Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25

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1 Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25

2 Sistemi di riferimento in R 3 e vettori 2 / 25 In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte mediante l uso dei vettori. Dal nostro punto di vista, i vettori e le loro operazioni ci consentiranno di capire come descrivere e studiare rette, piani e altre figure geometriche mediante l utilizzo delle coordinate cartesiane (e della trigonometria). L ambiente geometrico più naturale nel quale introdurre il concetto di vettore è lo spazio euclideo tridimensionale (denotato R 3 ), in cui assumeremo che sia fissato un sistema di assi cartesiani. Stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra punti dello spazio R 3 e terne ordinate di numeri reali. Scrivendo P 0 =[x 0,y 0,z 0 ], diremo che x 0, y 0, z 0 sono le coordinate (cartesiane) di P 0.

3 Figura 3 / 25 z z 0 P 0 = [x 0, y 0, z 0 ] O y 0 y x 0 x

4 Prime formule 4 / 25 Semplici formule, già viste in R 2, consentono di calcolare rispettivamente la distanza tra due punti P 0, P 1 e il punto medio M di un segmento P 0 P 1. Più precisamente, siano P 0 =[x 0,y 0,z 0 ] e P 1 =[x 1,y 1,z 1 ]: allora una doppia applicazione del Teorema di Pitagora fornisce P 0 P 1 = (x 1 x 0 ) 2 +(y 1 y 0 ) 2 +(z 1 z 0 ) 2. (1) Inoltre, [ x0 + x 1 M =, y 0+ y 1, z ] 0+ z (2)

5 5 / 25 Vettori Il modo più intuitivo, anche se matematicamente non completamente rigoroso, per introdurre questo concetto è il seguente: diremo che un vettore v è identificato mediante l assegnazione di 1 una lunghezza; 2 una direzione; 3 un verso. La maniera più semplice per rappresentare simultaneamente queste tre cose consiste nell utilizzare un segmento orientato, diciamo da un punto P 0 ad un punto P 1.

6 Vettori rappresentati da segmenti orientati 6 / 25 v P 1 z P 0 P 1 x y v = v P 0

7 Vettori 7 / 25 La lunghezza di v coincide con la distanza fra i suoi estremi. La direzione di v è quella della retta che passa per P 0 e P 1. Il verso è quello indicato dalla freccia. Una simbologia alternativa per v è (P 1 P 0 ). P 0 è detto punto di applicazione del vettore. Osservazione: se consideriamo un segmento orientato (P 1 P 0 ) ottenuto da (P 1 P 0 ) mediante traslazione rigida, ci rendiamo conto subito che (P 1 P 0 ) e (P 1 P 0 ) hanno uguale lunghezza, direzione e verso. In altre parole, essi costituiscono due diverse rappresentazioni dello stesso vettore v. Allora, per descrivere nel modo più semplice possibile le operazioni con i vettori, converrà da ora in avanti fissare l origine O come punto di applicazione dei vettori.

8 Vettori 8 / 25 Ne segue che le coordinate di (P 1 P 0 ) sono date da [x 1 x 0,y 1 y 0,z 1 z 0 ], dove [x i,y i,z i ] sono le coordinate di P i,i=0,1. Questo spiega anche la simbologia (P 1 P 0 ) (si legge P 1 meno P 0 ) per il vettore che va da P 0 a P 1. Per vari motivi di natura algebrica e fisica, conviene introdurre un vettore anomalo, che chiameremo vettore nullo e identificheremo con l origine O =[0, 0, 0]. Il vettore nullo, anche denotato 0, ha lunghezza zero, direzione e verso non precisati.

9 Vettori Punto della situazione: identifichiamo dunque un vettore v con le coordinate del suo estremo P : di solito, scriveremo v=[v 1,v 2,v 3 ]. La lunghezza di v (detta anche modulo) si indica v e, in funzione delle sue coordinate, è espressa da v = v v2 2 + v2 3. (3) 9 / 25

10 Vettori applicati in O 10 / 25 z P = [v 1, v 2, v 3 ] v x O v = (P O) y

11 Operazioni sui vettori 11 / 25 Le prime operazioni che possiamo definire sono la somma di due vettori e la moltiplicazione di un vettore per un numero reale. Siano v=[v 1,v 2,v 3 ], u=[u 1,u 2,u 3 ] due vettori, e sia λ R: definiamo u+ v=[u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ] ; (4) λ v=[λv 1, λv 2, λv 3 ]. (5) Si può notare che, se λ 0, λ v ha la stessa direzione di v e verso coincidente con quello di v se e solo se λ > 0. Inoltre, usando (9), è immediato verificare che λ v = λ v.

