5 nona-decima sett. 3 maggio h; 7-12 maggio h

Transcript

1 ISTITUZIONI DI MATEMATICA per SFP, a.a.2011/12 secondo semestre, geometria 1 quinta settimana 2-5 aprile 2012, 4h Sfogliamo un libro di testo di una quarta primaria: intuizione o imprecisione? Prova di esonero. 2 sesta settimana aprile 2012, 2h Sfogliamo un libro di testo di una quarta primaria: intuizione o imprecisione? commenti alla Prova di esonero. cammini minimi su poliedri 3 settima settimana aprile 2012, 4h topologia e invarianti. triangolarizzazione di superfici e formula di Eulero per superfici poliedrali solidi platonici, esistono solo 5 solidi regolari (con dimostrazione). teorema di Talete sulle rette parallele (dimostrazione completa) e similitudini di figure piane 4 ottava settimana aprile 2012, 4h teorema di talete, criteri di similitudine dei triangoli, primo e secondo teorema di Euclide con dimostrazione, moltiplicare due segmenti e dividere un segmento in parti uguali graficamente, applicando Talete. Trasformazioni del piano: isometrie, traslazioni, rotazioni, riflessioni assiali e centrali, composizione di isometrie, struttura di gruppo, punti fissi, figure fisse, orbite. 5 nona-decima sett. 3 maggio h; 7-12 maggio h Isometrie, similitudini, omotetie, rosoni fregi e tassellazioni, gruppi cristallografici del piano, gruppi di simmetrie di figure piane. coordinate cartesiane del piano e dello spazio, equazioni della retta nel piano e del piano nello spazio. equaizone della circonferenza. soluzione di alcuni problemi geometrici e rappresentazione di alcuni movimenti del piano. 1

2 NOTE Teorema (classificazione delle isometrie piane). Le uniche isometrie piane sono traslazioni, rotazioni, riflessioni e le loro composizioni. Le traslazioni e le rotazioni non alterano l orientazione delle figure, le riflessioni e le alterano l orientazione delle figure nota: si dice glissoriflessione la composizione di una riflessione assiale con una traslazione. I gruppi di isometrie si distinguono in gruppi discreti e gruppi continui. E continuo il gruppo di tutte le traslazioni definite dai vettori che giacciono su una retta fissata, ovvero definito dai vettori kv dove v é un vettore fissato e k un numero reale (verificare che si tratta di un gruppo). E invece discreto il gruppo delle traslazioni definite dai vettori nv dove v é un vettore fissato e n un numero intero. La definizione é la seguente: Un gruppo G di isometrie si dice discreto se per ogni punto P del piano esiste un numero reale r P > 0 tale che nel cerchio di centro P e raggio r P non cadano punti dell orbita di P, diversi da P. Intuitivamente le orbite descritte dai punti del piano sotto l azione delle isometrie del gruppo non sono curve continue, ma successioni discrete, finite o infinite, di punti, che non si accumulano. Concentriamoci duqnue sui gruppi discreti di isometrie, possono dunque essere di cardinalitá finita o infinita. Si noti che i gruppi finiti di isometrie non possono contenere traslazioni, o glissoriflessioni, perché la composizione di queste trasformazioni, che si pu ripetere indefinitamente, deve ancora essere un elemento del gruppo. Il teorema del punto fisso ci dice che un gruppo discreto di isometrie piane finito se e solo se ammette almeno un punto fisso, cioé un punto che viene trasformato in se stesso da tutte le isometrie del gruppo. Un esempio di gruppo finito é il gruppo ciclico C n delle rotazioni attorno a un punto fisso, generate da un angolo α in rapporto razionale con π, ad esempio C 4 é generato dalla rotazione di un angolo α = π/2: trovo un gruppo fatto da 4 elementi, di cui uno é l identitá. C 8 é generato dalla rotazione di un angolo α = π/4: trovo un gruppo fatto da 8 elementi, di cui uno é l identitá. Se aggiungiamo a C n una riflessione ρ attorno ad un asse passante per il centro di rotazione, e quindi tutte le simmetrie composte da ρ e da una rotazione di C n, troviamo il gruppo diedrale D n, delle simmetrie del poligono regolare di n lati (si noti che D n ha 2n elementi): C 1 = {Id} C 2 = {Id, ρ ρ 2 = I} C n = {Id, ρ ρ n = I} indicando con σ la riflessione (σ 2 = I): D n = {Id, σ, ρ σ 2 = ρ n = I, ρ n 1 σ = σρ} Si dimostra che non esistono altri gruppi finiti di isometrie del piano, vale infatti il seguente teorema: Teorema (di Leonardo): Ogni gruppi finito di isometrie del piano gruppo di rosoni ha almeno un punto fisso ed un gruppo diedrale oppure ciclico finito. Questo teorema dunque fornisce la classificazione dei gruppi finiti di isometrie piane, in particolare: esistono infiniti gruppi finiti di isometrie piane diversi. I gruppi finiti di isometrie del piano sono detti gruppi di rosoni mettendo in evidenza le figure di cui sono gruppi di simmetria. Quali sono i gruppi discreti di isometrie piane che non sono finiti? Sappiamo che dovranno contenere almeno una traslazione (e quindi infinite, ottenute per applicazione ripetuta di essa). Si distinguono due tipi: i gruppi discreti di isometrie piane che hanno una sola retta direttrice per le traslazioni sono generate da una sola di esse, oppure due. Nel primo caso, i modelli di simmetria si estendono, indefinitamente ripetuti, in entrambi i versi di una direzione, riempiendo una striscia di piano: siono i gruppi dei fregi. 2

