Il confronto tra DUE campioni indipendenti

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1 Il cofroto tra DUE camioi idiedeti

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3 Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo idiedeti dalle osservazioi i u secodo camioe (il caso di camioi o idiedeti, o aaiati, verrà discusso i seguito). Si suoe quidi di avere e osservazioi rilevate su due oolazioi co medie µ e µ igote e variaze σ e σ. H 0 : µ µ H : µ µ Le medie µ e µ soo uguali Le medie µ e µ soo diverse I questo caso dobbiamo itrodurre ua uova variabile, la variabile differeza tra due medie camioarie ovvero x x.

4 Se è vera l iotesi ulla, la teoria statistica (ma ache la semlice ituizioe) ci dice che la uova variabile x x, differeza di due variabili di cui coosciamo le rorietà, tede ad essere gaussiaa co media ari a 0 e variaza ari a (σ / σ / ), ovvero alla somma delle variaze delle sigole variabili x e x. [Ituitivamete, se er esemio ua variabile è uiforme tra 5 e 0, e u altra è uiforme tra e 4, la loro differeza oscillerà tra (5-4) e 9 (0-), e quidi la disersioe della variabile differeza sarà sicuramete maggiore risetto alle sigole variabili] La uova variabile x x, quidi, se è vera l iotesi ulla e doo oortua (e usuale) stadardizzazioe, ha media ari a zero, e segue ua distribuzioe ormale stadardizzata z o ua distribuzioe t a secoda che le variaze σ e σ siao ote o siao stimate sulla base dei valori camioari (esattamete come accade er i test er u camioe).

5 Cofroto tra medie. Caso. Variaze σ e σ ote: si alica il test z [NON è la situazioe dell esemio iiziale co i friosomi!] La statistica test z calc x σ x σ ha distribuzioe ormale stadardizzata. Seguedo la logica esosta el aragrafo recedete, ossiamo codurre la verifica di iotesi seguedo l aroccio delle regioi di accettazioe/rifiuto a artire dal valore critico z α/.oure calcolado il -value di z calc

6 Esemio La carica batterica resete i tamoi boccali viee aalizzata i due grui di azieti (essu aziete aartiee a etrambi i grui) Il rimo gruo è costituito da idividui che stao er etrare i osedale er u ricovero, il secodo da idividui che escoo dall osedale doo u ricovero di ua settimaa Si vuole determiare se il eriodo trascorso i osedale iflueza la carica batterica Le variaze si suogoo uguali tra loro elle due oolazioi e ote da eserimeti recedeti. DATI: x 567.3; x ; σ σ 500, 0; z calc Il valore critico (α0.05) è ari a z α/ z e la regioe di accettazioe va da -.96 a.96. No ci soo quidi evideze forti (ad α0.05) er cocludere che u eriodo trascorso i osedale ifluezi la carica batterica boccale. Il -value di z calc è 0., e ovviamete la coclusioe è la stessa ache seguedo l' aroccio del -value

7 Cofroto tra due medie. Caso. Variaze σ e σ igote ma uguali: si alica il test t di Studet [E la situazioe dell esemio iiziale co i friosomi!] I questo caso si oe il roblema della stima della variaza ei due camioi Si oti iazitutto che questo test si uò alicare solo se σ σ σ (le due variaze elle oolazioi devoo essere uguali) e se la variabile ha distribuzioe ormale i etrambe le oolazioi Queste due codizioi devoo essere verificate e vedremo come farlo. Il test t è erò relativamete robusto a deviazioi da queste assuzioi. Per il mometo assumiamo che siao vere

8 Le variaze camioarie calcolate ei due camioi sarao certamete diverse, ache assumedo le variaze delle oolazioi siao uguali A questo uto, avedo a disosizioe due stime di u sigolo arametro, coviee rima di tutto otteere ua stima uica A questo scoo viee calcolata ua variaza comue, s com, che corrisode ad ua media esata er i diversi gradi di libertà delle due variaze camioarie s com è ache defiito come s, dove la idica ooled Si referisce ua media esata erché, giustamete, ua variaza calcolata i camioe di dimesioi maggiore è robabilmete iù recisa, e quidi deve esare di iù ella media tra le due. Maggiore il umero di osservazioi, maggiore è l'iformazioe aortata da quel camioe er la stima della variaza.

