Sistemi ottici come sistemi lineari

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1 Sistemi ottici come sistemi lineari Corso di Principi e Modelli della Percezione! Prof. Giuseppe Boccignone! Dipartimento di Informatica Università di Milano! boccignone@di.unimi.it L occhio che vede luce

2 L occhio che vede luce Diffrazione della luce nell atmosfera Generazione di radiazione elettromagnetica che include onde di l fra i 400 e 700 nm Assorbimento e riflessione da parte di oggetti Trasmissione e rifrazione Assorbimento e trasduzione Dalla luce alle immagini Radianza L della scena Irradianza E dell immagine

3 Dalla luce alle immagini Mettiamo insieme radiometria e geometria sorgente sensore normale Consideriamo la propagazione della luce in un cono elemento di superficie Intensità dell immagine = f (normale, riflettanza, illuminazione ) Scena Radianza L della scena Lente Irradianza E dell immagine Mapping Lineare! Dalla luce alle immagini Conservazione del flusso: la radianza è costante lungo il raggio di propagazione

4 Dalla luce alle immagini piano dell immagine areola superficie areola immagine f z angoli solidi dei due coni (arancione e verde): (1) angolo solido sotteso dalla lente: (2) Dalla luce alle immagini piano dell immagine areola superficie areola immagine f z Flusso ricevuto alla lente da = Flusso proiettato sull immagine in (3) }conservazione flusso Da (1), (2), e (3): L irradiamento all immagine è proporzionale alla radianza della scena! Angoli visivi piccoli! Gli effetti della 4 a potenza del coseno sono trascurabili.

5 Riassumendo... sorgente sensore normale elemento di superficie Scena Radianza L della scena Lente Irradianza E all immagine! E = k L! Mapping Lineare! L ottica dell occhio come sistema lineare x Intensità posizione sul monitor x Intensità x posizione sulla retina x

6 //Funzione di dilatazione della linea LSF //formalizzazione input immagine sul monitor output: immagine sulla retina

7 //proprietà di omogeneità monitor retina //proprietà di omogeneità: formalizzazione input immagine sul monitor output: immagine sulla retina

8 //proprietà di sommabilità monitor retina + = //proprietà di sommabilità: formalizzazione input immagine sul monitor output: immagine sulla retina

9 //sovrapposizione = omogeneità + sommabilità sovrapposizione se un sistema soddisfa il principio di sovrapposizione è un sistema lineare //linearità: formalizzazione input immagine sul monitor output: immagine sulla retina

10 //invarianza per traslazione monitor retina //invarianza per traslazione: formalizzazione input immagine sul monitor output: immagine sulla retina se un sistema soddisfa tutte queste proprietà è sistema lineare spazio-invariante

11 //come funziona S? Abbiamo caratterizzato le proprietà esterne, computazionali di S: input vs. output. Ma come funziona internamente? Che cos è l operatore S? //come funziona S? funzione dilatazione del punto Proviamo con un esperimento semplice: diamo in ingresso un impulso luminoso input output il minimo input che possiamo fornire al sistema è un impulso di luce, un punto luminoso l output che si ottiene è un punto dilatato che caratterizza la risposta del sistema all impulso: la Point Spread Function (PSF)

12 //funzione di dilatazione del punto Sistemi ottici diversi sono caratterizzati da PSF diverse! //funzione di dilatazione del punto Sistemi ottici diversi sono caratterizzati da PSF diverse! aberrazione corneale aberrazione corretta PSF PSF

13 //funzione di dilatazione del punto input output il minimo input che possiamo fornire al sistema è un impulso di luce, un punto luminoso l output che si ottiene è un punto dilatato che caratterizza la risposta del sistema all impulso: la Point Spread Function (PSF) //sistema ideale input output punto luminoso stesso punto luminoso la Point Spread Function: è un impulso

14 //sistema ideale input output punto luminoso stesso punto luminoso la Point Spread Function: è un impulso //l impulso luminoso perfetto......

15 //l impulso luminoso perfetto: modello... modello matematicamente questa PSF e poi la restringo //l impulso luminoso perfetto: modello Posso utilizzare una funzione Gaussiana bidimensionale modello matematicamente questa PSF e poi la restringo

16 //l impulso luminoso perfetto: modello... //l impulso luminoso perfetto: modello Questa funzione che abbiamo definito euristicamente come la successione di funzioni!! non è una vera e propria funzione ma una distribuzione o funzione generalizzata ed è chiamata delta di Dirac Intuitivamente vale 0 ovunque, fatta eccezione per l origine dove è infinita Per trattarla in modo rigoroso: teoria delle distribuzioni (fuori dai nostri scopi)

17 //l impulso luminoso perfetto: modello Le proprietà che definiscono la delta di Dirac sono le seguenti //come funziona S? Ma come funziona internamente? Che cos è l operatore S? Usiamo PSF

18 //come funziona S? Ma come funziona internamente? Che cos è l operatore S? Usiamo PSF convoluzione //come funziona S? Ma come funziona internamente? Che cos è l operatore S? output input PSF convoluzione

19 //come funziona S? Ma come funziona internamente? Che cos è l operatore S? Il comportamento di un sistema lineare spazio-invariante è completamente caratterizzato dalla sua PSF Data un'immagine in ingresso f, un sistema lineare spazio-invariante S caratterizzato dalla PSF h, produce un'immagine in uscita g effettuando la convoluzione!! Conoscendo la PSF conosciamo perfettamente il sistema. Dalla luce alle immagini L irradianza dell immagine è il risultato di una convoluzione sorgente sensore normale elemento* di*superficie Intensità*dell immagine**=**f*(*normale,**rifle9anza,*illuminazione*) **Scena **Radianza*L* della*scena O9ica* (Lenti,*ecc) ** Irradianza*E* dell immagine Mapping*Lineare!