità verso l alto nell insieme ], ] [, + [, rivolge la concavità verso il basso nell insieme [, ] e possiede due punti di flesso ( ) in corrispondenza ad x = ± di coordinate ±,. Il grafico qualitativo Φ della funzione f è il seguente:

5 ,5,5,5,5, ,5 - -,5 Troviamo l equazione della retta tangente a Φ nel punto Q : (, ). Per far ció è sufficiente calcolare f () =, ovvero il coefficiente angolare della retta cercata. Imponendo il passaggio per il punto Q ricaviamo: y = (x ) x + y =. Per ragioni di simmetria l equazione della retta tangente a Φ nel punto P : (, ) ha equazione x y + =. La loro intersezione è il punto R : (, ). Di conseguenza il quadrilatero convesso individuato da esse con le rette OP e OQ è il quadrilatero OP RQ rappresentato in figura.,5,5,5,5, ,5 - -,5 Notiamo che i punti P ed Q sono simmetrici rispetto all asse delle y (che passa per O) di conseguenza i segmenti OP e OQ hanno la stessa lunghezza. 5

6 Inoltre i punti R ed O sono simmetrici rispetto alla retta y = (che passa per i punti P e Q) e dunque i segmenti OQ e OR hanno la stessa lunghezza. Il quadrilatero OP RQ, avendo tutti i lati uguali, è dunque un rombo. Per calcolare gli angoli richiesti osserviamo che l angolo acuto individuato dalla retta OQ e dall asse delle x ha tangente. Poichè arctan 6 dopo facili calcoli si trovano le misure richieste pari a: 6 5 e 5.. La costruzione descritta è rappresentata nella seguente figura: La circonferenza Γ ha equazione x + (y ) = x + y y =. Osserviamo subito che se la retta t è l asse delle x, il punto A coincide col il punto B e ha coordinate (, ) Γ. La retta generica passante per O ha equazione y = mx, dove m R \ {}. Escludiamo il valore m = perchè in questo caso la retta t non interseca la retta y =. Poiché il punto A appartiene alla retta t esso ha coordinate (x, mx); imponendo la condizione di appartenenza a Γ otteniamo: x + m x mx = x =, x = m + m. Il secondo valore è quindi l ascissa di A (essendo A O) e di conseguenza la sua ordinata é m m + m = m + m. Si ricava facilmente che il punto B ha coordinate generiche (, ). Il punto di m cui vogliamo verificare l appartenenza a Φ ha dunque coordinate (, m ). m +m 6

7 Esso appartiene a Φ se e solo se: m + m = + m, che è facilmente verificata per ogni m.. Il cerchio delimitato da Γ ha area π; ci basta dunque verificare che il valore del seguente integrale definito, che esprime l area della regione R, è lo stesso: + x dx = + ( x [ ) dx = arctan x ] = π = π. Tenendo conto della parità della funzione f l area della regione compresa tra Φ e tutto l asse delle x è data dal valore del seguente integrale definito: + f(x) dx = lim a + a f(x) dx = lim a + arctan a = π.. Chiamiamo A(y) l area della sezione di W con il piano perpendicolare all asse y passante per y. Il principio di Cavalieri asserisce che il volume di W si determina integrando tale funzione. Poichè il massimo e il minimo di f in [, ] sono rispettivamente y = e y =, è chiaro che A(y) = per y < o y >. L area A(y) è quella di un cerchio di raggio r(y), dove r(y) risolve y = f(r(y)), ossia, con facili calcoli, ( ) r(y) = y A(y) = πr(y) = π y. L integrale definito che fornisce il valore del volume di W è dunque il seguente: ( ) π y dy = π( log ). 7