9 s com ( ) s ( ) s Il valore t calc a questo uto uò essere calcolato secodo la formula t calc s x com x s com s com x x. Se quidi o ) è vera l iotesi ulla o ) le due variabili X e X hao ua distribuzioe ormale o 3) le due variaze σ e σ soo uguali t calc segue ua distribuzioe t co ( ) gradi di libertà, sulla quale osso facilmete calcolare il -value o defiire le regioi di accettazioe e di rifiuto seguedo i metodi ormai amiamete discussi

10 Esemio I due siti archeologici che si riferiscoo a due diverse tribù di Idiai d America vegoo riveute delle ute di freccia, 8 el rimo sito e 7 el secodo. Si vuole determiare se le due tribù utilizzassero frecce di dimesioi diverse. Assumiamo che le codizioi er oter alicare questo test (variaze uguali elle due oolazioi, distribuzioi gaussiae della variabile elle due oolazioi) DATI (lughezze frecce i cm) Tribù : 4.5; 5.; 4.3; 4.7; 4.0; 3.9; 5.8;.8 Tribù : 5.; 5.7; 6.0; 6.7; 5.5; 5.4; 6.8 A artire dai dati calcolo: x 4.4; x 5.9; s 0.8 s La variaza comue è stimata co H 0 : µ µ H : µ µ s com (8) * 0.8 (7)* s com scom 0.79.

11 Quidi t calc Co ( ) 3 gradi di libertà, e α 0.05, la regioe di accettazioe della distribuzioe t iizia a.60 e termia a.60 Posso quidi cocludere che la differeza delle frecce ei due siti è sigificativa al 5% Si oti che sarebbe stata sigificativa ache se avessi scelto u valore di α 0.0 (t crit.560), idicado cioè che la coclusioe che traggo è errata co ua robabilità o solo iferiore al 5% ma ache iferiore all % Il -value di t calc è ari a Svolgere il test er lo studio sui friosomi

12 Cofroti tra due roorzioi I due camioi di dimesioi e viee cotato il umero di osservazioi che soo attribuite ad ua certa categoria, x e x La roorzioe di osservazioi i ciascu camioe che cade all itero di questa categoria è dato da o x / o x / Si voglioo aalizzare le iotesi che i valori delle roorzioi elle oolazioi dalle quali i due camioi soo estratti, π e π, siao uguali o diversi. H 0 : π π ( π) H : π π Se è vera l iotesi ulla, e se è ossibile utilizzare la distribuzioe ormale come arossimazioe della biomiale er le due distribuzioi di e o allora la variabile differeza tra le roorzioi, stadardizzata come al solito er la deviazioe stadard della variabile differeza tra le roorzioi (ari alla somma delle variaze delle due variabili che vegoo cosiderate) segue ua distribuzioe ormale stadardizzata z.

13 ( ) ( ) ( ) z calc π π π π π π π erò o è oto, e viee stimato come frazioe totale degli idividui attribuiti alla categoria che sto aalizzado x x ( ) z calc E quidi il solito test z er la verifica dell iotesi

14 Esemio Si vuole determiare l efficacia di u vaccio cofrotado la frazioe di idividui che si ammalao i u gruo di idividui vacciati co la frazioe di idividui che si ammalao i u gruo di idividui che o soo stati vacciati Di 685 idividui vacciati, 56 soo coliti dalla malattia cotro la quale si è sviluato il vaccio. I u gruo di 668 idividui o vacciati, soo ivece 7 quelli che si ammalao. 56/ ; 7/ Si alica l arossimazioe ormale z calc ( 0.077) COSA CONCLUDO?