3 Nel secondo caso le traslazioni sono generate da due traslazioni indipendenti, si hanno i gruppi di mosaici, detti anche gruppi cristallografici piani o tassellazione regolare: esiste una regione del piano che si ripete in due direzioni non parallele e riempie tutto il piano. Sia in un fregio che in un mosaico é presente dunque un modulo che si ripete indefinitamente (in una oppure in due direzioni) che pu possedere una propria simmetria interna. Classificare questi gruppi significa distinguere tutti i modi possibili con i quali un modulo puó ripetersi, tenendo conto della compatibilitá tra la simmetria interna, locale, del modulo e la simmetria globale dettata dalle traslazioni. Per quanto riguarda i gruppi di mosaici, ad esempio, possiamo considerare due vettori che generano la tassellazione mediante traslazione: il paralellogramma da essi definito detto paralellogramma di base, ed é un modulo della tassellazione. All interno del parallelogramma puó esserci una porzione che si ripete per simmetria dentro il parallelogramma stesso, magari anche per rotazione: questa figura é detta disegno minimo. Dunque, due tassellazioni appartengono alla stessa classe se: a)i rispettivi disegni minimi hanno la stessa sagoma b) le trasformazioni da applicare ai disegni minimi per ottenere ognuna delle due tassellature sono le stesse Si dimostra che esistono solo 7 gruppi di fregi distinti, e 17 gruppi di mosaici distinti, ovvero tali che le classi di tassellature regolari sono esattamente 17. Come esercizio, possiamo cercare tutte le tassellazioni regolari del piano che abbiano come modulo un solo poligono regolare: ci sono solo 3 configurazioni possibili. Infatti la misura degli angoli del tassello dovr essere un divisore intero di 360, i poligoni regolari che hanno angoli che dividono l angolo giro sono solo il triangolo equilatero (60 ), il quadrato (90 ) e l esagono regolare (120 ). Per lo stesso motivo si scopre che le rotazioni possibili in una tassellazioen regolare possono essere solo di angoli 60 ; 90 ; 120 cui aggiungere ovviamente 180 e 360. ESERCIZI (i) Commentare le pagine del libro di testo il giardino dei saperi, ed Giunti, per la quarta primaria, relative al capitolo dedicato alle relazioni. (ii) Dimostrare che angoli opposti la vertice in due rette incidenti nel piano sono uguali, usando la proposizione tutti gli angoli piatti sono uguali. (iii) Dimostrare che la somma degli angoli interni di un triangolo é un angolo piatto. (iv) Dimostrare che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati é (n 2)π, senza induzione. (v) Che cosa é l ortocentro? che cosa ha a che vedere con il V postulato? (vi) Esibire un cammino minimo su un cubo che ne unisca due vertici, analogamente su un tetraedro e su un dodoecaedro?. (vii) Dire in maniera intuitiva di cosa si occupa la topologia, e di cosa non si occupa. (viii) Quale é il gruppo fondamentale di un cerchio? e di un 8? e del perimetro di un trifoglio? e di quello di un quadrifoglio? (ix) Qual é il significato di degli invarianti in una geometria? (x) Cosa vuol dire triangolarizzare una superficie (xi)? (xii) Cosa si intende per invariante rispetto ad un tipo di geometria? (xiii) Illustrare la formula di Eulero per le superfici poliedrali? 3

