Breve Storia della Geometria (TITOLO)

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1 Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di Metodi Numerici per il Design Bree Storia della Geometria Leione 5 maro Rette nello spaio F. Caliò Bree percorso nel mondo della geometria (/6) La geometria nasce in Egitto aree di figure piane una prima regola per l area del cerchio la conoscena del triangolo di lati 4 5 La geometria egiia è un insieme di conoscene destinate alla risoluione di problemi pratici : è tecnica La geometria presso i Babilonesi e gli Indiani dienta tecnica più raffinata scoperta del triangolo rettangolo Bree percorso nel mondo della geometria (/6) La geometria presso i Greci VII-VI sec a.c. diiene sciena, cioè organiaione con regole della conoscena e possibilità di dimostrare similitudine di Talete teorema di Pitagora La geometria presso i Greci IV sec. a.c. diiene costruione scientifica organiata, acquisisce cioè carattere sistematico-deduttio Euclide : Elementi (enti geometrici, postulati, regole di deduione logica) 4 Bree percorso nel mondo della geometria (/6) La geometria chiude la sua epoca d oro con Apollonio, Diofanto, Archimede XVIII XIX sec. discussioni sul V postulato di Euclide: Se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte doe gli angoli sono inferiori a due retti tentatii falliti di dimostraione negaione del V postulato Ł geometrie non euclidee Bree percorso nel mondo della geometria (4/6) La geometria analitica nasce in Francia nel XVII sec. legame fra algebra e geometria Cartesio (596-65) e Fermat (6-655) applicano gli strumenti dell algebra all analisi geometrica degli antichi 5 6 Leione del 5 Maro

2 Bree percorso nel mondo della geometria (5/6) Per risolere un problema geometrico con il metodo analitico: si traduce il problema geometrico in un problema algebrico, associando a ogni ente della geometria il corrispondente ente dell algebra, ad esempio in geometria analitica piana: punto Ł coppia ordinata di numeri (,) retta Ł = m + q parabola Ł = a + b + c interseione di cure Ł sistema delle equaioni che le descriono si risole il problema algebrico si interpretano, da un punto di ista geometrico, le Bree percorso nel mondo della geometria (6/6) L aento del calcolo ettoriale e matriciale ha infine permesso di esprimere in modo più duttile e sintetico la geometria analitica che diiene geometria analitica parametricoettoriale Esempio: soluioni algebriche troate rappresenta una retta al ariare del parametro t in = t + = t = 4 Assi cartesiani nello spaio REGOLA DELLA MANO DESTRA Geometria Analitica nello Spaio INDICE POLLICE MEDIO 9 Terna destra Piani coordinati PIANO PIANO PIANO Leione del 5 Maro

3 Coordinate cartesiane nello spaio Quota P (,,) P (,,) Ascissa P (,,) Ordinata P (,,) Concetti Introduttii sui Vettori Geometrici 4 Segmento orientato P Vettore Geometrico B P B VETTORE APPLICATO ALL ORIGINE B P Direione: questa Verso: da P a P A A IL MODULO DEL VETTORE È LA LUNGHEZZA DEL SEGMENTO Lunghea = P P 5 6 A O UNO QUALSIASI DI QUESTI SEGMENTI ORIENTATI RAPPRESENTA LO STESSO VETTORE GEOMETRICO Definiione di Punto Vettore (Punto Rappresentatore) Corrispondena fra Vettori Geometrici e Vettori Algebrici Dato un sistema cartesiano nello spaio ( assi) Punto ettore (o rappresentatore): è il secondo estremo di un ettore applicato all origine P (,,) 7 8 Leione del 5 Maro

4 Corrispondena fra Vettore Geometrico e ettore Algebrico Dato un ettore geometrico Prendiamo un riferimento cartesiano con origine in A Il punto rappresentatore B ha coordinate (,,) Corrispondena biunioca fra la terna ordinata (,,) (ettore algebrico a componenti) e il punto B (secondo estremo di ) B(,,) = = A SONO LE COMPONENTI DI 9 Rette nello Spaio Sia = Osseraione (/) il ettore algebrico corrispondente al ettore geometrico applicato in O aente come punto rappresentatore P(,, ) e Osseraione (/) Q( k, k, k) P(,, ) k il ettore algebrico corrispondente al w = k = k ettore geometrico applicato in O aente come punto rappresentatore k Q( k, k, k) con k R ricordiamo che e w sono paralleli e dunque O,P,Q sono allineati Retta passante per O in forma ettoriale (/) Un qualunque punto R rappresentatore di un ettore algebrico r t r = t = t t al ariare di t nell insieme dei numeri reali è allineato a O e P R( t, t, t) P(,, ) Retta passante per O in forma ettoriale (/) t è dunque un ettore parametrico, r = t = t t R rappresentante una retta passante t per O Il ettore = si può assumere come ettore direione della retta 4 Leione del 5 Maro 4

5 Parametri e coseni direttori di una retta (/) Data l espressione ettoriale di una retta: t r = t = t t R t i tre parametri (,, ) ed ogni terna di parametri ad essi proporionali si chiamano: parametri direttori della retta Parametri e coseni direttori di una retta (/) I coseni direttori del ettore di direione della retta r cos r = cos r = cos r = sono i coseni direttori della retta r t t = t t Retta per un punto in forma ettoriale Dato un punto P (,, ), applichiamo a P il ettore t Al ariare del parametro t in R il punto rappresentatore del ettore somma s= () +t descrie una retta passante per P V () P s t t 7 Retta per un punto, in forma ettoriale t + r = t + t R t + è il ettore parametrico rappresentante una retta passante per P (,, ) e aente come ettore di direione = 8 esercii ) Indiiduare un espressione ettoriale della retta passante per O e di parametri direttori (5, -4,) 5t r = 4t t t R )Un espressione ettoriale della retta passante per O e di coseni direttori è costruibile. Infatti la somma dei /,/ quadrati,/ dei coseni proposti è. esercii ) I coseni direttori dell asse delle ascisse sono: cos = cos = π cos = cos = π cos = cos = e dunque una sua espressione ettoriale è: Una espressione ettoriale è: / t r = / t / t 9 t Leione del 5 Maro 5

6 esercii 5)Espressione ettoriale della retta passante per P(,4,), Q(,,): + t ( ) t + t + r = + = ( 4) t + 4 = 4t + 4 t ( ) t + t + + t + t 6)Data la retta r = + t 4t possiamo dedurre che: r non passa per O passa per il punto P(-,,) Q(,5,4) appartiene ad r (t=) cos r = cos r = 9 cos r = 4 9 r ha parametri direttori proporionali alla terna (,,4) ha coseni direttori: = 9 FINE Leione del 5 Maro 6