12 Regola del parallelogramma 12 / 25 Se u e v non sono allineati, allora u+ v coincide con la diagonale del parallelogramma da essi individuato. Inoltre, considerando uno dei due triangoli in cui la diagonale divide il parallelogramma, vediamo che l intuizione geometrica supporta la validità della seguente disuguaglianza: u+ v u + v u, v R 3, (6) detta, appunto, disuguaglianza triangolare.

13 Versori 13 / 25 Definizione: Diciamo che un vettore v è un versore se v =1. Siano i=[1,0,0], j=[0,1,0] e k=[0,0,1]. Questi tre versori sono detti versori, rispettivamente, dell asse x, y e z. Notiamo che ogni vettore v=[v 1,v 2,v 3 ] può essere riscritto, usando le (4) e (5), come v=v 1 i+v 2 j+v 3 k. (7) Ciò evidenzia anche il significato di v i,i=1,2,3, come componenti di v lungo i tre assi.

14 Componenti di un vettore 14 / 25 z v 3 k v ı j v 2 y x v 1

15 Esercizio Esercizio: Sia v=[2, 2 5, 5]. Determinare un versore w parallelo a v. Soluzione: [ 2 w= 7, 2 ] 5 7, 5 7 oppure w= [ ] 2 7, 2 5 7, 5 7. Nota: si usa indicare vers( v)= v v. (8) In parole, vers( v) è quel vettore che ha modulo 1 e direzione e verso coincidenti con quelli di v. 15 / 25

16 Prodotto scalare 16 / 25 DEFINIZIONE: Siano u=[u 1,u 2,u 3 ] e v=[v 1,v 2,v 3 ] due vettori. Il loro prodotto scalare, denotato u v, è definito da: u v=u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ( 3 i=1 u i v i ). (9)

17 17 / 25 Prodotto scalare È immediato notare che u u= u 2 (10) u v= v u (λ u) v=λ( u v)= u (λ v) λ R.

18 Ortogonalità tra vettori 18 / 25 La proprietà fondamentale del prodotto scalare (che non dimostriamo) è u v= u v cos θ, (11) dove abbiamo indicato con θ l angolo formato da u e v, con 0 θ π. In particolare, deduciamo da (11) che, se u, v 0, allora u v u v=0 (12) dove indica che u e v sono tra loro ortogonali.

19 Esercizio 19 / 25 Esercizio: Siano v, u due vettori non nulli. Determinare il vettore w proiezione di v lungo u. Soluzione: v ϑ w u w=( v vers( u)) vers( u)= ( v u) u. (13) u 2 Nota: questo risultato vale anche per π 2 θ π (verificarlo!).

20 Prodotto vettoriale 20 / 25 Definizione: Siano u=[u 1,u 2,u 3 ], v=[v 1,v 2,v 3 ]. Il loro prodotto vettoriale (indicato u v, oppure u v) è il vettore definito da u v=[u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ]. (14) Calcolo di u v mediante il concetto di determinante di una matrice quadrata di ordine 3.

21 21 / 25 Proprietà del prodotto vettoriale Proprietà algebriche: u v= ( v u) u, v R 3 ; (15) u ( v+ w)=( u v)+( u w) u, v, w R 3 ; (λ u) v=λ( u v)= u (λ v) u, v R 3, λ R.

22 22 / 25 Proprietà del prodotto vettoriale Proprietà geometriche: indicando ancora con θ (0 θ π) l angolo compreso tra u e v, si ha: (i) u v = u v sinθ ; (ii) Se u v 0, allora u v è ortogonale al piano individuato da u e v; (iii) Se u v 0, allora i tre vettori { u, v, u v} formano una terna destrorsa. La dimostrazione matematica completa di queste proprietà geometriche non è elementare e perciò è omessa.

23 Terna destrorsa 23 / 25 u v E u ϑ v Terna destrorsa significa che l omino solidale con u v vede u andare a sovrapporsi su v muovendosi in senso antiorario nell angolo θ.

24 Prodotto misto 24 / 25 Definizione: Siano u, v, w tre vettori. Allora il loro prodotto misto è u ( v w) ( R). (16) Nota: il calcolo del prodotto misto equivale a quello del determinante di una matrice quadrata di ordine 3.

25 Prodotto misto Volume Parallelepipedo = u ( v w). v w u w h α v Dimostrazione:Volume= v w h= v w ucosα = u ( v w). 25 / 25