4 (xiv) Far vedere che un toro non é topologicamente equivalente ad una sfera. (xv) Quale é il significato intuitivo di genere di una superficie. (xvi) Illustrare la formula di Gauss Bonnet per una superficie chiusa. (xvii) Triangolare correttamente la superficie totale di un cubo cui stato sottratto un parallelepipedo con le facce parallele a quelle del cubo, altezza pari al un lato del cubo, e passante per il centro del cubo. Calcolare la caratteristica di Eulero di questa triangolarizzazione (notare che essa non é vertici-spigoli+facce, se si considerano vertici, spigoli e facce della superficie non triangolarizzata, perché?). (xviii) Descrivere i solidi platonici. (xix) Dimostarre che un solido regolare puó avere come faccia laterale soltanto un quadrato, un triangolo equilatero oppure un pentagono. (xx) Dimostrare il teorema di Talete sulle rette parallele, nella versione di Euclide, e completare la dimostrazione dell eunuciato moderno (xxi) Dare la definizione di figure piane simili e enunciare e dimostrare i criteri di similitudine dei triangoli. (xxii) Dimostrare il primo e il secondo teorema di Euclide. (xxiii) Mostrare la risoluzione grafica della moltiplicazione di due segmenti e della divisione di un segmento in parti uguali, applicando Talete. (xxiv) Dare la definizione di trasformazione isometrica del piano, fare un esempio di traslazione, rotazione, riflessione assiale e centrale. (xxv) Fare un esempio di trasformazione del piano che non é una isometria. (xxvi) Mostrare che con la composizione di funzioni, l insieme delle siometrie ha struttura di gruppo, e mostrare alcuni sottogruppi, chiarendo quale condizione algebrica deve verificare un sottoinsieme di un gruppo per essere un sottogruppo. (xxvii) Fare un esempio di sottogruppo finito del gruppo di isometrie, che sia di ordine maggiore di 2, uno di un sottogruppo infinito, e uno di ordine due. (xxviii) Dimostrare che le traslazioni del piano con l operazione di composizione costituiscono un gruppo. (xxix) Dimostrare che la rotazione del piano per un angolo di π/6 genera un gruppo, con l operazione di composizione. (xxx) Mostrare come si puó decomporre una traslazione come composizione di simmetrie assiali. (xxxi) Cosa si intende per punti fissi, figure fisse, orbite. (xxxii) Che cosa é il gruppo di simmetria di una figura piana, quando una figura piana si dice simmetrica? (xxxiii) descrivere il gruppo delle simmetrie di un triangolo equilatero, di un triangolo isoscele, di un quadrato. (xxxiv) Descrivere il gruppo diedrale e le sue proprietá. (xxxv) Che cosa si intende per gruppo di rosoni, gruppo di fregi, di mosaici. Quanti sono? (xxxvi) Che cosa una tassellazione regolare del piano, e quali sono i poligoni ammessi in questa tassellazione? Perché non ce ne possono essere altri? 4

5 (xxxvii) Disegnare un esempio di tassellazione del piano. (xxxviii) Nel piano con coordinate cartesiane ortogonali, calcolare l equazione della retta r per i punti di coordinate P (2, 5), e Q(8, 9), il punto R(1, 2) appartiene alla retta? Quanto vale il coefficiente angolare di questa retta? (xxxix) Scrivere l equazione parallela alla retta r dell esercizio precedente e passante per l origine. (xl) Nel piano con coordinate cartesiane ortogonali, calcolare la distanza dei punti di coordinate P (2, 5), e Q(8, 9), (xli) Nel piano con coordinate cartesiane ortogonali, scrivere l equazione del fascio di rette di centro P (4, 5) (xlii) Nello spazio, calcolare le coordinate del punto di intersezione della retta del piano r definita delle equazioni x 5y + 27z = 23, 4x y + 11z 12 = 0, e il piano 2x 3y z = 0. (xliii) Risolvere il sistema lineare in due equazioni e due variabili 7x 12y = 5 3x + 11y = 4 (xliv) Valutare se la retta dello spazio definita dalle equazioni x 3y 2z 2 = 0 e x y + z = 0 incontra oppure contenuta nel piano di equazione 3y z + 1 = 0. (xlv) Nel piano con coordinate cartesiane ortogonali, scrivere l equazione della circonferenza di centro P (3, 2) e raggio 5. Calcolarne l area. (xlvi) Dato un piano cartesiano ortogonale, scrivere le equazioni della traslazione del piano cartesiano lungo il vettore v(2, 4). (xlvii) Dato un piano cartesiano ortogonale, scrivere le equazioni della riflessione del piano cartesiano rispetto all asse x = 0. (xlviii) Dato un piano cartesiano ortogonale, scrivere le coordinate del punto P riflesso del punto P ( 2, 3) rispetto all asse x. (xlix) In un piano cartesiano ortogonale, scrivere le equazioni della trasformazione isometrica del piano data dalla traslazione di un fattore +5 lungo l asse x. (l) In un piano cartesiano ortogonale, scrivere le equazioni della trasformazione isometrica del piano data dalla traslazione di un fattore +5 lungo l asse x, e 6 lungo l asse y, calcolare le coordinate del trasformato del punto P (3, 4). (li) In un piano cartesiano ortogonale, scrivere le equazioni della omotetia f di rapporto 3, e comporla poi con la traslazione t v definita dal vettore v = (2, 0). Scrivere anche la composizione t v f. 5