Determinare l ammontare x da versare per centrare l obiettivo di costituzione.

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Paolo Bono
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1 Esercizi di matematica finanziaria 1 VAN - DCF - TIR Esercizio 1.1. Un investitore desidera disporre tra 3 anni d un capitale M = euro. Investe subito la somma c 0 pari a 1/4 di M. Farà poi un ulteriore impiego d importo x tra m = 1 anno. Tali impieghi sono fatti in capitalizzazione composta, con tasso annuo nominale d interesse j 2 = 10% convertibile semestralmente. Calcolare il tasso annuo effettivo i corrispondente al tasso j 2. Determinare l ammontare x da versare per centrare l obiettivo di costituzione. Scrivere il DCF per questa operazione di investimento e calcolare il TIR. Il tasso annuo effettivo i equivalente al tasso annuo periodale j 2 è: i = ) 2 1 = 10.25% 2 Il conseguimento dell obiettivo presuppone che valga la seguente equazione in x: )3 + x ) 2 = da cui: x = Il DCF dell operazione è: Gx) = x x) 3 Ovviamente il tasso interno x dell operazione è: x = 10.25% Esercizio 1.2. Un impresa cede a una banca due crediti: C 1 = 1000 euro che scade tra un anno e C 2 = 2000 euro che scade tra due anni. La banca immediatamente accredita all impresa il valore scontato A dei due crediti, calcolato a sconto commerciale, con tasso di sconto d = 10%. Calcolare A. 1

Calcolare il tasso annuo effettivo i corrispondente al tasso j 2. Determinare l ammontare x da versare per centrare l obiettivo di costituzione.

2 Scrivere l espressione del DCF Gx) dell operazione dal punto di vista della banca e determinare qual è il tasso x d interesse composto implicito nell operazione. Si ha: A = C 1 1 d) + C 2 1 2d) = ) ) = 2500 Il Discount Cash Flow richiesto è: e s annulla per tassi > 1) in: Gx) = x x) 2 x = % Esercizio 1.3. Un finanziamento di euro deve essere rimborsato con tre rate annue costanti d ammontare R. Il tasso contrattuale è % annuo composto). 1. Calcolare R. 2. Scomporre la seconda rata in quota capitale e quota d interesse. 3. Qualora il finanziatore effettuasse una ritenuta di 100 euro all erogazione e maggiorasse le rate di rimborso dell 1% per spese d incasso, il tasso effettivo globale del finanziamento x salirebbe oltre %. Senza calcolare x ma solo esplorando il segno in un punto opportuno DCF Gx) dell operazione, accessori inclusi, dire se x è sopra il tasso-soglia della normativa anti-usura, pari a 15%. 1. La rata d ammortamento s ottiene dall equazione: = R ) 1. 3 e risulta: R = La prima quota interessi è: I 1 = = 00 2

Un finanziamento di 10.000 euro deve essere rimborsato con tre rate annue costanti d ammontare R. Il tasso contrattuale è % annuo composto). 1. Calcolare R. 2.

3 quindi la prima quota di capitale è: R I 1 = = Il debito residuo dopo un anno è allora: La seconda quota interessi è: D 1 = = I 2 = = e la seconda quota capitali, pertanto, è: 3. Poichè l ammontare effettivo erogato: C 2 = R I 2 = = S = 9900 e la rata maggiorata per spese d incasso è R = = il DCF dell operazione dal punto di vista del finanziatore, accessori inclusi, è: ) 1 Gx) = x x) x) 3 Il suo valore in corrispondenza al tasso-soglia è: 1 G0.15) = ) = Poichè la funzione Gx) è decrescente sul tratto finanziariamente rilevante e il suo valore in 0.15 è di segno negativo, allora x < 15% Esercizio 1.4. Un impresa cede un credito di euro a 4 mesi ad una Banca che le riconosce 9500 euro dichiarando d applicare il tasso annuo di sconto commerciale del %. 1. Calcolare il valore scontato A del credito sulla base delle condizioni bancarie dichiarate. 2. Calcolare il tasso di sconto commerciale d effettivamente applicato dalla Banca. 3

1 il DCF dell operazione dal punto di vista del finanziatore, accessori inclusi, è: ) 1 Gx) = 9900 + 4205.1 1 + x + 1 1 + x) 2 + 1 1 + x) 3 Il suo valore in corrispondenza al tasso-soglia è: 1 G0.

4 3. Tenuto conto del fatto che la Banca dal netto ricavo di 9500 euro deduce 50 euro per rimborso di spese, determinare il TEG tasso effettivo globale) x ad interessi composti effettivamente applicato dalla Banca. 1. Si ha: ) 4 A = = Il tasso di sconto commerciale effettivamenta applicato dalla Banca risolve l equazione: ) d = 9500 ed è: 3. Il TEG risolve l equazione: e risulta: d = = x) 4/ x = Esercizio 1.5. Un impresa dispone di tre crediti d ammontare C 1 = 1000, C 2 = 2000, C 3 = 3000, con scadenze rispettive 1, 2 e 3 mesi. Li cede a una Banca che le riconosce il loro valore scontato A a sconto commerciale con tasso annuo di d = 9%. Si calcoli A. Il tesoriere d impresa sostiene che il costo del finanziamento supera il % annuo composto. Dire se ciò è vero o falso, motivando la risposta attraverso il calcolo del VAN al %. Se la Banca, immediatamente dopo aver acquistato i crediti, li cedesse a sua volta con ricavo A calcolato a sconto commerciale d = 8%, quale sarebbe il profitto P da essa conseguito? Il netto ricavo è: 3 A = C s 1 s ) d = = ) ) ) = =

Il TEG risolve l equazione: e risulta: d = 0.15 9500 50 = 10000 1 + x) 4/ x = 0.18496 Esercizio 1.5. Un impresa dispone di tre crediti d ammontare C 1 = 1000, C 2 = 2000, C 3 = 3000, con scadenze rispettive 1, 2 e 3 mesi.

5 Il costo del finanziamento a interessi composti non supera la soglia indicata per il seguente motivo: il VAN dal punto di vista della Banca a tasso % risulta: Poichè A = 3 = 1000 = = < 0 1.1/ 1.2/ 1.3/ C s 1 s d ) = il profitto fatto dalla Banca sarebbe: ) ) ) = P = A A = = 11.7 Esercizio 1.6. Si consideri il seguente investimento 1. Se ne determini il TIR. 2. Si calcoli il VAN a tasso 15%. 1. Il DCF dell operazione è: Epoche Flussi Gx) = x x) 2 L equazione Gx) = 0 fornisce l unica soluzione finanziariamente accettabile: 2. Il VAN richiesto è: x = 0.2 = 20% G0.15) = ) 2 =

6 Esercizio 1.7. Un investimento produce i movimenti di cassa descritti nella tabella seguente: Scadenza Movimenti di cassa 0 C Si determini C in modo che il tasso implicito dell investimento sia 25%. 2. Si calcoli il VAN G a tasso 18%. 1. Da: si trae: 2. Il VAN richiesto è: C = 0 C = 100 G = = Esercizio 1.8. Si consideri l investimento con i movimenti di cassa e le rispettive scadenze: 1. Se ne determini il TIR x. Scadenza Movimento Se ne determini il VAN con costo opportunità dei mezzi propri i = 5%. 1. Poichè il DCF dell operazione è: Gx) = x x) 2 il TIR risulta: x = % 6

25 2 = 0 C = 100 G = 100 + 25 1.18 + 5 1.18 2 = 10.9595 Esercizio 1.8. Si consideri l investimento con i movimenti di cassa e le rispettive scadenze: 1.

7 2. Il VAN risulta: G5%) = = Esercizio 1.9. Un consumatore compra a rate un impianto stereo che costa A = Deve versare subito il 10% del costo dell impianto. S impegna a pagare n = 4 rate semestrali uguali d ammontare R. Il tasso annuo contrattuale è i = 10%. 1. Calcolare la rata R. 2. Scrivere il DCF Gx) dell operazione dal punto di vista del finanziatore. 3. Assumendo che sul consumatore siano caricati oneri accessori immediati per istruzione pratica nella misura di 80 e che le rate siano maggiorate del 2% per spese d incasso, si dica, motivando, se è vero che il TAEG dell operazione supera il tasso annuo contrattuale di almeno 4 punti percentuali. 1. Si ha: 2. Si ha: R = 3. Il DCF con oneri è: Poichè: / / / /1.1 2 = 65.5 Gx) = G 1 x) = G 1 14%) = x) s/2 4 l asserzione è falsa in quanto G 1 è decrescente x) s/ = < ) s/2 Esercizio Un investimento origina i seguenti movimenti di cassa: Data Movimento a a a 7

Scrivere il DCF Gx) dell operazione dal punto di vista del finanziatore. 3.

8 con a = Determinare il tasso implicito x. 2. Determinare il VAN Gi) con costo opportunità dei mezzi propri i = 10%. 1. Il tasso implicito risolve l equazione: x x) 2 = 0 e risulta: x = % 2. Il VAN richiesto è: G = ) 2 = Esercizio Si consideri l investimento seguente: 1. Se ne calcoli il tasso interno x. Data Flusso Per sostenerlo finanziariamente s ottiene un mutuo d ammontare 60, che sarà rimborsato con due rate alle scadenze 1, 2. Le quote di capitale sono costanti e il tasso d interesse annuo caricato dalla banca che eroga il mutuo è 10% nel primo anno e % nel secondo anno. Si determini il cash-flow generato dal mutuo alle scadenze 0, 1, Il tasso interno risolve l equazione: onde la sola radice accettabile: x x) 2 = 0 x = % 8

Data Flusso 0 100 1 100 2 20 2. Per sostenerlo finanziariamente s ottiene un mutuo d ammontare 60, che sarà rimborsato con due rate alle scadenze 1, 2.

9 2. Il cash-flow generato dal mutuo è il seguente: Data Flusso Esercizio 1.. Un impresa ha in portafoglio due cambiali che scadono, rispettivamente, tra 3 e 6 mesi e il cui ammontare è 2000 euro ciascuna. La cede a una Banca che riconosce all impresa il loro valore in regime di sconto commerciale A. 1. Calcolare A sapendo che il tasso annuo di sconto commerciale applicato dalla Banca è d = 8%. 2. Scrivere il DCF dell operazione Gx) dal punto di vista della Banca nell ipotesi di pagamenti regolari degli effetti a scadenza. 3. Determinare il tasso interno x dell operazione. 1. Risulta: 2. Si ha: A = ) Gx) = x) 1/4 1 + x) 1/2 ) 6 = L equazione da risolvere è 3880y y = 0 L unica soluzione accettabile è y e il tasso interno dell operazione è x = y ) = 8.476% 9

La cede a una Banca che riconosce all impresa il loro valore in regime di sconto commerciale A. 1. Calcolare A sapendo che il tasso annuo di sconto commerciale applicato dalla Banca è d = 8%. 2.

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